व्यक्तिगत क्रिप्टोग्राफी: एक उपयोगी भेद्यता के बारे में एक कहानी

असममित क्रिप्टोग्राफी कुंजी वितरण समस्या का एक सुरुचिपूर्ण समाधान बन गया है। लेकिन जैसा कि अक्सर होता है, जो एक समस्या के कारण दूसरे को ठीक करने में मदद करता है।

सार्वजनिक कुंजी, असममित क्रिप्टोग्राफिक एल्गोरिदम के गणितीय गुणों के कारण, यादृच्छिक बिट्स का एक सेट है जिसमें स्वामी के बारे में कोई जानकारी नहीं होती है, इसलिए यह प्रमाणीकरण उपकरण के रूप में काम नहीं कर सकता है। इस दोष के कारण पदानुक्रमित सार्वजनिक कुंजी प्रमाणन प्रणाली का उदय हुआ है।
आइए विचार करें कि वर्तमान में उपयोगकर्ताओं का प्रमाणीकरण कैसे होता है:

1. ऐलिस एक प्रमाणन केंद्र (सीए) में सत्यापन प्रक्रिया से गुजरता है और एक प्रमाण पत्र प्राप्त करता है
2. एलिस बॉब को अपना प्रमाणपत्र भेजती है
3. बॉब ने CA प्रमाण पत्र प्राप्त किया
4. प्राप्त प्रमाण पत्रों का उपयोग करते हुए, बॉब एलिस को प्रमाणित करता है।

इस योजना को सरल बनाने के लिए सबसे पहले 1984 में आदि शमीर था। उन्होंने सुझाव दिया कि यदि सार्वजनिक कुंजी के रूप में ऐलिस के नाम या ईमेल पते का उपयोग करना संभव है, तो यह किसी भी अर्थ की जटिल प्रमाणीकरण प्रक्रिया से वंचित करेगा।
लंबे समय तक, शमीर का विचार सिर्फ एक सुंदर क्रिप्टोग्राफिक पहेली बना रहा, लेकिन 2000 में, अण्डाकार क्रिप्टोग्राफी में एक ज्ञात भेद्यता के लिए धन्यवाद, विचार का एहसास होने में सक्षम था।

कमजोर अण्डाकार वक्रों का वर्ग

एलिप्टिक क्रिप्टोग्राफी इस धारणा पर आधारित है कि अण्डाकार वक्र के बिंदुओं के क्षेत्र पर असतत लघुगणक समस्या को हल करना मुश्किल है।
शास्त्रीय असममित क्रिप्टोग्राफी पर "अण्डाकार" का मुख्य लाभ कुंजियों का बहुत छोटा आकार है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि शास्त्रीय असतत लघुगणक समस्या के लिए तथाकथित कम्प्यूटेशनल निर्णय एल्गोरिदम निम्नलिखित कम्प्यूटेशनल जटिलता वाले हैं । इसलिए, 2 ⁸⁰ के आदेश की दृढ़ता को प्राप्त करने के लिए ^, यह आवश्यक है कि संख्या पी का आकार 1024 बिट्स है।
अण्डाकार वक्र के बिंदुओं पर असतत लघुगणक समस्या के लिए, कोई उपसक्रिय गुणक नहीं मिला। इस तरह के कार्य के लिए सबसे तेज़ एल्गोरिदम में जटिलता है । यह 2 ⁸⁰ की समान ताकत दहलीज को प्राप्त करने के लिए 160 बिट्स के रूप में छोटी संख्या का उपयोग करने की अनुमति देता है।

इसके अलावा, अण्डाकार वक्रों का एक विशेष वर्ग है, जिसके लिए उपरोक्त सभी पूरी तरह से सच नहीं है। ऐसे वक्रों को सुपरिंगुलर कहा जाता है। सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्रों के लिए, असत्य लघुगणक समस्या को शास्त्रीय असतत लघुगणक समस्या के बिंदुओं पर असतत लघुगणक समस्या को कम करने के लिए पाया गया। तदनुसार, सुपरसिंगुलर कर्व्स का उपयोग करते समय, अण्डाकार क्रिप्टोग्राफी का मुख्य लाभ एक बड़ा नुकसान बन जाता है। "अण्डाकार" की छोटी कुंजी आकार की विशेषता उपप्रोनोफेशनल एल्गोरिथ्म को बड़ी दक्षता के साथ उपयोग करने और पूरे सिस्टम को हैक करने की अनुमति देगा।

थोड़ा और विस्तार से, मैंने अपने हाल के विषयों में से एक में यह सब वर्णित किया, एलिप्टिक क्रिप्टोग्राफी: थ्योरी । आज मैं उस विधि के बारे में बात करना चाहता हूं जो सुपरसिंगुलर वक्रों को इतना कमजोर बनाता है और उस प्रोटोकॉल के बारे में जो इस दोष को एक लाभ में बदल देता है।

वेल मेटिंग

1983 में, मेनेज़ेस, ओकामोटो और वैनस्टोन ने दिखाया कि सुपरसिंगुलर कर्व्स के लिए वक्र बिंदुओं के जोड़े को एक परिमित क्षेत्र के गैर-पतित तत्व के लिए मैप करने का एक प्रभावी तरीका है।
इसके लिए उनके द्वारा इस्तेमाल की जाने वाली आइसोमॉर्फिज्म को वील पेयरिंग कहा जाता है। फ़ील्ड E (F _{q ^l} ) के दो बिंदुओं के विपरीत यह समरूपता फ़ील्ड F _{q ^{l के}} एक तत्व को _{^{लगाती है}} । दूसरे शब्दों में, Weil बाँधना आपको बड़ी संख्या में अवशेषों modulo के सेट में अण्डाकार वक्र के बिंदुओं के सेट को प्रतिबिंबित करने की अनुमति देता है।

आइए (G ₁ , +) एक अण्डाकार वक्र के बिंदुओं का समूह बनें। और (जी ₂ , *) एक बड़ी संख्या में अवशेषों के समूह है। और इन दो समूहों को आइसाइल युग्मन ई _{एक्स के} संबंध में आइसोमोर्फिक होना चाहिए। Weyl संभोग निम्नलिखित गुण हैं:

1. पहचान: सभी के लिए प्रदर्शन
2. बिलिनियरिटी: सभी के लिए प्रदर्शन
3. गैर-पतन: सभी के लिए ऐसा है प्रदर्शन
4. व्यावहारिक दक्षता: सभी पी और आर संख्याओं के लिए कुशल गणना की अनुमति दें

द्विपक्षीयता से यह निम्नानुसार है । इस प्रकार, वेल जोड़ी का उपयोग करके अण्डाकार वक्रों पर असतत लघुगणक समस्या को हल करने के लिए, जोड़ी की गणना करना आवश्यक है और । समूह G _{2 के} इन दो तत्वों को ध्यान में रखते हुए _, हम n की खोज करने के लिए एक उपसंचाई एल्गोरिथ्म लागू कर सकते हैं।

यह वेइल युग्म है जो ईडीएस एल्गोरिदम में सुपरसिंगुलर वक्रों को बेकार बनाता है। दूसरी ओर, इसने शमीर के विचार को महसूस करने में भी मदद की।

डिफी-हेलमैन डिसीजन चैलेंज

अण्डाकार वक्रों पर आधुनिक असममित क्रिप्टोग्राफी की मूलभूत समस्याएं हैं:

• असतत लघुगणक समस्या। वक्र P और Q के दो बिंदु दिए गए हैं । यह संख्या आवश्यक है जैसे कि Q = aP । ECDSA डिजिटल हस्ताक्षर एल्गोरिथ्म इस कार्य की जटिलता पर आधारित है।
• डिफी-हेलमैन कम्प्यूटेशनल समस्या। वक्र के तीन बिंदु दिए गए हैं: P, aP, bP । एबीपी तत्व की गणना करना आवश्यक है। यह कार्य ECDH कुंजी वितरण एल्गोरिथ्म को रेखांकित करता है।

इसके अलावा, एक और प्रकार की समस्या है जो दो पिछले वाले के समान ही असाध्य है, लेकिन सुपरसिंगुलर वक्रों के मामले के लिए एक प्रभावी समाधान है।

डिफी-हेलमैन निर्णय लेने की समस्या ।
कर्व P, aP, bP, cP के चार अंक दिए गए हैं । यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या समानता = बीसी रखती है।
वेइल पेयरिंग इस समस्या को हल करने में कैसे मदद करता है, यह बताने से पहले, मैं ध्यान देता हूं कि अंक पी और क्यू के लिए पहचान संपत्ति, जैसे कि क्यू = एपी , एक असुविधाजनक परिणाम की ओर जाता है। इस नियम के अनुसार, P और Q की जोड़ी की मैपिंग एक के बराबर है ।
इस खामी को ठीक करने के लिए, क्यू के समान क्रम का एक और बिंदु खोजना आवश्यक है, लेकिन पी के रैखिक रूप से स्वतंत्र।
एक विशेष विधि है जिसे विकृत मानचित्रण कहा जाता है, जिसे एफ (पी) द्वारा चिह्नित किया जाता है। विरूपण मानचित्रण का उपयोग करते समय, वीइल युग्मन को इस प्रकार लिखा जाता है: ।
अभिव्यक्ति एक के बराबर नहीं होगा, क्योंकि बिंदु F (P) पी के रैखिक रूप से स्वतंत्र है। इस ऑपरेशन को संशोधित वेइल पेयरिंग कहा जाता है।

अब हम डिफी-हेलमैन निर्णय लेने की समस्या पर विचार करते हैं। हम जोड़ी की गणना करते हैं और । दिया है कि समानता निष्पादित किया जाएगा केवल अगर एक = ई.पू.

सुपरसिंगुलर कर्व्स की इस विशेषता ने तथाकथित गैर - इंटरैक्टिव कुंजी वितरण योजना को लागू करना संभव बना दिया। और यह व्यक्तिगत क्रिप्टोग्राफी के क्षेत्र में अनुसंधान के लिए एक नई प्रेरणा के रूप में कार्य करता है।

व्यक्तिगत क्रिप्टोग्राफी। गैर-संवादात्मक SOK कुंजी पृथक्करण योजना

आइए अब इस विषय के मुख्य विषय पर लौटते हैं। अर्थात्, कुंजी प्रमाणीकरण की समस्या।

2000 में, सकई, ओगिशी, और कसाराह के शोधकर्ताओं के एक समूह ने डिफी-हेलो-प्रोटोकॉल के समान एक महत्वपूर्ण पृथक्करण विधि विकसित की। लेकिन बाद में उस से अलग एक एकल एन्क्रिप्शन कुंजी प्राप्त करने के लिए, ऐलिस और बॉब उपयोगकर्ताओं को सार्वजनिक कुंजी का आदान-प्रदान करने की आवश्यकता नहीं है। इसके बजाय, वे सार्वजनिक कुंजी के रूप में एक दूसरे के नामों का उपयोग करते हैं। इस तथ्य के कारण कि प्रोटोकॉल कुंजी प्राप्त करने के लिए दूसरे पक्ष की भागीदारी के लिए प्रदान नहीं करता है, उसे एक गैर-संवादात्मक परिभाषा प्राप्त हुई।

गैर-संवादात्मक SOK प्रोटोकॉल (इसके रचनाकारों के नामों के पहले अक्षरों के सम्मान में) में निम्नलिखित भाग होते हैं।

सिस्टम पैरामीटर सेट करना
प्रोटोकॉल में तीन पक्ष शामिल हैं: ऐलिस, बॉब और ट्रेंट (एक विश्वसनीय केंद्र जो कुंजी उत्पन्न करता है और उपयोगकर्ताओं की पहचान करता है)।

प्रोटोकॉल का पहला भाग सीधे ट्रेंट द्वारा निर्मित होता है। यह निम्नलिखित ऑपरेशन करता है।

1. दो समूह बनाता है (जी ₁ , +) और (जी ₂ , *) जिसके लिए संशोधित वीइल युग्म ई का प्रदर्शन किया जाता है। और फिर एक मनमाना स्पॉइंग तत्व का चयन करता है ।
2. बेतरतीब ढंग से संख्या l का चयन करता है और पैरामीटर P _pub = l * P सेट करता है। संख्या l सिस्टम की मुख्य गुप्त कुंजी है।
3. एक मजबूत क्रिप्टोग्राफ़िक हैश फ़ंक्शन का चयन करता है। समूह _{1 के} एक तत्व में, उपयोगकर्ता आईडी की व्यक्तिगत जानकारी प्रदर्शित करने के लिए फंक्शन एफ का उपयोग किया जाता है।
4. सिस्टम पैरामीटर (G ₁ , G ₂ , e , P, P _pub , f) की घोषणा करता है।

उपयोगकर्ता कुंजी पीढ़ी
यह हिस्सा ट्रेंट द्वारा भी किया जाता है। आइडी _ए को एलिस की कुछ विशिष्ट पहचानकर्ता होने दें। यह उसका पूरा नाम या पासपोर्ट विवरण हो सकता है।
ऐलिस की पहचान की जांच करने और यह सुनिश्चित करने के बाद कि आईडी _ए वास्तव में उसका है, ट्रेंट निम्नलिखित करता है।

1. समूह _{1 के} एक तत्व की गणना P _ID = f (ID _A ) के रूप में करता है।
2. एलिस की निजी कुंजी S _IDa = l * P _{IDa सेट करता है}

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एलिस की निजी कुंजी गोपनीयता एक अण्डाकार वक्र के बिंदुओं पर असतत लघुगणक समस्या पर आधारित है। और चूंकि हम अण्डाकार वक्रों के एक कमजोर वर्ग का उपयोग करते हैं, कुंजी का आकार लगभग 1024 बिट्स के अनुरूप होना चाहिए, जैसा कि शास्त्रीय असममित क्रिप्टोग्राफी के मामले में है।

कुंजी पृथक्करण एल्गोरिथम
ऐलिस और बॉब आईडी आईडी _ए और आईडी _बी दोनों भागीदारों के लिए जाने जाते _हैं । इसलिए, वे समूह जी ₁ पी _ए = एफ (आईडी _ए ) और पी _बी = एफ (आईडी _बी ) के तत्वों की गणना कर सकते हैं।
एक साझा कुंजी K _AB को उत्पन्न करने के लिए _, ऐलिस की गणना करता है ।
बदले में बॉब, ऐलिस के साथ एक साझा कुंजी की गणना करता है। ।
बिलिनियरिटी की संपत्ति को देखते हुए, एक-दूसरे से स्वतंत्र होकर, उन्हें समूह जी ₂ का एक ही तत्व मिलता है: ।

व्यक्तिगत क्रिप्टोग्राफी के लाभ और नुकसान

लाभ
व्यक्तिगत क्रिप्टोग्राफी में निहित गैर-अन्तरक्रियाशीलता उन्हें एक बहुत ही गंभीर लाभ देती है। सार्वजनिक कुंजी विनिमय प्रक्रिया पूरी तरह से इसकी प्रासंगिकता खो देती है।
कनेक्शन स्थापित करने के लिए दूसरे पक्ष के प्रमाण पत्र की प्रतीक्षा करने की आवश्यकता नहीं है। साझा कुंजी बनाने के लिए साझेदार की साख का उपयोग करना पर्याप्त है।

इसके अलावा, यह तथाकथित अस्वीकृत एन्क्रिप्शन की अनुमति देता है। यदि ऐलिस और बॉब ने ऐलिस से समझौता करने वाले एन्क्रिप्टेड संदेशों का आदान-प्रदान किया, और किसी कारण से बॉब ने इस पत्राचार को विभाजित करने का फैसला किया, तो ऐलिस कह सकती है कि उसने संवाद में भाग नहीं लिया। चूंकि बॉब स्वयं एक साझा कुंजी और नकली ऐलिस के संदेश उत्पन्न कर सकता था।

कमियों
उनमें से एक यह है कि निजी कुंजी की पीढ़ी में भाग लेने वाले ट्रेंट में नेटवर्क पर बिल्कुल सभी संदेशों को डिक्रिप्ट करने की क्षमता होगी। इसलिए, यह केवल व्यक्तिगत नेटवर्क में व्यक्तिगत क्रिप्टोग्राफी का उपयोग करने की संभावना है जिसमें एक निश्चित अधिकृत व्यक्ति होता है।

दूसरा दोष यह है कि यह अभी भी स्पष्ट नहीं है कि उपयोगकर्ता की निजी कुंजी से समझौता करने के मामले में क्या करना है। गैर-संवादात्मक कुंजी रद्द करने का कार्य अभी भी खुला है।

हालांकि, इन महत्वपूर्ण कमियों के बावजूद, व्यक्तिगत क्रिप्टोग्राफी एक बहुत ही आकर्षक तकनीक की तरह दिखती है। और कौन जानता है कि अगर सबकुछ बदल जाए तो 1984 में शमीर को अपनी पहेली का ऐसा दिलचस्प हल मिल गया।