केप्लर का समीकरण

आकाशीय यांत्रिकी के लेखों ने हबेरा पर कुछ लोकप्रियता का आनंद लिया, इसलिए मैंने यह बताने का फैसला किया
गति के मूल समीकरण के बारे में, केप्लर का समीकरण।
जैसा कि आप जानते हैं, सौर मंडल में आकाशीय पिंडों की परिमित गति एक दीर्घवृत्त में होती है। हालाँकि, यदि आवश्यक हो
यह सुनिश्चित करने के लिए कि किसी निश्चित समय में आकाशीय पिंड किस बिंदु पर है, यह जानकारी पर्याप्त नहीं है और आपको केपलर समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है।

हम इस समीकरण को प्राप्त करते हैं।
मुझे याद दिलाना है कि एक दीर्घवृत्त एक चपटा मूल्य है



वृत्त। यहाँ ई विलक्षणता है।

दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल बराबर होता है



जहाँ एक अर्धचालक धुरी है।
केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार, जो बताता है कि एक खगोलीय पिंड के त्रिज्या सदिश द्वारा बहने वाला क्षेत्र समय के लिए आनुपातिक है, आप लिख सकते हैं



जहाँ T कक्षीय अवधि है, t वर्तमान समय है, t0 पेरिहेलियन के पारित होने का समय है (सूर्य के निकटतम कक्षा बिंदु)।

आइए अब हम इस क्षेत्र की कक्षा में खगोलीय पिंड की स्थिति पर निर्भरता का पता लगाते हैं, जो कि त्रिज्या सदिश आर और वास्तविक विसंगति के परिमाण पर है - सूर्य से देखे जाने पर, पेरिहेलियन और आकाशीय पिंड के बीच का कोण।

ऐसा करने के लिए, हम एक अतिरिक्त चर - ई के विलक्षण विसंगति का परिचय देते हैं।
आइए हम सूर्य से एक्स अक्ष को निर्देशित करते हैं (उत्पत्ति), जो कि दीर्घवृत्त के एक केंद्र बिंदु में स्थित है, एपीसियन के साथ पेरिहेलियन की ओर (एपिकेंट से पेरीसेन्ट को जोड़ने वाली रेखा)।
हम दीर्घवृत्त के अक्ष के बराबर त्रिज्या के साथ एक सहायक वृत्त भी बनाते हैं।



बिंदु P पर खगोलीय पिंड का फरसा बराबर होगा



क्रमशः समन्वय होगा



इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं





क्षेत्र S की गणना करने के लिए, हम सहायक आंकड़े मानते हैं:
सर्कल का सेक्टर P'-O-Per:



पीओ-प्रति दीर्घवृत्तीय क्षेत्र:



त्रिभुज ओ-ओ-पी:



सेक्टर पी-ओ-प्रति:



यहाँ से, S का क्षेत्रफल बराबर है:



इस अभिव्यक्ति की तुलना केप्लर के पहले के दूसरे कानून से की गई है,
हमें मिलता है:



जहाँ M (t) = 2 * pi * (t - t0) / T

यह केपलर समीकरण है।

ध्यान दें कि यह ई के लिए एक ट्रान्सेंडैंटल समीकरण है और सामान्य मामले में एक स्पष्ट समाधान प्राप्त करना संभव नहीं है।

एक खगोलीय पिंड के निर्देशांक की गणना करने के लिए, ज्ञात एम और ई से एक विलक्षण विसंगति को खोजने के लिए आवश्यक है, और फिर त्रिज्या वेक्टर और कोण का निर्धारण करें और, यदि आवश्यक हो, तो उपरोक्त सूत्रों के अनुसार x और y।

एक दिलचस्प सवाल केप्लर समीकरण को हल करने के लिए तरीके ढूंढता रहता है।
मानव जाति का सबसे अच्छा दिमाग पिछले चार सौ सालों से कर रहा है।
परिणाम कई दिलचस्प विचारों के साथ गणित का संवर्धन था, लेकिन इसके वर्णन के लिए एक अलग लेख की आवश्यकता होती है।