अंतर समीकरणों के गैर-स्वायत्त प्रणालियों के एक वर्ग के आवधिक समाधानों का पता लगाना

लागू गणित में, कभी-कभी समस्या फॉर्म के साधारण अंतर समीकरणों की एक सामान्य प्रणाली के आवधिक समाधान के निर्माण में उत्पन्न होती है



समारोह कहां है राशि का प्रतिनिधित्व करता है



बहुआयामी बहुपद और त्रिकोणमितीय बहुपद किया जा रहा है -ऑपरियोडिक वेक्टर फंक्शन।

सिस्टम के आवधिक समाधानों के अस्तित्व पर कई प्रमेय (1) मौलिक तथ्य का उपयोग करते हैं कि ऐसे समाधान पूरी तरह से सिस्टम के प्रक्षेपवक्रों के साथ शिफ्ट ऑपरेटर के निश्चित बिंदुओं द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। हालांकि, आवश्यक आवधिक समाधान को सीधे खोजने के लिए इन प्रमेयों का उपयोग संभव नहीं है।

बता दें कि सिस्टम (1) में एक अद्वितीय है -ऑपरजेनिक घोल । एक अद्वितीय आवधिक समाधान वाले प्रणालियों के उदाहरण अभिसरण के साथ सिस्टम हैं (दोलनों के सिद्धांत के प्लिस वी। ए। गैर-स्थानीय समस्याएं। - एम।, एल।: नाका, 1964)। हम ऐसी प्रणालियों के एक वर्ग पर विचार करते हैं जिसके लिए हम समाधान के लिए सन्निकटन का निर्माण कर सकते हैं ।

चलो एक वेक्टर है जो



यहाँ, तर्क की सरलता के लिए, हम मानते हैं कि समय का प्रारंभिक क्षण शून्य है। फिर, यदि हम वेक्टर का निर्धारण कर सकते हैं , तब हम वांछित आवधिक समाधान का निर्माण करने में सक्षम होंगे।

हम फ़ंक्शन पर लगाए गए शर्तों का परिचय देते हैं :

1. आज्ञा देना - त्रिज्या r की एक बंद गेंद जिसमें समाधान के मान होते हैं । त्रिज्या आर की एक बंद गेंद है, और , और इस तरह की एक सकारात्मक संख्या है किसी के लिए एक असमानता है



2. ऐसी सकारात्मक संख्या है हर किसी के लिए और कोई भी असमानता रखती है



अंजीर में। चित्र 1 में दूसरे क्रम के सिस्टम (1) के लिए इन स्थितियों का चित्रमय चित्रण दिखाया गया है।


अंजीर। 1. एक दूसरे-क्रम प्रणाली के लिए शर्तों 1-2 का चित्रण।

मेरे काम में यह दिखाया गया है कि इस मामले में क्रमिक अनुमान हैं




किसी भी वेक्टर के लिए सभी के लिए समान रूप से अभिसरण करें कुछ समारोह के लिए । इसके अलावा, यदि आप चुनते हैं , यह पता चला है कि



सूत्र (2) के आधार पर, प्रत्येक पुनरावृत्ति की गणना प्रतीकात्मक रूप में की जाती है। इसके अलावा, इंटीग्रल के तहत त्रिकोणमितीय कार्यों के परिवर्तनों के बाद, आप हमेशा शून्य मतलब एकीकृत मूल्य के साथ एक त्रिकोणमितीय बहुपद प्राप्त कर सकते हैं। आवधिक समाधान के लिए सन्निकटन का प्रतिनिधित्व करने का विश्लेषणात्मक रूप इस रूप में सुविधाजनक है कि यह समरूपता का विश्लेषण करने के लिए संभव बनाता है जो इस सन्निकटन को बनाते हैं। अगले पुनरावृत्ति की गणना करने के बाद, फ़ंक्शन बनाया गया है



जिसका न्यूनतम वेक्टर को एक अनुमान देगा ।

एक उदाहरण के रूप में, प्रपत्र के अभिसरण के साथ एक दूसरे क्रम के गैर-रेखीय प्रणाली पर विचार किया गया था (1) गेंदों के त्रिज्या के मान कार्य में इंगित किए गए हैं, जहां



। यह पाया गया कि, पहले और दूसरे पुनरावृत्तियों में, वेक्टर के लिए पाए गए सन्निकटन के मूल्य एक ही हैं और



यह सत्यापित किया गया था कि अध्ययन के तहत दूसरे क्रम की प्रणाली का प्रक्षेपवक्र, आरंभिक बिंदु के अनुरूप, एक अवधि (छवि। 2) के बाद अपने पड़ोस में लौट आता है।


अंजीर। 2. पाया वेक्टर के अनुरूप पथ का चाप ।

इस विषय पर, आप एक गणितीय सम्मेलन में मेरी रिपोर्ट देख सकते हैं (मैं वीडियो की गुणवत्ता के लिए माफी माँगता हूँ - यह फोन पर शूट किया गया था)।