केपलर समीकरण: रिबूट

शुभ दोपहर हाल ही में, केपलर समीकरण के बारे में एक पोस्ट यहां फिसल गई और मैं इस तथ्य से थोड़ा चकित हो गया कि कुछ भी नहीं लिखा गया था कि यह आम तौर पर कैसे और कहां, दोनों ऐतिहासिक और गणितीय रूप से प्राप्त होता है। जैसा कि आप जानते हैं, केपलर ने उन्हें ग्रहों की गति के अवलोकन से बाहर लाया, और लैंडौ और लिफ़्ज़िट्ज़ ने ग्रह की गति को प्राप्त किया ...


Lagrange फ़ंक्शन के बिना कोई सैद्धांतिक यांत्रिकी संभव नहीं है। मैंने उसे निष्कर्ष नहीं दिया, मैं केवल यही कहूंगा कि सारा नमक हैमिल्टन की सबसे कम कार्रवाई के सिद्धांत में है।

जिसके अनुसार, एक यांत्रिक प्रणाली चलती है ताकि उपरोक्त अभिन्न, जो, वैसे, एक क्रिया कहलाती है, का सबसे छोटा संभव मूल्य है। शायद "कार्यात्मक का रूपांतर" आपको कुछ बताता है - यदि ऐसा है, तो लैग्रेंज समीकरण (यूएल) (1), यह युलर समीकरण है, एक मुक्त कण के लिए यह वहां से इस प्रकार है - यह इसके व्युत्पत्ति के विकल्पों में से एक है। यदि नहीं, तो सब कुछ थोड़ा खराब है, अर्थात्: हम न्यूटन के दूसरे नियम का विश्लेषण करेंगे, गणना पर दो पृष्ठ खर्च करेंगे, सामान्यीकृत निर्देशांक और बलों और संबंधों की अवधारणाओं को पेश करेंगे, और अंततः उसी विकल्प पर आएंगे। वैसे, यह दूसरे तरीके से है कि लैग्रेंज फ़ंक्शन (पीएल) (2) स्वाभाविक रूप से पेश किया जाता है, जैसा कि गतिज और संभावित ऊर्जाओं के बीच अंतर।





अंकन के संबंध में, क्यू सामान्यीकृत समन्वय है, और बिंदु समय व्युत्पन्न है। महत्वपूर्ण! लैगरेंज औपचारिकतावाद के अनुसार, सामान्यीकृत निर्देशांक और वेग स्वतंत्र मात्रा हैं! एक नि: शुल्क कण (या एक बंद प्रणाली, अर्थात्, एक प्रणाली जो बाहरी शक्तियों से प्रभावित नहीं होती है) के मामले में:



सामान्यीकृत निर्देशांक के सूचक यह दर्शाते हैं कि सामान्य तौर पर यह प्रत्येक समन्वय के लिए अलग-अलग अंतर समीकरणों की एक प्रणाली है।
संक्षेप में और विपरीत दिशा में, त्रिज्या वैक्टर और वेग के साथ सामान्यीकृत निर्देशांक की जगह:



हमें न्यूट्रॉन समीकरण लैग्रेग समीकरण से प्राप्त होता है (यह याद रखना कि समय के साथ त्रिज्या वेक्टर का व्युत्पन्न गति के बराबर है)।

यहाँ यह जोड़ने योग्य है कि PL एडिटिव है, जिसका अर्थ है कि PL का सिस्टम उसके भागों के PL का योग है:



महान, हमारे पास एक आधार है। अब, केपलर समीकरण को प्राप्त करने के लिए, दीवारों का निर्माण करना आवश्यक है - सामान्यीकृत ऊर्जा, गति और कोणीय गति। यहां एक छोटा सा बयान देना महत्वपूर्ण है, जो वास्तव में बहुत बड़ा है और इसका नाम "नोथेर प्रमेय" है: हमारा स्थान, कम से कम निकायों के पैमाने पर जो हम वर्णन करते हैं:

• समान रूप से,
• आइसोट्रोपिक,
• एक समान समय है।

इस प्रकार, हम तीन संरक्षण कानून, गति के तीन अभिन्न अंग पेश कर सकते हैं, अर्थात्, एक मूल्य जो गति के दौरान संरक्षित है, केवल प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करता है।

आइए सामान्यीकृत ऊर्जा से शुरुआत करें। सबसे स्पष्ट बात जो मैं कर सकता हूं वह है। हम समय की एकरूपता का लाभ लेते हैं, अर्थात्: पीएल समय पर स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करता है, पीएल की कुल व्युत्पन्नता ले लो, और यूएल को प्रतिस्थापित करके परिवर्तित करें:



कहां चाहिए



हो गया। वैसे, संरक्षित ऊर्जा वाले यांत्रिक प्रणालियों को रूढ़िवादी कहा जाता है।

सामान्यीकृत गति का संरक्षण अंतरिक्ष की समरूपता और विशेष रूप से अंतरिक्ष में समानांतर प्रणाली हस्तांतरण की स्वतंत्रता से होता है। अंतरिक्ष में एक प्रणाली के एक असीम हस्तांतरण पर विचार करें एप्सिलॉन, अर्थात्। सिस्टम के कुछ हिस्सों की त्रिज्या वैक्टर (1) के रूप में बदल जाएगी। पीएल में परिवर्तन को (2) के रूप में लिखा जाता है, जो एप्सिलॉन की यादृच्छिकता के कारण शून्य के बराबर आंशिक व्युत्पन्न की राशि के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। बाकी सरल है, (3) और हम देखते हैं कि कुल गति (4) आंदोलन के साथ नहीं बदलती है।



यहां हम जड़ता के केंद्र की अवधारणा को पेश करते हैं। सामान्य तौर पर, एक यांत्रिक प्रणाली एक सीधी रेखा और अन्य निकायों के साथ चलती बिंदु के रूप में सहज रूप से प्रतिनिधित्व करने योग्य होती है जो किसी तरह पहले से ही इस बिंदु के सापेक्ष चलती हैं। तो यह बिंदु जड़ता का केंद्र है, अर्थात्, हम एक बंद यांत्रिक प्रणाली को कुल द्रव्यमान के साथ एक बिंदु के रूप में दर्शाएंगे, और बाकी सभी चीजों को सिस्टम की आंतरिक ऊर्जा में डाल देंगे।

संवेग के क्षण के साथ, यह संवेग का क्षण भी है, सब कुछ इसी तरह से बदल जाता है, इसलिए मैं सिर्फ परिणाम लिखता हूं:



सारांशित करने के लिए: हमारे पास UL, FL और गति के तीन अभिन्न अंग हैं: ऊर्जा, संवेग, और कोणीय गति।

अंत में, हम उस समय आगे बढ़ सकते हैं जो मैं आपका समय बर्बाद कर रहा हूं :) वह, जिससे केप्लर समीकरण किसी विशेष मामले में अनुसरण करता है, उसे "दो-शरीर की समस्या" कहा जाता है। शुरुआत के लिए, इसे सरल करें। हम दो निकायों के पीएल लिखते हैं (1) और उनकी पारस्परिक दूरी (2) के वेक्टर का परिचय देते हैं। उसी समय, हम उत्पत्ति को जड़ता के केंद्र में रखते हैं, जो (3) देता है। दूसरे और तीसरे समीकरण से हम दोनों बिंदुओं (4) के त्रिज्या वैक्टर पाते हैं और उन्हें पहले (5) में प्रतिस्थापित करते हैं। घटा हुआ द्रव्यमान (6) यहां प्रस्तुत किया गया है।
इस प्रकार, दो-शरीर की समस्या कुछ केंद्रीय क्षेत्र में एक-शरीर की समस्या से कम हो जाती है।



केंद्रीय क्षेत्र M = [rp] में कोणीय गति पर विचार करें। यहाँ से, M और r लंबवत हैं, और M की गति से (गति का अभिन्न अंग, याद रखें।) यह देखा जा सकता है कि सिस्टम का त्रिज्या वेक्टर हमेशा एक ही विमान में रहता है - हमारे पास विमान गति है, जिसका अर्थ है कि बल केंद्र पर केंद्रित बेलनाकार समन्वय प्रणाली शुरू करने का समय है (क्षमा करें) टॉटोलॉजी के लिए) और z अक्ष, गति के विमान के लंबवत - अनिवार्य रूप से ध्रुवीय। उल्टा FL:



और समन्वय को देखो - वह वहाँ नहीं है! केवल इसका समय व्युत्पन्न है, जो हमें इसे चक्रीय कहने का अधिकार देता है और कहता है कि संबंधित सामान्यीकृत गति संरक्षित है, और समस्या का समाधान सरल है। इस मामले में, यह संवेग के क्षण के साथ मेल खाता है



इसके अलावा, पीएल में स्पष्ट रूप से समय शामिल नहीं है, जिसका अर्थ है कि सिस्टम की ऊर्जा भी उसी समय बच जाती है। गणनाओं की एक श्रृंखला के बाद



हम समस्या का हल चतुष्कोणीयों में, अर्थात् अभिन्नताओं में प्राप्त करते हैं। उसी समय, हम प्रभावी संभावित ऊर्जा का परिचय देते हैं



और केपलर समीकरण को इसके साथ क्या करना है, आप पिछली पंक्तियों से एक सवाल सुनते हैं। अच्छा, अच्छा, राजी, मैं खुद को बस के बारे में था ...

आइए एक केंद्रीय संभावित क्षेत्र में बढ़ने की समस्या को देखें



माइनस साइन आकर्षण को दर्शाता है (और प्लस साइन का अर्थ होगा प्रतिकर्षण, जो इस मामले में हमारे लिए दिलचस्प नहीं है - कण प्रतिबिंबित करेगा और अनंत तक जाएगा)। इस कार्य का अपना नाम भी है - हाँ, केप्लर का कार्य। हम प्रभावी संभावित ऊर्जा और उसके ग्राफ का निर्माण करते हैं। जाहिर है, जैसा कि r शून्य के करीब पहुंचता है, यह अनंत तक जाता है, और जब त्रिज्या वेक्टर अनंत तक जाता है, क्रमशः शून्य पर।



यह ग्राफ से स्पष्ट है कि ऊर्जा E> 0 के लिए गति अनंत होगी, अर्थात, कण अनंत तक जाएगा, और E <0 के लिए यह परिमित होगा। प्रक्षेपवक्र का आकार सामान्य सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाएगा



जो, उसमें क्षमता के रूप को प्रतिस्थापित करने के बाद, संकेतन की जोड़ी को पेश करता है



रूपांतरित करें और कोण की उत्पत्ति का चयन करें जिससे कि const = 0 बन जाएगा



जहाँ p और e क्रमशः कक्षा के पैरामीटर और विलक्षणता हैं। यहाँ यह केप्लर का समीकरण है।



आइए हम परिणामों का विश्लेषण करते हैं। ऐसा करने के लिए, प्रभावी संभावित ऊर्जा के ग्राफ को फिर से देखें।

ग्रे लाइन सिस्टम के संभावित ऊर्जा मूल्य हैं। यही है, वे, ज़ाहिर है, सभी संभव है लेकिन छोटे हैं लेकिन हम इन पर विचार करेंगे। नीचे से ऊपर:

• न्यूनतम बिंदु न्यूनतम बिंदु है। E <0, e = 0 - गति का प्रक्षेपवक्र - वृत्त। मामला दुर्लभ और बहुत सरल है।
  
• थोड़ा अधिक। ई <0, 0 <ई <1 - दीर्घवृत्त। गति परिमित है, जैसा कि दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अक्षों को परिभाषित करना भी संभव है
  
  
  
  जो सीधे विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सूत्रों से आता है (यहाँ, शायद, मैं आपको व्यगोदस्की या विकी के करीब भेजूँगा)। दीर्घवृत्त, पेरीहेलियन और एपेलियन के फोकस की क्रमशः सबसे छोटी और सबसे बड़ी दूरी
  
  
  
  आम तौर पर माथे से क्या मिलता है, बोल सकते हैं । कक्षा में क्रांति का समय केप्लर के दूसरे कानून से प्राप्त किया जाएगा । एक दीर्घवृत्त के लिए, सेक्टर की गति , जिसका मतलब है
  
  
  
  इसलिए हमें केप्लर का तीसरा नियम मिला
  
  ।
  
  यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अवधि केवल कण ऊर्जा पर निर्भर करती है।
  
• ई = 0, ई = 1। प्रक्षेपवक्र अनंत है, यह एक परवलय है । इस तरह के प्रक्षेपवक्र आराम की स्थिति से अनन्तता से आगे बढ़ने वाले कण के लिए होंगे।
  
• ई> ०, ई> १। प्रक्षेपवक्र फिर से अनंत है, लेकिन इस बार यह एक अतिशयोक्ति है, पेरिहेलियन के साथ
  
  
  

शायद यह सब मैं आपको मैकेनिक्स की मूलभूत समस्याओं में से एक के बारे में बताना चाहूंगा। केप्लर समस्या का उपयोग अक्सर गणितीय मॉडलिंग प्रणालियों का परीक्षण करने के लिए किया जाता है, साथ ही बहुत अच्छी तरह से अध्ययन और अभी तक सरल। एक हार्मोनिक थरथरानवाला की समस्या के साथ, यह एक बंद मार्ग के साथ शरीर की गति के बारे में दो समस्याओं में से एक है, जब शरीर एक ही गति से प्रारंभिक बिंदु पर लौटता है। केपलर समस्या का उपयोग शास्त्रीय यांत्रिकी के नए तरीकों के निर्माण के लिए किया जाता है, विशेष रूप से हैमिल्टनियन औपचारिकतावाद, हैमिल्टन - जैकोबी समीकरण, और एक्शन-एंगल चर प्रणाली।