लोरेंज आकर्षित करने वाले पर एक महत्वपूर्ण नज़र

1. लोरेंज आकर्षण के बारे में

एडवर्ड नॉर्टन लॉरेंज (1917 - 2008) अराजकता के सिद्धांत के संस्थापक हैं, जो आज विज्ञान में बहुत लोकप्रिय है। उन्होंने डार्टमाउथ कॉलेज, न्यू हैम्पशायर, यूएसए और हार्वर्ड विश्वविद्यालय, कैम्ब्रिज में पढ़ाई की। द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान, उन्होंने अमेरिकी सेना के विमानन कोर में एक मौसम विज्ञानी के रूप में कार्य किया, फिर अपने दिनों के अंत तक उन्होंने मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी में एक प्रोफेसर के रूप में काम किया।

1963 में, उनका लेख "एन्टीरिनिस्टिक नॉनपेरोडिक फ्लो" जर्नल ऑफ एटमॉस्फेरिक साइंसेज पत्रिका (रूसी अनुवाद: ई। लोरेंज में प्रकाशित किया गया था। नियतात्मक गैर-आवधिक प्रवाह // अजीब आकर्षण। - एम ।: मीर, 1981, पृष्ठ 88-117)। न केवल अराजकता सिद्धांत की नींव रखी, बल्कि मौसम की घटनाओं के मॉडलिंग के विचार को भी बदल दिया। इस काम में, पहली बार, तीसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरणों (डायनेमिक सिस्टम) के एक नाइलिनियर स्वायत्त प्रणाली को समीकरणों के नवियर-स्टोक्स सिस्टम से प्राप्त किया गया था, जो निरंतर मोटाई के एक तरल की एक सपाट परत में हवा के प्रवाह की गति का वर्णन करता है जब प्रवाह वेग और तापमान डबल फूरियर श्रृंखला में विस्तार के बाद पहले ट्रंकेशन के साथ होते हैं। दूसरा हार्मोनिक्स:

(1)

जहाँ s , r और b कुछ धनात्मक संख्याएँ, सिस्टम पैरामीटर हैं। आमतौर पर, लोरेंत्ज़ प्रणाली का अध्ययन s = 10 , r = 28, और b = 8/3 (शास्त्रीय पैरामीटर) पर किया जाता है।

सामान्य तौर पर, अराजकता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो नियतात्मक गतिशीलता प्रणालियों के व्यवहार का अध्ययन करता है, जहां समाधानों में एक जटिल संरचना होती है, इसलिए ऐसा लगता है कि समय में वे बेतरतीब ढंग से व्यवहार करते हैं। एक नियतात्मक प्रणाली एक ऐसी प्रणाली है जिसकी गति के समीकरण, पैरामीटर और प्रारंभिक स्थितियां ज्ञात हैं और यादृच्छिक नहीं हैं (मून एफ। अराजक दोलनों। - एम ।: मीर, 1990)।

डायनामिक सिस्टम (1) अन्य प्रक्रियाओं में भी होता है:

1. एक टॉरॉयडल ट्यूब (लांडा पीएस गैर-रेखीय दोलनों और तरंगों में संवहन। - एम: लिब्रोकॉम, 2010, पीपी 454-455);
2. सिंगल-मोड लेजर (ला पोक्रोव्स्की) लोरेंत्ज़ प्रणाली की प्रणाली, एक बड़ी रेले संख्या की स्पर्शोन्मुख सीमा में समीकरण। I सरलतम क्वांटम लेजर मॉडल में लॉरेंट्ज़ प्रणाली और औसत विधि के लिए आवेदन। // सैद्धांतिक और गणितीय भौतिकी, 1985, वी।, 62 नंबर। 2, पी। 272-290);
3. जड़त्वीय उत्तेजना के साथ थरथरानवाला (Neymark Yu.I., Landa PS स्टोचस्टिक और अराजक दोलनों। - एम: LIBROKOM, 2009, पी। 288-295)।

लोरेंत्ज़ प्रणाली के किसी भी समाधान के लिए, समय में एक क्षण मौजूद होता है जब संबंधित चरण प्रक्षेपवक्र हमेशा निश्चित त्रिज्या के एक क्षेत्र में डूब जाता है। इसलिए, एक सीमा सेट मौजूद है - लोरेंत्ज़ अट्रैक्टर - जिसके लिए डायनेमिक सिस्टम के सभी प्रक्षेपवक्र आकर्षित होते हैं (Nemytsky V.V., Stepanov V.V। विभेदक समीकरणों का गुणात्मक सिद्धांत। - M: URSS संपादकीय, 2004, पृष्ठ 357-359)। इस प्रकार, आकर्षित करने वाला बड़ी अवधि में प्रणाली (1) के समाधान के व्यवहार को निर्धारित करता है।

सामान्य रूप के नॉनलाइनियर डायनेमिक सिस्टम को हल करने के लिए सटीक तरीकों की कमी के कारण, संख्यात्मक विधियों का उपयोग अक्सर किसी अट्रैक्टर की संरचना का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है, जैसे, उदाहरण के लिए, एक केंद्रीय-अंतर स्कीम के साथ एक स्पष्ट यूलर स्कीम का संयोजन, एडम्स, उच्च डेरिवेटिव का उपयोग, और रनज-कुट्टा 4 थी। आदेश। सिस्टम मापदंडों के शास्त्रीय मूल्यों के मामले में, इसके समाधान की अस्थिरता देखी जाती है, क्योंकि सिस्टम के संतुलन की स्थिति काठी प्रकार की होती है। यह इन विधियों के अनुप्रयोग को सीमित करता है, क्योंकि एकीकरण अंतराल में वृद्धि के साथ सामान्य त्रुटि बढ़ती है। इस प्रकार, सिस्टम की प्रारंभिक स्थितियों में छोटे बदलाव (1) (यानी, वायुमंडल) समय के साथ महत्वपूर्ण परिणाम ला सकते हैं।

70 के दशक में। 20 वीं शताब्दी में, संख्यात्मक प्रयोगों के परिणामों के आधार पर हुकेनहाइमर, विलियम्स और यॉर्क ने सिस्टम मापदंडों के शास्त्रीय मूल्यों के साथ लोरेंत्ज़ आकर्षित करने वाले की संरचना के बारे में एक परिकल्पना तैयार की, हालांकि, यह परिकल्पना प्रणाली के आकर्षित सेट (1) की संरचना से कड़ाई से मेल नहीं खाती है। 2000 में, स्टीफन स्मेल ने 21 वीं सदी की 18 सबसे महत्वपूर्ण गणितीय समस्याओं की एक सूची तैयार की। लोरेंज आकर्षित करने वाले की संरचना की समस्या को इस सूची में नंबर 14 के तहत शामिल किया गया था। ऐसा माना जाता है कि इसे 2002 में वारविक टकर द्वारा इंटरवल अरिथमेटिक का उपयोग करके हल किया गया था, लेकिन कई गणितज्ञों ने उसके प्रमाण को स्वीकार नहीं किया, यदि केवल आवधिक समाधानों का अस्तित्व प्रणाली (1)।

अपने मापदंडों के शास्त्रीय मूल्यों के साथ लोरेंत्ज़ प्रणाली के संख्यात्मक अध्ययन के लिए समर्पित साहित्य में, अक्सर कम्प्यूटेशनल प्रयोग से प्राप्त आंकड़ों के आधार पर आकर्षित करने वाले की संरचना के बारे में निष्कर्ष निकाला जाता है (उदाहरण के लिए, कि आकर्षित करने वाले में चक्र शामिल हैं)। हालांकि, चरण चुनने का कोई उचित औचित्य नहीं है, कि किस प्रकार की वास्तविक संख्याओं के लिए काम करना था, और किस अवधि में गणना की गई थी।


अंजीर। 1. x (0) = 13.41265629, y (0) = 13.46430003, z (0) = 33.46156416 के लिए समय अंतराल [0; 6.827] पर निर्मित प्रक्षेपवक्र का चाप।

Birkhoff के प्रमेय (Nemytsky VV, Stepanov VV विभेदक समीकरणों के गुणात्मक सिद्धांत द्वारा। - एम .: URSS संपादकीय, 2004, पृष्ठ 402), लोरेंत्ज़ आकर्षित करने वाले में आवर्तक प्रक्षेपवक्र होते हैं, और प्रत्येक आवर्तक गति पॉइसन स्थिर होती है। इसका मतलब यह है कि समय के क्षणों के बड़े मूल्य हैं, कि प्रणाली के प्रक्षेपवक्र के बिंदु अपनी प्रारंभिक स्थिति के किसी भी पड़ोस में हैं। एक चक्र भी इस तरह के एक आवर्ती गति हो सकता है, लेकिन प्रारंभिक स्थितियों के एक निश्चित पड़ोस के प्रक्षेपवक्र की पाया वापसी के आधार पर यह निष्कर्ष निकालना असंभव है। जैसा कि गणना में दिखाया गया है (चित्र। 1), लोरेंत्ज़ प्रणाली में, आकर्षित करने वाले पर समाधान के व्यवहार की गतिशीलता काफी जटिल है - इसमें समवर्ती प्रक्षेपवक्र, उदाहरण के लिए, लगभग आवधिक समाधानों द्वारा वर्णित किया जा सकता है या एक अधिक जटिल संरचना हो सकती है। मैंने समाधान के ऐसे व्यवहार के साथ एक गैर-स्वायत्त प्रणाली का एक उदाहरण बनाया है।

2. लोरेंत्ज़ प्रणाली की गतिशीलता की मॉडलिंग करना

अंजीर। 2. लॉरेंट्ज प्रणाली की गतिशीलता का वर्णन करने वाले दोलन जनरेटर की योजना।

संकेतों (अराजक दोलनों) को उत्पन्न करने के लिए जो कुछ प्रकारों के दाएं हाथ के गैर-रैखिकता के साथ गतिशील प्रणालियों के आकर्षित करने वालों पर प्रक्षेपवक्रों का वर्णन करते हैं, भौतिक सर्किट का उपयोग विद्युत सर्किट / या एनालॉग कंप्यूटर / (डाइमिट्रिकल ए.एस., पानस ए। डायनेमिक) का उपयोग करके भी किया जाता है। अराजकता: संचार प्रणालियों के लिए नई सूचना वाहक। - एम .: फ़िज़मैटलिट, 2002)।

अंजीर में प्रस्तुत दोलन जनरेटर के विद्युत सर्किट पर विचार करें। 2, संख्यात्मक मॉडलिंग के विकल्प के रूप में। चूंकि लोरेंट्ज़ सिस्टम तीसरे क्रम का है, इसलिए सर्किट में वोल्टेज परिवर्तन की गतिशीलता बनाने के लिए, परिचालन एम्पलीफायरों पर आधारित तीन इंटीग्रेटर्स आवश्यक हैं, क्योंकि शोर समस्याएं विभेदकों के साथ जुड़ी हुई हैं। इस मामले में, सर्किट का निर्माण करने और अभिन्न समीकरण लिखने के लिए, आधुनिक एनालॉग मल्टीप्लायर MPY634 के समावेश का मूल सर्किट, अंजीर में दिखाया गया है। चिप निर्माता के आधिकारिक दस्तावेज में 3। हमारे पास है:



जहाँ । और - फ़ंक्शंस x ( t ) , y ( t ) और z ( t ) के समान तात्कालिक तनाव मान (इन वोल्टेज की एक जोड़ी को आस्टसीलस्कप की प्लेटों पर लागू किया जा सकता है - परिणामस्वरूप जटिल आंकड़ा संबंधित विमान पर लोरेंट्ज़ सिस्टम के प्रक्षेपवक्र का एक प्रक्षेपण है), और - कैपेसिटर के आरम्भिक वोल्टेज । और तदनुसार, एसएफ = 10 वी गुणक का पैमाना कारक है।

संधारित्र को शुरू में चार्ज किया जाता है बिजली स्रोत ई से ; रोकनेवाला यह रिचार्जिंग के लिए अभिप्रेत है (जनरेटर सर्किट में चित्र में K कुंजी की स्थिति दिखाई गई है)। शेष कैपेसिटर में एक शून्य प्रारंभिक प्रभार है। संक्षेप में, हम सिस्टम (1) के लिए प्रारंभिक शर्तें निर्धारित करते हैं। प्रारंभिक चार्ज सर्किट को बदला जा सकता है (उदाहरण के लिए, दो कैपेसिटर को चार्ज करना), जब को छोड़कर । इसकी वजह है । और सिस्टम का एक विशेष समाधान है (1), जहां एक मनमाना स्थिरांक है। यह स्पष्ट है कि इस मामले में कोई हिचकिचाहट नहीं होगी।

एक प्रतिस्थापन करें और प्रत्येक अभिन्न समीकरण के दोनों भागों में अंतर करते हैं। हमें मिलता है

(2)

हम सिस्टम के मापदंडों के शास्त्रीय मूल्यों के साथ गतिशीलता का अनुकरण करेंगे (1)। हम प्रतिरोधों और क्षमताओं के मूल्यों को बराबर सेट करते हैं



फिर सिस्टम (2) फॉर्म लेता है

(3)

(3) में बदलाव करना



हमें लोरेंत्ज़ सिस्टम मिलता है। जैसे



तब शुरू किए गए प्रतिस्थापन से यह निम्नानुसार है कि वोल्टेज का पूर्ण मूल्य 7.44 V से अधिक नहीं है, जो कि MPY634 गुणक के प्रलेखन में प्रदान किया गया है। E के मूल्य को 1.5 V (एक उंगली प्रकार की बैटरी का EMF) के बराबर चुना जा सकता है।

प्रस्तुत मॉडल की सटीकता वास्तविक समाई और प्रतिरोधों की त्रुटियों के साथ-साथ इंटीग्रेटर्स और मल्टीप्लायरों की आवृत्ति विशेषताओं द्वारा निर्धारित की जाती है।

पुनश्च

हाल ही में, मैंने एक गणितीय सम्मेलन में इस विषय पर एक रिपोर्ट बनाई। आप इसे यहाँ देख सकते हैं (मैं वीडियो की गुणवत्ता के लिए अग्रिम में माफी माँगता हूँ)। आप वहां रिपोर्ट सामग्री भी डाउनलोड कर सकते हैं (प्रस्तुति के साथ रिपोर्ट को सिंक्रोनाइज़ करना बेहतर है, क्योंकि यह वीडियो की गुणवत्ता के कारण स्पष्ट रूप से दिखाई नहीं देता है)।