एमपी, जेपीईजी और होमर सिम्पसन के लिए मैथ ट्रिक

नौ साल पहले मैंने कॉलेज में एक भौतिकी पाठ्यक्रम में भाग लिया, और मेरे प्रोफेसर ने मुझे एक बात बताई। मुझे लगता है कि यह कहना कोई अतिशयोक्ति नहीं है कि यह सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल की जाने वाली गणितीय खोजों में से एक है - प्रकाशिकी से लेकर क्वांटम भौतिकी, रेडियो खगोल विज्ञान, एमपी 3 और जेपीईजी संपीड़न, एक्स-रे क्रिस्टलोग्राफी, आवाज पहचान और एमआरआई। इस गणितीय उपकरण को 18 वीं शताब्दी के फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ जोसेफ फूरियर के सम्मान में फूरियर ट्रांसफॉर्म कहा जाता है। यहां तक ​​कि जेम्स वॉटसन और फ्रांसिस क्रिक द्वारा भी इस्तेमाल किया गया था ताकि रोसलिंड फ्रैंकलिन द्वारा उत्पादित एक्स-रे से डीएनए के दोहरे हेलिक्स की संरचना को डिकोड किया जा सके। (चीख फूरियर ट्रांसफॉर्म पर एक विशेषज्ञ था, मजाक में अपनी पुस्तक फूरियर ट्रांसफॉर्म्स ऑर्निथोलॉजिस्ट के लिए वॉटसन, एक शौकीन पक्षी प्रेमी को सार समझाने के लिए) का शीर्षक दिया।

आप शायद हर दिन फूरियर विचार का उपयोग करते हैं यदि आप एमपी 3 सुनते हैं, इंटरनेट पर चित्र देखते हैं, एक प्रश्न पूछें सिरी या एक रेडियो स्टेशन को पकड़ें। (वैसे, फूरियर, काम करने के बहुत शौकीन था। सैद्धांतिक भौतिकी और गणित में अपने काम के अलावा, वह ग्रीनहाउस प्रभाव की खोज करने वाले पहले व्यक्ति भी थे [pdf]।)

तो फूरियर की खोज क्या है और यह इतना उपयोगी क्यों है? एक पियानो पर एक नोट की कल्पना करो। जब एक पियानो कुंजी दबाया जाता है, तो एक हथौड़ा एक स्ट्रिंग से टकराता है जो एक निश्चित आवृत्ति पर कंपन करता है (ए नोट - 440 बार प्रति सेकंड)। जैसे ही स्ट्रिंग कंपन करती है, उसके चारों ओर के वायु के अणु आगे-पीछे चलते हैं, जिससे अणुओं की एक लहर बनती है जिसे हम ध्वनि कहते हैं। यदि आप हवा की गति का निरीक्षण कर सकते हैं, तो आप एक चिकनी, लहराती, अनंत बार दोहराए जाने वाले वक्र को देखेंगे जिसे साइनसॉइड कहा जाता है। (स्पष्टीकरण: पियानो कुंजी के साथ उदाहरण में, वास्तव में एक से अधिक साइनसॉइड होंगे। वास्तविक पियानो नोटों की समृद्धि बड़ी संख्या में नरम ओवरटोन हैं जो मुख्य साइनसोइडल तरंग के अतिरिक्त दिखाई देते हैं। एक नोट एक साइनसॉइड के बराबर है, लेकिन ट्यूनिंग कांटा का उपयोग करके आप एक ध्वनि प्राप्त कर सकते हैं)। एक साइनसॉइड के होते हैं)।


नोट की ध्वनि तरंग को साधारण साइन तरंग माना जा सकता है। मिल्टर्स बी शट्टरशॉक पर

अब एक कॉर्ड पाने के लिए तीनों कीज़ को एक साथ दबाएं। परिणामस्वरूप ध्वनि तरंग इतनी सटीक नहीं निकलेगी - यह अधिक अनिश्चित होगी। लेकिन इस घुमावदार ध्वनि तरंग में एक साधारण रेखा छिपी होती है। आखिरकार, हमें केवल तीन कुंजी दबाकर एक राग मिला, इसलिए इस ध्वनि तरंग में तीन नोट (या एक साइनसॉइड) होते हैं।


पियानो कॉर्ड के साथ प्राप्त एक ध्वनि तरंग यादृच्छिक लग सकती है, लेकिन यह सिर्फ तीन अलग-अलग नोटों का योग है। क्रिस्टीन Daniloff / MIT

फूरियर ने अनुमान लगाया कि यह केवल संगीतमय छंदों की एक विशेष संपत्ति नहीं है, यह किसी भी दोहराए जाने वाली लहर, वर्ग, गोल, लहराती, त्रिकोणीय, सामान्य रूप से - किसी भी अधिक सामान्य रूप में लागू होता है। फूरियर रूपांतरण एक गणितीय प्रिज्म के समान है - आप एक लहर को खिलाते हैं, और यह इसके घटकों को दिखाता है, अर्थात, नोट्स (या साइनसोइड्स), जो कनेक्ट होने पर, तरंग को पुन: बनाएँ।

अगर यह थोड़ा सार लगता है, तो यहां कुछ तरीकों की कल्पना की जा सकती है। यहाँ हम लुकास वी। बारबोसा से मिलते हैं, जो एक ब्राज़ीलियाई भौतिकी का छात्र है, जो ग्रैजुएशन के लिए अविश्वसनीय गणितीय और वैज्ञानिक एनिमेशन बनाता है।
तो, चलो फूरियर प्रिज्म के माध्यम से पारित स्क्वायर तरंग को देखें, और देखें कि आउटपुट पर क्या हुआ।


LucasVB एनीमेशन से छवियाँ

इन चित्रों में (ऊपर दिए गए लिंक से आप पूरे एनीमेशन को देख सकते हैं) लाल वर्ग की लहर नोटों के एक सेट (नीली साइन तरंगों) में बदल जाती है। नीली तरंगें लाल तरंग की गणितीय सामग्री हैं। उसी अनुरूपता के द्वारा, फूरियर ट्रांसफॉर्म एक ऐसी रेसिपी है जो मूल तरंग को पुनर्स्थापित करने के लिए एक साथ कितने और किन नोटों को मिलाने की आवश्यकता होगी, यह सटीक रूप से इंगित करेगा। एनीमेशन में ऊर्ध्वाधर नीली रेखाएं एक ग्राफ हैं जो नेत्रहीन प्रत्येक नोट की राशि का प्रतिनिधित्व करता है।

यहां कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के छात्र मैथ्यू हेंडरसन या मैथेन द्वारा प्रस्तुत किया गया एक अलग दृष्टिकोण है , जो दिलचस्प गणित चिप्स के एनिमेशन भी बनाता है। मैथेन साइनसॉइड के बजाय हलकों का उपयोग करके फूरियर चाल की व्याख्या करता है। विभिन्न आकारों के सर्कल का एक सेट उनकी सहायता के लिए आता है, जिनमें से प्रत्येक का केंद्र एक बड़े सर्कल की सीमा पर है। मंडलियां घूमने लगती हैं, छोटे बड़े चारों ओर घूमते हैं और इसे तेजी से बनाते हैं। यदि आप सबसे छोटे सर्कल पर एक बिंदु की गति का पता लगाते हैं, तो आप किसी भी आकृति की एक लहर को फिर से संगठित कर सकते हैं, जैसा कि एनीमेशन में और चित्र में दिखाया गया है । फिर से, फूरियर ट्रांसफॉर्म हमें बताता है कि कैसे एक लहर का निर्माण किया जाए: कौन सा सर्कल और उपयोग करने के लिए गति।


मैथ्यू हेंडरसन

यदि आपको स्पाइरोग्राफ मिल जाता है, तो हलकों के अंदर हलकों का उपयोग करके जटिल मॉडल को ट्रैक करने का विचार आपको परिचित लग सकता है। यह एनीमेशन का एक इंटरैक्टिव संस्करण है , जो लुकासवीबी द्वारा निर्मित एक के समान है, जहां आप मज़े कर सकते हैं और हलकों का आकार बदल सकते हैं।

सामान्य तौर पर, फूरियर ट्रांसफॉर्म हमें बताता है कि एक "नोट" (साइन वेव या सर्कल) में प्रत्येक घटक में से कितने सामान्य तरंग में समाहित हैं। और यहाँ यह उपयोगी क्यों है। कल्पना कीजिए कि आप अपने मित्र से फोन पर बात कर रहे हैं और चाहते हैं कि वह इस वर्ग तरंग को खींचे। आप थकाऊ तरीके का उपयोग कर सकते हैं और संख्याओं की एक लंबी सूची पढ़ सकते हैं जो समय में प्रत्येक क्षण लहर की ऊंचाई दिखाते हैं। इन सभी नंबरों को देखते हुए, आपका मित्र मूल तरंग बनाने में सक्षम होगा। यह कैसे पुराने ऑडियो प्रारूप, जैसे कि WAV, ने काम किया। लेकिन अगर आपका दोस्त फूरियर रूपांतरण को समझता है, तो आप सब कुछ सरल बना सकते हैं: आप बस कुछ संख्याओं को नाम दे सकते हैं - ऊपर चित्र में मंडलियों का आकार। इन तरंगों का उपयोग मूल तरंग को पुनर्स्थापित करने के लिए किया जा सकता है।

यह कुछ जटिल गणितीय चाल नहीं है। फूरियर रूपांतरण का उपयोग लगभग हर जगह किया जाता है जहां लहरें होती हैं। सर्वव्यापी एमपी 3 प्रारूप WAV फ़ाइलों (उच्चारण "लहर") की तुलना में विशाल संपीड़न को प्राप्त करने के लिए फूरियर चाल के एक संस्करण का उपयोग करता है जो इससे पहले आया था। एमपी 3 एक गीत को छोटे खंडों में विभाजित करता है। प्रत्येक सेगमेंट में, फूरियर ट्रांसफॉर्म ऑडियो तरंग को घटक नोटों में तोड़ता है, जो मूल तरंग के बजाय संग्रहीत होते हैं। फूरियर ट्रांसफॉर्म हमें यह भी बताता है कि कौन से नोट महत्वपूर्ण हैं, यह जानने के लिए एक गीत में कितने और किन नोटों का उपयोग किया जाता है। बहुत उच्च नोट्स महत्वपूर्ण नहीं हैं (हमारे कान मुश्किल से उन्हें सुन सकते हैं), इसलिए एमपी 3 उन्हें दूर फेंक देता है, और भी अधिक डेटा संपीड़न प्राप्त कर रहा है। इसलिए, संगीत प्रेमियों को एमपी 3 पसंद नहीं है - यह एक दोषरहित ऑडियो प्रारूप नहीं है, और वे दावा करते हैं कि वे अंतर सुन सकते हैं।

Shazam ऐप उस तरह से गाने को पहचानता है। यह गीत को टुकड़ों में तोड़ता है, और फिर प्रत्येक टुकड़े को बनाने वाले नोटों को निर्धारित करने के लिए फूरियर रूपांतरण का उपयोग करता है। फिर यह डेटाबेस को यह देखने के लिए खोजता है कि क्या नोटों का यह "फिंगरप्रिंट" किसी संग्रहीत गाने से मिलता जुलता है। भाषण मान्यता प्रसिद्ध शब्दों की सूची के साथ अपनी आवाज में नोटों की तुलना करने के लिए एक ही विचार का उपयोग करती है।

आप छवियों के लिए फूरियर रूपांतरण का उपयोग कर सकते हैं। यहां एक शानदार वीडियो है जो दिखाता है कि हलकों का उपयोग करके होमर सिम्पसन का चेहरा कैसे आकर्षित किया जाए। वुल्फ्राम अल्फा ऑनलाइन विश्वकोश प्रसिद्ध लोगों के चेहरे को चित्रित करने के लिए एक समान विचार का उपयोग करता है। किसी पार्टी में ज्ञान दिखाने के लिए निम्नलिखित तथ्य उपयोगी है: छवियों को JPEG प्रारूप में संपीड़ित करने के लिए फूरियर रूपांतरण का भी उपयोग किया जाता है। माइक्रोसॉफ्ट पेंट के अच्छे पुराने दिनों में, छवियों को बीएमपी प्रारूप में सहेजा गया था, जो प्रत्येक पिक्सेल के रंग को एन्कोडिंग करने वाली संख्याओं की एक लंबी सूची थी। JPEGs MP3 इमेज हैं। JPEG बनाने के लिए, आपको छवि को 8 से 8 पिक्सेल के छोटे वर्गों में विभाजित करना होगा। छवि को फिर से बनाने के लिए, प्रत्येक भाग के लिए आपको सर्कल के उसी विचार को लागू करने की आवश्यकता है जो होमर सिम्पसन के चेहरे को खींचती है। जिस तरह एमपी 3 बहुत ही उच्च नोटों को त्यागता है, उसी तरह जेपीईजी बहुत छोटे सर्किलों को छोड़ देता है। नतीजतन, हमें गुणवत्ता में मामूली नुकसान के साथ फ़ाइल आकार में भारी कमी आती है, इस चाल ने हमें एक ऑनलाइन दुनिया दी जिसे हम सभी प्यार करते हैं (और जिसके लिए हमें बिल्लियों के साथ जिफ मिला)।


रान्डेल मुनरो / एक्सकेसीडी

विज्ञान में फूरियर रूपांतरण कैसे किया जाता है? ट्विटर के माध्यम से, मैंने वैज्ञानिकों से यह वर्णन करने के लिए कहा कि फूरियर के विचारों ने उन्हें अपने काम में कैसे मदद की। जवाब ने मुझे चौंका दिया। प्रतिक्रिया देने वाले वैज्ञानिकों ने फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग तरल पदार्थों के साथ बातचीत करने वाले भूकंप के पूर्वानुमानों का अध्ययन करने, बहुत दूर की आकाशगंगाओं के घटकों का निर्धारण करने, बिग बैंग के थर्मल अवशेषों में नई शारीरिक प्रक्रियाओं की खोज करने, नासा के डिजिटल संकेतों का विश्लेषण करने के लिए प्रोटीन के ढांचे का निर्धारण करने के लिए फूरियर ट्रांसफॉर्मेशन के लिए किया। पानी के चक्र के मॉडल को परिष्कृत करने, पल्सर (न्यूट्रॉन तारों को घुमाने) और संरचना का निर्धारण करने के लिए संगीत वाद्ययंत्र के ध्वनिकी का अध्ययन करना। परमाणु चुंबकीय अनुनाद का उपयोग कर अणु। फूरियर रूपांतरण का उपयोग यहां तक ​​कि नकली जैक्सन पोलक चित्रों की पहचान करने के लिए किया गया है जो पेंट में रसायनों की मान्यता के माध्यम से हैं।

वहाँ तुम जाओ! एक गणितीय फोकस के लिए बहुत कुछ।

अतीश भाटिया ने हाल ही में प्रिंसटन यूनिवर्सिटी से भौतिकी में पीएचडी की उपाधि प्राप्त की , विज्ञान और इंजीनियरिंग को बढ़ावा दिया। वह मान्यता प्राप्त अनुभवजन्य उत्साही ब्लॉग के लेखक हैं, उनका ट्विटर अकाउंट @ आतिशब है ।