प्राथमिक अंकगणित की पहेली

गणित सभी विज्ञानों की रानी है,
अंकगणित गणित की रानी है।
केएफ गौस

चार अंकगणितीय संचालन कैसे संबंधित हैं? आप हँसेंगे, लेकिन इस सवाल के व्यापक जवाब की कमी भौतिकी, रसायन विज्ञान और संबंधित विज्ञान के विकास को काफी धीमा कर देती है। वैज्ञानिक, दुर्भाग्य से, केवल इस निषेध के बारे में अनुमान लगा सकते हैं। यदि इस प्रश्न की समयबद्ध तरीके से जांच की गई होती, तो हमें D.I के विकास में कोई समस्या नहीं होती। मेंडेलीव, और हैड्रॉन कोलाइडर के परिणामों के अनुसार, सबसे अधिक संभावना है, प्राथमिक कणों और परमाणु नाभिक के कंप्यूटर मॉडल बनाए जाएंगे।

अंकगणित पर विकिपीडिया लेख संक्षेप में अंकगणितीय संचालन का वर्णन करता है, उनके गुण देता है, लेकिन उनके रिश्ते के बारे में व्यावहारिक रूप से कोई जानकारी नहीं है। रूसी भाषा के संस्करण में यह इंगित किया गया है कि सभी अंकगणितीय कार्यों का विपरीत है: इसके अलावा घटाव है, गुणन में विभाजन है, और इसके अलावा, केवल नेपर के विचार दिए गए हैं, जिसे बाद में माना जाएगा। अंकगणित के अंग्रेजी-भाषा के विवरण में इस तरह की डरावनी जानकारी के लिए कोई जगह नहीं थी, जबकि अंकगणित को कृपापूर्वक गणित के सबसे पुराने और प्राथमिक भाग के रूप में चित्रित किया गया है। अंकगणित के इतिहास पर साहित्य में भी, अंकगणितीय संचालन के संबंधों के अध्ययन के बारे में जानकारी प्राप्त करना मुश्किल है। अंकगणित का इतिहास मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत के लिए समर्पित है, जिसे कभी-कभी उच्च अंकगणित कहा जाता है।

अंकगणितीय संचालन के संबंध की खोज पुनर्जागरण [1] में चली गई। 1515 में, याकूब कोबेल द्वारा संकलित अंकगणित की पहली जर्मन पाठ्यपुस्तक, सभी चार क्रियाओं के समतुल्य होने पर बल देती है। 1518 में, जी। ग्रामेटस, "एक नई आसान और सटीक किताब, गिनती पर, ट्रिपल नियम, आदि द्वारा विभिन्न समस्याओं को हल करने पर" निबंध में, विभाजन के साथ गुणा, घटाव के साथ अन्योन्याश्रितता को नोट करता है। 1533 में इस्तांबुल में प्रकाशित ई। मिजराही की "बुक ऑफ़ द नंबर" में, गुणन को जोड़ के एक विशेष मामले के रूप में माना जाता है और अंकगणितीय संचालन की संख्या में शामिल नहीं है। 16 वीं शताब्दी के 70 के दशक के नेपर के नोटों के अनुसार 1839 में प्रकाशित पुस्तक "लॉजिस्टिक आर्ट" में, अंकगणितीय संचालन चरणों में भिन्न होते हैं: गुणन और विभाजन को जोड़ और घटाव के संबंध में उच्च-क्रम क्रियाओं के रूप में जाना जाता है।

ये विचार अंकगणितीय संचालन के संबंध की समस्या के अध्ययन की शुरुआत थे। लेकिन, शायद, प्राथमिक अंकगणितीय के लिए अपर्याप्त ध्यान के कारण, एक समाधान नहीं मिला। हम एक बीते युग की खोज जारी रखते हैं और काफिले में सैनिकों की संख्या की गिनती करते हैं। जोड़ की समस्या के समाधान में परिणामी राशि प्राप्त करने के लिए पंजीकृत सैनिकों की संख्या की एक इकाई द्वारा क्रमिक वृद्धि होती है। पंक्ति में सैनिकों की संख्या की गिनती और कॉलम में लाइनों की संख्या से गुणा करके गणना को तेज किया जा सकता है। अब कॉलम को आधे में विभाजित करते हैं। घटाव द्वारा, एक सैनिक को दो नए स्तंभों में से प्रत्येक में क्रमिक रूप से अलग किया जा सकता है। गिनती को तेज करने के लिए, आप लाइनों की संख्या को आधे में विभाजित कर सकते हैं और अलग-अलग लाइनों को गिन सकते हैं।

इन दो समस्याओं का समाधान हमें यह मानने की अनुमति देता है कि कुछ शर्तों के तहत गुणा और विभाजन (हमारे मामले में, यह एक मैट्रिक्स में वस्तुओं की गणना का संगठन है) क्रमशः जोड़ और घटाव का एक सामान्यीकरण है। सामान्यीकरण (हम उन्हें सामान्यीकरण ए कहते हैं) आमतौर पर पहले से अप्रयुक्त क्षेत्र के लिए एक गणितीय ऑपरेशन के विस्तार से जुड़े होते हैं। क्या हमें सामान्यीकरण के बारे में बात करनी चाहिए यदि उनके उपयोग का एकमात्र परिणाम तेजी से कंप्यूटिंग (सामान्यीकरण बी) है? आइए हां कहते हैं और परिणाम का विश्लेषण करते हैं।

बी के सामान्यीकरण का पता लगाना आसान है और काफी कुछ जाना जाता है। यह माना जाता है कि उनके गुणों का एक अध्ययन उनके साथ जुड़े अभी भी अज्ञात सामान्यीकरण ए के अस्तित्व और गुणों की भविष्यवाणी करना संभव बना देगा। यहां हम जमा के लिए भू-रासायनिक खोजों के साथ सादृश्य का उपयोग कर सकते हैं। पृष्ठभूमि के सापेक्ष रासायनिक तत्वों की उच्च सामग्री के व्यापक निकायों में छोटे आकार (बॉडी ए) के अयस्क शामिल हैं। प्रारंभ में, बॉडी ए को खोजने का कार्य शरीर बी को खोजने के लाइटर कार्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिसके भीतर आगे की खोज की जाती है।

गुणन के सामान्यीकरण के रूप में, एक प्राकृतिक संख्या n का भाज्य ज्ञात है, जो कि n तत्वों के समूह के क्रमपरिवर्तन की संख्या के रूप में समझा जाता है। फैक्टरियल को कॉम्बिनेटरिक्स में परिभाषित किया गया है, लेकिन व्यापक रूप से गणित में उपयोग किया जाता है। सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए फैक्टोरियल का सामान्यीकरण भी है - गणितीय आंकड़ों में ज्ञात एक गामा फ़ंक्शन। गामा फ़ंक्शन को नकारात्मक पूर्णांकों को छोड़कर सभी जटिल संख्याओं के लिए फैक्टरियल एक्सटेंशन के रूप में परिभाषित किया गया है। वास्तविक (और जटिल) संख्याओं के समुच्चय के लिए एक तथ्य का सामान्यीकरण भी एक पाई-फ़ंक्शन है। सूची को दोहरे तथ्य, सतहीपन आदि के साथ जारी रखा जा सकता है।

लेकिन विभाजन के बारे में क्या? इसके आधार पर, सामान्यीकरण अज्ञात हैं, लेकिन एक मामले को आसानी से अनदेखा नहीं किया जा सकता है। जब वे समान आयाम या आयाम रहित होते हैं, तो यह एक संख्या का दूसरे द्वारा विभाजन होता है। विभिन्न आयामों के मामले की अच्छी व्याख्या की जाती है। उदाहरण के लिए, यदि 1 घंटे में 6 किमी का मार्ग कवर किया जाता है, तो, समय के अनुसार पथ को विभाजित करते हुए, यह तर्क दिया जा सकता है कि गति 6 किमी / घंटा है। हम आनुपातिक मात्रा में आगे बढ़ते हैं।

यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि दो अन्योन्याश्रित मात्राएं आनुपातिक हैं यदि उनके मूल्यों का अनुपात नहीं बदलता है। विभाजन के परिणाम को आनुपातिक गुणांक कहा जाता है। सोने और चांदी जमा में सोने और चांदी की सामग्री का अनुपात समान आयाम की मात्रा के लिए आनुपातिक गुणांक के उदाहरण के रूप में काम कर सकता है। यह महत्वपूर्ण भूवैज्ञानिक जानकारी है। मैक्सिकन पचुका जमा के प्रति 1 टन सोने के अयस्क में लगभग 200 टन चांदी होती है, अर्थात इस जमा में सोने से चांदी का अनुपात 1: 200 है। सोने की सामग्री को चांदी की सामग्री से क्यों विभाजित किया जाना चाहिए, और इसके विपरीत नहीं? क्योंकि यह कई लोगों के साथ स्वीकार और सहज है, लेकिन लेख के लेखक नहीं। विभाजन के स्वीकृत नियम से असहमत होने का कारण आयामहीन मात्राओं के आनुपातिकता के अध्ययन के लिए और अधिक संक्रमण और दोनों की मात्रा में वृद्धि की आवश्यकता है, जिसके लिए आनुपातिक गुणांक की गणना की जाती है।

इन मामलों में, संख्याओं के विभाजन का परिणाम अपवाद के बिना, हर किसी को खुश नहीं करेगा। हाइड्रोजन और हीलियम के परमाणु द्रव्यमान की आनुपातिकता गुणांक की गणना अलग-अलग तरीकों से की जा सकती है: भिन्न के रूप में 1.008 / 4.0026 और 4.0026 / 1.008। अनिश्चितता के संदर्भ में परिणाम गुणन के बारे में पुराने मजाक से अधिक है, जिसमें कर्नल का दावा है कि दो बार दो लगभग पांच के बराबर है, और अधिक सटीक रूप से, इन गणनाओं के लिए यह आवश्यक नहीं है। हमारे उदाहरण के बाधाओं के साथ काल्पनिक! कल्पना स्पष्ट रूप से तीन या अधिक संख्याओं के लिए आनुपातिकता के एक गुणांक की गणना करने के लिए पर्याप्त नहीं है, उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन, हीलियम और लिथियम के परमाणु द्रव्यमान।

इसके अलावा, आनुपातिक गुणांक के लिए एक निरंतर मूल्य की आवश्यकता अनुचित लगती है। राशियों की अन्योन्याश्रयता भी एक अलग समस्या है। सूचनात्मक आनुपातिकता गुणांक [2], [3], [4] का उपयोग करके एक या अधिक संख्याओं के सेट के लिए आनुपातिक गुणांक के गणना की विस्तार प्राप्त किया गया था। यह समान संख्या में मूल संख्याओं को गुणा करते समय अपने मूल्य को बनाए रखने के लिए सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति द्वारा आनुपातिकता के सामान्य गुणांक से संबंधित है। गणना के लिए, सूचना सिद्धांत के समीकरण और टिक-टैक-टो क्षेत्र के समान 3 × 3 वर्ग मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है।

यदि हम तीन प्रारंभिक संख्याओं ए , बी और सी को तीन बार लेते हैं और उन्हें ऐसे मैट्रिक्स में व्यवस्थित करते हैं ताकि वे प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में मौजूद हों, तो हम गणना के लिए संख्यात्मक और भाजक को "असाइन" करने की आवश्यकता को समाप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, तीन लाइनों को ए, बी, सी के रूप में दर्शाया जा सकता है ; बी, सी, ए और सी, ए, बी । यदि आप समान संख्याओं के किसी भी दो त्रैमासिक के स्थानों को बदलते हैं, तो आनुपातिकता के गुणांक में परिवर्तन नहीं होगा। गुणांक गणना आनुपातिकता कैलकुलेटर का उपयोग करके किया जा सकता है, इंटरनेट पर मुफ्त उपयोग के लिए उपलब्ध है।

सादृश्य द्वारा, चार संख्याओं के लिए, 4 × 4 मैट्रिक्स की आवश्यकता होती है, पाँच के लिए, 5 × 5, आदि। यह समस्या उठाता है: विभिन्न मैट्रिसेस का उपयोग करते समय, गणना परिणामों को संयुक्त रूप से संसाधित करना असंभव है। सार्वभौमिक गणना एक 3 × 3 मैट्रिक्स के साथ की जा सकती है, बड़ी संख्या में सूचना आनुपातिक गुणांक की गणना। मैट्रिक्स में संख्याओं को यादृच्छिक रूप से व्यवस्थित किया जाता है, और आठ अन्य का योग नौवें तत्व के रूप में उपयोग किया जाता है। एक गुणांक के बजाय प्रारंभिक संख्या सूचना आनुपातिकता गुणांक के सेट की संभावना वितरण द्वारा विशेषता है। यह गणितीय आंकड़ों के लिए आम है जो इस तरह के वितरण पर विचार करते हैं।

साइबेरियाई संघीय विश्वविद्यालय की वैज्ञानिक पत्रिका में 2008 में सूचनात्मक आनुपातिकता गुणांक के व्यावहारिक अनुप्रयोगों पर दो लेख प्रकाशित किए गए थे और उनकी रिहाई के बाद से, मुफ्त संदर्भ के लिए इंटरनेट पर उपलब्ध हैं। अंग्रेजी में वैज्ञानिक लेख कॉर्नेल विश्वविद्यालय की वेबसाइट (www.arxiv.org) पर देखे जा सकते हैं।

आनुपातिकता के कारक कितने महत्वपूर्ण हैं? उनके बिना, हमारा संचार असंभव होता, क्योंकि न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक एक आनुपातिक गुणांक है जो पृथ्वी पर हमारी उपस्थिति सुनिश्चित करता है। आनुपातिकता गुणांक को रासायनिक यौगिकों का एक महत्वपूर्ण लक्षण भी माना जा सकता है। प्रकृति में पाए जाने वाले रासायनिक तत्वों की संख्या, खनिज, अकार्बनिक और कार्बनिक रासायनिक यौगिकों की अधिकतम संभव संख्या क्रमशः 95, प्राकृतिक रासायनिक तत्वों के 1, 2, 3 और 4 के संयोजन के रूप में निर्धारित की जाती है। एक परिकल्पना का प्रस्ताव है कि खनिजों और अन्य रासायनिक यौगिकों के रासायनिक तत्वों के परमाणु द्रव्यमान के लिए सूचना आनुपातिक गुणांक के वितरण, 95% रासायनिक तत्वों [2], [3] के 2, 3 और 4 परमाणु द्रव्यमान के संयोजन के लिए इन सेटों के वितरण से मेल खाती है।

रासायनिक तत्वों और रासायनिक यौगिकों के इस तरह के एक अजीब अनुपात को अन्यथा नहीं समझाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, खनिज में अशुद्धियों के बिना 12 रासायनिक तत्व होते हैं। हम 95 में से 2 के संयोजन के रूप में उनकी संख्या के बारे में क्यों बात कर सकते हैं? इस पैटर्न की व्याख्या इस तथ्य के कारण है कि दो से अधिक रासायनिक तत्वों के परमाणु द्रव्यमान के सूचनात्मक आनुपातिक गुणांक के संभाव्यता वितरण कुछ दो रासायनिक तत्वों के लिए उसी के साथ मेल खाता है।

सूचनात्मक आनुपातिकता गुणांक का उपयोग करने के महत्व के सवाल का उत्तर भी 27 प्राथमिक क्यूब्स [5] से मिलकर एक घन के रूप में किसी भी रासायनिक तत्व के परमाणु नाभिक की संरचना का प्रतिनिधित्व प्रदान करता है, सार में, एक रुबिक का घन। इस तरह के घन में 1 से 8 तक पूर्णांक होते हैं, कुल 9। यह संरचना हमें प्रत्येक रासायनिक तत्व के समस्थानिकों की संख्या और प्रकृति में समस्थानिकों की विभिन्न घटनाओं की व्याख्या करने के लिए ले जाती है। वह प्रकृति में रासायनिक तत्वों की संयुक्त उपस्थिति, कुछ रासायनिक तत्वों की सोने की डली की उपस्थिति, सोने, और दूसरों की व्यावहारिक अनुपस्थिति, उदाहरण के लिए, टिन के कारणों का भी वर्णन करती है। इस तरह की गणना के लिए बनाया गया एक कार्यक्रम भी किसी भी शोधकर्ता के लिए उपलब्ध है।

सूचनात्मक आनुपातिकता गुणांक के आवेदन की क्षमता बहुत अधिक है। उनकी मदद से, डेटा एक डबल सर्पिल संरचना के येनइसी रिज के वासिलिवस्की गोल्ड डिपॉजिट के क्वार्ट्ज नस में संभावित अस्तित्व पर प्राप्त किया गया था - डीएनए का एक संभावित एनालॉग [2]। खुले कार्यक्रम एगमार्क का उपयोग उनके रासायनिक विश्लेषण के परिणामों के अनुसार चट्टानों और अयस्कों को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है, साथ ही साथ उनके सापेक्ष आयु [6] (भूविज्ञान में सबसे महत्वपूर्ण कार्य) के निर्धारण के साथ।

इस कार्यक्रम का उपयोग करते हुए, खनिजों को रासायनिक यौगिकों की आवधिक प्रणाली के संकुल में भी जोड़ा जा सकता है [7]। खनिजों का ऐसा संयोजन 95 के पैकेट में सभी अकार्बनिक और कार्बनिक यौगिकों के समान आवधिक व्यवस्थितकरण की कुंजी है। वर्गीकरण संकेतक की गणना केवल रासायनिक तत्वों के परमाणु द्रव्यमान के आधार पर की जाती है, और एक समय में परमाणु द्रव्यमान ने रासायनिक तत्वों की एक आवधिक प्रणाली बनाना संभव बना दिया है।

मैं इस कथन के साथ लेख को समाप्त करता हूं कि गणित में सूचना आनुपातिकता गुणांक के व्यावहारिक और सैद्धांतिक अध्ययन दोनों और गणितीय सामान्यीकरण के सिद्धांत का विकास आवश्यक है। इसके अलावा और घटाव के कार्यों को सामान्य करने की समस्या के साथ अंकगणित इस सिद्धांत का लॉन्चिंग पैड बन सकता है। सामान्यीकृत कार्यों को गणित में जाना जाता है - शायद यह सामान्यीकृत गणितीय क्रियाओं को सामान्यीकृत करने और परिभाषित करने का समय है। यदि हम इन सवालों को नजरअंदाज करते हैं, तो अंकगणित संचालन का रहस्य बढ़ती समस्याओं में बदल सकता है, क्योंकि आनुपातिकता संकेतक की प्रस्तावित गणना संभवतः चिकित्सा और पारिस्थितिकी में अपूरणीय है, जैसा कि वास्तव में, अन्य प्राकृतिक विज्ञानों में है।

साहित्य

1. डेपमैन आई। वाई। अंकगणित का इतिहास। दूसरा संस्करण।, रेव। - एम .: शिक्षा, 1965. 416।
2. लाबुशेव, एम.एम. बोरज़ीख ओ.एस. वासिलिव्स्की जमा के अयस्क शरीर में सोने के वितरण का विश्लेषण करने के लिए सूचनात्मक आनुपातिक गुणांक का उपयोग करना। साइबेरियाई संघीय विश्वविद्यालय के जर्नल। इंजीनियरिंग एंड टेक्नोलॉजीज 1 (2008) 40-46
3. लाबुशेव, एम.एम. खनिजों, अकार्बनिक और कार्बनिक रासायनिक यौगिकों की अधिकतम संभव संख्या के बारे में। साइबेरियाई संघीय विश्वविद्यालय के जर्नल। इंजीनियरिंग और टेक्नोलॉजीज 3 (2008) 221-233
4. लाबुशेव, एमएम (2011)। रासायनिक यौगिकों की आवर्त सारणी के एक भाग के रूप में आवर्त सारणी, 18. arxiv.org/abs/1103.3972 से प्राप्त
5. लाबुशेव, एमएम (2012)। आनुपातिकता के सूचना गुणांकों का उपयोग करके परमाणुओं के नाभिक संरचना का कंप्यूटर सिमुलेशन, 14. arxiv.org/abs/1207.4671 से लिया गया।
6. लाबुशेव, एमएम, खोखलो एएन (2012)। उनके संभावित ऊर्जा सूचकांक से संबंधित सांख्यिकीय गणना के आधार पर खनिजों और चट्टानों के सापेक्ष डेटिंग और वर्गीकरण, 19. arxiv.org/abs/1212.2628 से लिया गया।
7. लाबुशेव, एमएम (2013)। रासायनिक तत्वों और रासायनिक यौगिकों की आवर्त सारणी के खनिजों के तीन पैकेट, 15. arxiv.org/abs/49304.1280 से पुनर्प्राप्त