आकाश में आकाशीय पिंडों की स्थिति की गणना। भाग 1

बहुत पहले नहीं, मंगल ग्रह के विषय पर बहुत सक्रिय रूप से चर्चा की गई थी। उस समय, मेरे पास एक सवाल था, जो मेरी भोली जिज्ञासा के कारण, मुझे इससे छुटकारा नहीं मिला: "इस समय मंगल कहाँ है, किस दिशा में है?" और उससे सटे: "वैसे भी, अन्य ग्रहों की स्थिति कैसे निर्धारित करें?" । जाहिर है, पृथ्वी के सापेक्ष ग्रहों के प्रक्षेपवक्र बहुत पेचीदा होंगे। बेशक, आप तारामंडल का उपयोग कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, जैसे , लेकिन जैसा कि आप पहले से ही समझ चुके हैं, यह हमारा तरीका नहीं है।

लेखों की इस श्रृंखला में, मैं जटिल के बारे में जितना संभव हो उतना सरल बताने की कोशिश करूंगा। नतीजतन, हम एक सरल कार्यक्रम लिखेंगे जो आपको बताता है कि किसी निश्चित समय पर पृथ्वी की सतह पर किसी भी बिंदु के लिए हमारे सौर मंडल के ग्रहों को कहां देखना है। मेरा लक्ष्य पाठक को यह बताना है कि कक्षा के केपलर मॉडल के पीछे क्या निहित है, इसलिए मैं न्यूटन के नियमों और सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के कानून के अलावा किसी भी ज्ञात तथ्य का उपयोग नहीं करूंगा।



मैं बिल्ली के नीचे सभी जिज्ञासु से पूछता हूं।

यह ध्यान देने योग्य है कि आगे की व्याख्या का अर्थ है कि पाठक न्यूटन के नियमों से कुछ हद तक परिचित है, ज्यामिति से मूलभूत जानकारी, वेक्टर बीजगणित और अंतर कलन।

तो ग्रह कैसे चलते हैं?

वास्तव में, यदि हम ग्रहों के पारस्परिक प्रभाव को ध्यान में रखते हैं, तो सूर्य के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के सापेक्ष सौर मंडल के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का विस्थापन, आदि। ग्रहों की गति अत्यंत जटिल होगी और कठोर विश्लेषणात्मक परिभाषा के लिए उत्तरदायी नहीं होगी। यह ध्यान देने योग्य है कि तीन निकायों के आंदोलन की समस्या को भी विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। इसलिए, आइए हम इस बात पर ध्यान दें कि हम किन मॉडलों पर काम करेंगे। हम केप्लर की कक्षा मॉडल पर विचार करेंगे। कई अन्य मॉडल हैं, लेकिन उनमें से सभी अर्ध-विश्लेषणात्मक हैं और परिणामस्वरूप, उनमें से अधिकांश समय में एक दिलचस्प क्षण में केपलर कक्षा के मापदंडों को निर्धारित करने के लिए नीचे आते हैं। दूसरे शब्दों में, केप्लर की कक्षा एक निश्चित समय में ग्रह की जटिल गति का एक अनुमान है। आप यहां ग्रहों की कक्षाओं के केपलर मापदंडों को देख सकते हैं यहां nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet , वह युग (दूसरे शब्दों में, उस समय बिंदु) जिस समय केप्लर की कक्षा के ये पैरामीटर खगोलीय पिंड की सटीक स्थिति भी इंगित करते हैं। आमतौर पर यह शुरुआती समय J2000.0 (दोपहर 1 जनवरी, 2000) का युग है। केपलर मॉडल का उपयोग करके थोड़े समय के लिए निकायों की गति की गणना काफी सटीक है। सटीकता दृष्टिगत रूप से या एक छोटी दूरबीन में त्रुटि को नोटिस नहीं करने के लिए पर्याप्त है। बेशक, किसी अन्य ग्रह के लिए उड़ान पथ की गणना करने के लिए अधिक सटीक मॉडल की आवश्यकता होती है।

केप्लर की कक्षा

तो, क्रम में। आइए इस मॉडल की मूल मान्यताओं के साथ शुरू करें। यह माना जाता है कि सूर्य का द्रव्यमान संयुक्त सभी ग्रहों के द्रव्यमान की तुलना में बहुत बड़ा है, जिससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि ग्रह और ग्रह के बीच का संपर्क सूर्य और ग्रह के बीच की बातचीत की तुलना में नगण्य है। इस प्रकार, बताए गए कार्य का उपयोग दो निकायों की बातचीत की समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है (यानी, हम प्रत्येक ग्रह की बातचीत को अलग से सूर्य के साथ विचार कर सकते हैं)। इसके अलावा, हम मानते हैं कि ग्रह का द्रव्यमान सूर्य के द्रव्यमान से बहुत कम है, फिर बातचीत एकतरफा है, अर्थात्। ग्रह सूर्य की गति को प्रभावित नहीं करता है। इस प्रकार, हम ग्रह को एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में आगे बढ़ने वाले भौतिक बिंदु के रूप में मान सकते हैं, जिसका केंद्र गतिहीन है। कुछ इस तरह:

ग्रेविटी इंटरेक्शन

गुरुत्वाकर्षण बातचीत क्या है? यह सभी भौतिक निकायों के बीच एक सार्वभौमिक मौलिक बातचीत है। हम लंबे समय तक गुरुत्वाकर्षण के बारे में बहुत बात कर सकते हैं, लेकिन हमें केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु की आवश्यकता है। गुरुत्वाकर्षण के न्यूटन के शास्त्रीय सिद्धांत के अनुसार, दूरी ₁ और m ₂ के द्रव्यमान बिंदु R से अलग किए गए गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के बीच का बल दोनों द्रव्यमानों के समानुपाती होता है और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है:

यहाँ - G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक (आनुपातिकता का एक निश्चित गुणांक) है। हमारे लिए केवल यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि गुरुत्वाकर्षण बल एक शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से दूसरे के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक निर्देशित होता है और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती (व्युत्क्रम वर्गों का नियम) होता है।
ध्यान दें कि सूर्य के पक्ष से आकर्षण बल को छोड़कर, कोई भौतिक बिंदु के रिक्त स्थान में हमारे गोलाकार ग्रह पर कोई अन्य बल कार्य नहीं करता है। हमारे मामले में, गुरुत्वाकर्षण बल का क्षेत्र बलों का केंद्रीय क्षेत्र है। बलों के केंद्रीय क्षेत्र में, ऐसे क्षेत्र के किसी भी बिंदु पर शरीर पर काम करने वाले बल की दिशा हमेशा इस क्षेत्र के केंद्र से गुजरती है (हमारे मामले में, सूर्य के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के माध्यम से), और इस तरह के बल का परिमाण केवल इस केंद्र की दूरी पर निर्भर करता है।

न्यूटन का दूसरा नियम

बल के प्रभाव में शरीर कैसे चलता है? न्यूटन के दूसरे नियम इस प्रश्न का उत्तर देते हैं। सामान्य तौर पर, इस कानून के कई सूत्र हैं, आधुनिक लोगों के सबसे आम:

जड़त्वीय संदर्भ प्रणालियों में, एक भौतिक बिंदु द्वारा अधिग्रहित त्वरण, जो सीधे बल के कारण आनुपातिक होता है, दिशा में इसके साथ मेल खाता है और सामग्री बिंदु के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

यह शब्द सही है, लेकिन बहुत स्पष्ट नहीं है। न्यूटन ने स्वयं एक अलग सूत्रीकरण दिया:

संवेग में परिवर्तन लागू ड्राइविंग बल के समानुपाती होता है और यह उस सीधी रेखा की दिशा में होता है जिसके साथ यह बल कार्य करता है।

यह शब्द, हालांकि कम सटीक है (हमें रिपोर्टिंग प्रणाली के बारे में आरक्षण करने की आवश्यकता है, लेकिन यह हमारे लिए अभी तक रुचि नहीं है), लेकिन बहुत अधिक समझने योग्य है। यहाँ, संवेग का अर्थ शरीर के द्रव्यमान के तथाकथित गति से माना जाता है, जो शरीर के द्रव्यमान के गुणनफल और उसकी गति के बराबर है:

इस प्रकार, हम मौखिक शब्द को प्रतीकात्मक रूप में लिखते हैं:

या अगर हम लिखते हैं कि शरीर की गति क्या है और द्रव्यमान को एक स्थिर के रूप में बाहर निकालते हैं (अंतर हमेशा एक स्थिर नहीं होता है, लेकिन हमारे मामले में) अंतर संकेत के लिए, हमें निम्नलिखित प्रसिद्ध सूत्र मिलते हैं:

वेक्टर कहां है - शरीर का त्वरण। यह मत भूलो कि त्वरण, गति, वेग और बल वेक्टर मात्रा हैं। आइए सहमत हैं कि यदि एक वेक्टर का चिन्ह एक वेक्टर मात्रा से ऊपर है, तो यह वेक्टर है जिसे समझा जाता है, अन्यथा इसका मॉड्यूल।

केप्लर का दूसरा नियम

सादगी के लिए, आइए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पर मूल को डालें, अर्थात। सूर्य के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र में। इस प्रकार, ग्रह के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से मूल तक खींचा गया वेक्टर गुरुत्वाकर्षण के वेक्टर के साथ दिशा में मेल खाता है।
अंतरिक्ष में शरीर की स्थिति को तथाकथित त्रिज्या वेक्टर द्वारा वर्णित किया जाता है - शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र में मूल से खींचा गया एक वेक्टर। त्रिज्या वेक्टर द्वारा अभिव्यक्ति के बाएं और दाएं पक्षों को वेक्टर रूप से गुणा करें:

आगे जोड़तोड़ के लिए, आइए एक वेक्टर उत्पाद का व्युत्पन्न लिखें:

फिर वेक्टर उत्पाद की व्युत्पत्ति वेग से वेक्टर की त्रिज्या है:

आपको याद दिला दूं कि स्वयं वेक्टर का उत्पाद शून्य है, फिर:

हम अंतर को संकेत के तहत द्रव्यमान का परिचय देते हैं, और हमारे द्वारा प्राप्त शरीर की गति के लिए अभिव्यक्ति को ध्यान में रखते हैं:

चूंकि गुरुत्वाकर्षण का वेक्टर हमेशा गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की ओर निर्देशित होता है, वेक्टर के त्रिज्या का वेक्टर उत्पाद और गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा शून्य होता है, इसलिए हम एक बहुत महत्वपूर्ण निष्कर्ष बनाते हैं:

हमें कोणीय गति के संरक्षण का तथाकथित कानून मिला। किसी निकाय के कोणीय गति में परिवर्तन उस पर लागू कोणीय गति के समानुपाती होता है। चूंकि गुरुत्वाकर्षण का वेक्टर हमेशा गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की ओर निर्देशित होता है, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण का क्षण हमेशा शून्य होता है। यह इस प्रकार है कि शरीर की कोणीय गति स्थिर है।
चूंकि हम इस बात पर सहमत थे कि ग्रह का द्रव्यमान स्थिर है, निम्नलिखित अभिव्यक्ति भी सत्य है:

समझने के लिए कि क्या है आइए तस्वीर की ओर मुड़ें:

आंकड़ा प्रक्षेपवक्र के एक भाग को दर्शाता है। Dt समय के दौरान , शरीर दूरी vdt की यात्रा करता है। वैक्टर के वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल संख्यात्मक रूप से इन वैक्टर पर निर्मित समानांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है। यह पता चला है कि:

मूल्य प्रति इकाई समय वेक्टर की त्रिज्या द्वारा वर्णित क्षेत्र है और इसे क्षेत्रीय वेग कहा जाता है। नतीजतन, शरीर का क्षेत्रीय वेग स्थिर है। हमें अभी केप्लर का दूसरा कानून मिला है जिसमें कहा गया है:

प्रत्येक ग्रह सूर्य के केंद्र से गुजरने वाले विमान में चलता है, और बराबर समय के लिए, सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाले त्रिज्या वेक्टर समान क्षेत्रों का वर्णन करता है।

हां, मुझे पता है, "कानून मिला" अच्छा नहीं लगता, लेकिन आप क्या कर सकते हैं, यह कहा जाता है। कारण यह है कि केप्लर ने इसे प्राप्त नहीं किया, लेकिन सहजता से इसे अपनी टिप्पणियों के आधार पर चुना, अर्थात। इसे अनुभव से प्राप्त किया, इस मामले में यह वास्तव में एक कानून था।
इस कानून का एक चित्रण निम्नलिखित है (चित्र विकिपीडिया लेख से लिया गया है)।

विभेदक कक्षा समीकरण

फिर भी हम वेक्टर के त्रिज्या के वेक्टर उत्पाद और वेग पर करीब से नज़र डालते हैं। त्रिज्या वेक्टर को मॉड्यूल के त्रिज्या के वेक्टर (मूल से बिंदु की दूरी) और इकाई लंबाई के एक वेक्टर के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो वेक्टर की त्रिज्या के साथ दिशा में मेल खाता है:


फिर वेग वेक्टर के बराबर होगा:

और वेक्टर उत्पाद वेक्टर की त्रिज्या और बदले में गति है:

इस तथ्य को देखते हुए कि वैक्टर और दिशा में संयोग करते हैं, और इसलिए दिशा और वैक्टर में मेल खाते हैं और हमें वह मिलता है । तब:

आइए देखें कि समय के संबंध में एक इकाई वेक्टर का व्युत्पन्न क्या है:

उस समय में यह आंकड़ा दिखाता है वेक्टर घूमता है । अंतर वैक्टर और वेक्टर के बराबर । छोटे कोणों के लिए, निम्नलिखित संबंध हैं:

सीमा में, जब शून्य, वेक्टर दिशाओं में जाता है और संयोग, और वेक्टर की दिशा उन्हें सीधा। हम इकाई वेक्टर का परिचय देते हैं के लिए लंबवत और इसके अंत की गति की दिशा के साथ मेल खाता है, तब:

इस प्रकार, सीमा के पास, हम प्राप्त करते हैं:

जहाँ यह वेक्टर का कोणीय वेग है । हम निरूपित करते हैं
आइए हम अपने उत्पाद, वेग के त्रिज्या सदिश पर लौटें हमें मिलता है:

यह देखना आसान है कि वैक्टर और परस्पर लंबवत। हम एक और यूनिट वेक्टर का परिचय देते हैं जो वैक्टरों के लंबवत है और । इस प्रकार वैक्टर । और एक असामान्य आधार बनाएँ। वेक्टर उत्पाद की परिभाषा के आधार पर, हमें यह मिलता है:

इसलिए, । हम संकेतन का परिचय देते हैं । यह भी ध्यान देने योग्य है कि:

आइए हम न्यूटन के दूसरे नियम पर लौटते हैं। शरीर पर अभिनय करने वाले बल वेक्टर को गुरुत्वाकर्षण वेक्टर के मान को इकाई वेक्टर द्वारा गुणा के रूप में तुरंत लिखा जा सकता है :

जहाँ m ₁ और m ₂ क्रमशः ग्रह और सूर्य का द्रव्यमान है।
आइए ग्रह के द्रव्यमान को तुरंत कम करें, और कहीं भी हम ग्रह के द्रव्यमान को याद नहीं करेंगे, क्योंकि यह आंदोलन के प्रक्षेपवक्र को प्रभावित नहीं करता है। हम मानते हैं कि हम एक यूनिट मास बॉडी के साथ काम कर रहे हैं। हम संकेतन का परिचय देते हैं तब:

अब चलो त्वरण वेक्टर लिखते हैं:

दूसरे ब्रैकेट की सामग्री पर विचार करें:

लेकिन हम पहले से ही जानते हैं , यह इस प्रकार है तब:

हम संकेतन का परिचय देते हैं । आपको याद दिला दूं कि पहले हमने नोटेशन की शुरुआत की थी ऐसा नहीं है कि स्पष्ट है ।
अब हम मॉड्यूल के व्युत्पन्न को C के माध्यम से वेक्टर की त्रिज्या लिखते हैं:

अब हम मॉड्यूल के दूसरे व्युत्पन्न को लिखते हैं, C के माध्यम से वेक्टर की त्रिज्या:

परिणाम को देखते हुए, हम त्वरण वेक्टर के लिए अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं:

फिर न्यूटन का दूसरा कानून अपनाएगा:

हम एक अधिक परिचित रूप में परिणामी अंतर समीकरण को फिर से लिखते हैं:

मुझे लगता है कि आप में से कई ने अनुमान लगाया है कि परिणामी अंतर समीकरण क्या है, लेकिन मैं शायद इस पहले भाग को समाप्त कर दूंगा ताकि पाठक और खुद को अधिभार न डालें।

परिणाम

हमें एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक भौतिक बिंदु के प्रक्षेपवक्र का वर्णन करते हुए एक अंतर समीकरण प्राप्त हुआ है, जो ग्रहों और कुछ अन्य खगोलीय पिंडों के प्रक्षेपवक्र का वर्णन करने के लिए काफी लागू है।

हमारे पास अभी भी क्या है

परिणामी अंतर समीकरण में कोई समय पैरामीटर नहीं होता है, इसलिए हम आंदोलन की प्रकृति के बारे में कुछ भी नहीं जानते हैं, इसलिए आपको किसी भी तरह समय पर बांधने की आवश्यकता है। साथ ही, पर्यवेक्षक से जुड़ी प्रणाली में ग्रहों के निर्देशांक प्राप्त करने के लिए विभिन्न समन्वय प्रणालियों और उनके परिवर्तनों पर विचार किया जाएगा।

पुनश्च

किसी भी आलोचना, टिप्पणी और परिवर्धन का स्वागत है।