अनुकूलन का परिचय। नकली annealing

इस लेख में मैं आपको सरल और प्रभावी अनुकूलन विधि के बारे में यथासंभव समझदारी से बताने की कोशिश करूंगा। और उन लोगों के बीच रैंक न होने के लिए जो प्रमेय अभ्यास से दूर हैं, मैं दिखाऊंगा कि यात्रा बिक्री की समस्या को हल करने के लिए इस पद्धति का उपयोग कैसे करें।

लेख को समझने के लिए, आपको हाई स्कूल के 9 वीं कक्षा के स्तर पर न्यूनतम प्रोग्रामिंग कौशल और गणित के ज्ञान की आवश्यकता होगी। यह लेख उन लोगों के लिए अभिप्रेत है जो अनुकूलन विधियों से परिचित नहीं हैं या केवल इस दिशा में अपना पहला कदम उठा रहे हैं।




पाठकों को अधिकतम करने के लिए, मुझे लगभग पूरी तरह से औपचारिक परिभाषाओं को छोड़ना पड़ा और जानबूझकर कुछ पूरी तरह से सटीक सरलीकरण नहीं करना पड़ा। मुझे उम्मीद है कि मैंने बच्चे को पानी से बाहर नहीं फेंका (और अगर ऐसा हुआ, तो मुझे आपसे सुनने में खुशी होगी)।

अनुकूलन के बारे में

अनुकूलन क्या है, यह समझने के लिए, आपको पहले यह पता लगाना चाहिए कि यह किस लिए है। मुझे तुरंत यह कहना होगा कि हम इस रिपोर्ट में खुद को साकार किए बिना, रोज़मर्रा के जीवन में "अनुकूलन कार्यों" के साथ जीवंत नियमितता का सामना कर रहे हैं।

मान लीजिए, हमने एक और वेतन प्राप्त किया है, तो परिवार के बजट को खत्म करने का फैसला करें। धन को इस तरह से वितरित करना आवश्यक है जैसे कि सबसे पहले सबसे महत्वपूर्ण जरूरतों (भोजन, बिजली, इंटरनेट, आदि) को संतुष्ट करें, और शेष राशि को कुछ कम प्राथमिकता पर उतारा जा सकता है। सभी पैसे के लिए एक डिजाइनर फोन खरीदना और भूख से मरना सबसे अच्छा समाधान नहीं है, क्या आप इसे पा सकते हैं?

या एक अन्य विकल्प, हमने शिविर में जाने और एक व्यंग्य इकट्ठा करने का फैसला किया। एक समस्या - बहुत सारी चीजें हैं, और हमारा व्यंग्य बहुत बड़ा नहीं है (और हमारे पास सीमित वहन क्षमता है)। हम अपने लिए सबसे महत्वपूर्ण वस्तुओं को अधिक से अधिक लेना चाहते हैं। यदि हम पहाड़ों पर जाते हैं, तो हमारे साथ एक सुरक्षा रस्सी को पकड़ना एक अच्छा निर्णय है, इसके बजाय अपने पसंदीदा प्लेस्टेशन वीटा को लें, और शेष को कुकीज़ के साथ भरें - शायद बहुत नहीं।

तो अनुकूलन क्या करता है? वह उसी की तलाश में है, अच्छा समाधान। शायद सबसे अच्छा नहीं है, लेकिन निश्चित रूप से अच्छा है।
अब थोड़ा और औपचारिक। यदि आप विकिपीडिया को देखते हैं, तो आप आसानी से इस परिभाषा को पा सकते हैं:

इष्टतम (lat से ऑप्टिमस - सबसे अच्छा) समाधान एक समाधान है, जो एक कारण या किसी अन्य के लिए, दूसरों के लिए बेहतर है। इसलिए, अनुकूलन इष्टतम समाधान खोजने का एक तरीका है।

अब, आइए कल्पना करें कि हम यह माप सकते हैं कि हमारा निर्णय कितना अच्छा है। उदाहरण के लिए, "व्यंग्य समस्या" के मामले में, हम प्रत्येक चीज़ के लिए एक प्राकृतिक संख्या निर्दिष्ट करते हैं (संख्या जितनी बड़ी होती है, उतनी ही महत्वपूर्ण बात)। तब हमारा कार्य एक स्पष्ट कथन प्राप्त करता है: हम ऐसी चीजों के साथ व्यंग्य भरना चाहते हैं, जिनमें से कुल प्राथमिकता अधिकतम होगी, और वजन एक निश्चित मूल्य से अधिक नहीं होगा। यानी हम कुछ फ़ंक्शन की अधिकतम तलाश कर रहे हैं , जिसे आमतौर पर लक्ष्य कहा जाता है।

एक हर को कम करने के लिए, फिर से विकिपीडिया पर देखें:
अनुकूलन (गणित) - एक निश्चित क्षेत्र में उद्देश्य समारोह के चरम (न्यूनतम या अधिकतम) का पता लगाना।

अब जब हमने कमोबेश यह तय कर लिया है कि अनुकूलन क्या कर रहा है, तो एक वाजिब सवाल उठता है - "कैसे?"।
बेशक, हम विशेष रूप से सभी-सभी समाधानों के माध्यम से परेशान नहीं कर सकते हैं और फिर उनकी तुलना कर सकते हैं। दस्ता के मामले में, हम शायद यह भी कर सकते हैं। लेकिन अब हम कल्पना करें कि हमारा व्यंग्य बिल्कुल भी व्यंग्य नहीं है, बल्कि कई वैगनों के साथ एक पूरी ट्रेन है, और हम विभिन्न सामानों को दूसरे शहर में ले जाते हैं। कार्य नहीं बदला गया है (जितना संभव हो उतना मूल्यवान लोड करने के लिए), और लक्ष्य फ़ंक्शन माल का कुल मूल्य होगा। समाधानों के माध्यम से पूरी तरह से छांटने में हमें कितना समय लगेगा? मैं बहुत सोचता हूं।

आप बेतरतीब ढंग से समाधान चुन सकते हैं। चलो किसी भी समाधान के एक सौ कहते हैं, और फिर उनसे सबसे अच्छा लेते हैं। निस्संदेह, यह संपूर्ण खोज की तुलना में बहुत तेज़ होगा, लेकिन कौन गारंटी देगा कि हमारा अंतिम समाधान चरम सीमा के करीब होगा?

मैं पीड़ा नहीं दूंगा और कहूंगा कि कई बेहतरीन अनुकूलन विधियां हैं । इतने सारे कि उन्हें कक्षाओं में तोड़ने का प्रथा है, मैं उन सभी को सूचीबद्ध नहीं करूंगा। मैं केवल यह कह सकता हूं कि "सिम्युलेटेड एनेलिंग" स्टोचैस्टिक की कक्षा (ग्रीक से। στοκόςα "ιχ - " अनुमान लगाने ") या संभाव्य तरीकों के वर्ग को संदर्भित करता है। और कहां संभावना है और यह कैसे समाधान खोजने में मदद करेगा - थोड़ा कम।

नकली annealing

सभी सरल की तरह, यह विधि माँ प्रकृति द्वारा जासूसी की जाती है। किसी पदार्थ के क्रिस्टलीकरण की प्रक्रिया को एक आधार के रूप में लिया जाता है, जो धातु के एकरूपता को बढ़ाने के लिए चालाक मेटलर्जिस्ट द्वारा नामित किया गया था।

आपको याद दिलाता हूं कि प्रत्येक धातु में एक क्रिस्टल जाली होती है , यदि बहुत संक्षेप में, यह किसी पदार्थ के परमाणुओं की ज्यामितीय स्थिति का वर्णन करता है। सभी परमाणुओं के पदों के सेट को सिस्टम की स्थिति कहा जाएगा, प्रत्येक राज्य एक निश्चित स्तर की ऊर्जा से मेल खाती है। एनीलिंग का उद्देश्य सिस्टम को कम से कम ऊर्जा के साथ एक स्थिति में लाना है। निम्न ऊर्जा स्तर, "बेहतर" क्रिस्टल जाली, यानी कम दोष वह और मजबूत धातु है।

एनीलिंग के दौरान, धातु को पहले एक निश्चित तापमान पर गरम किया जाता है, जिससे क्रिस्टल जाली के परमाणु अपने स्थान को छोड़ देते हैं। फिर एक धीमी और नियंत्रित शीतलन शुरू होता है। परमाणु कम ऊर्जा वाले राज्य में आते हैं, हालांकि, एक निश्चित संभावना के साथ वे अधिक के साथ एक राज्य में जा सकते हैं। तापमान के साथ यह संभावना कम हो जाती है। सबसे खराब स्थिति में संक्रमण, विचित्र रूप से पर्याप्त है, अंततः प्रारंभिक अवस्था से कम ऊर्जा वाले राज्य को खोजने में मदद करता है। जब तापमान पूर्व निर्धारित मूल्य तक गिर जाता है तो प्रक्रिया समाप्त हो जाती है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस प्रक्रिया के ढांचे में, ऊर्जा को कम से कम किया जाता है। हम अपने लक्ष्य फ़ंक्शन और वॉइलिया में ऊर्जा बदलते हैं! या नहीं? आइए सोचते हैं, इतनी अच्छी प्रक्रिया इतनी अच्छी क्यों है? उदाहरण के लिए, हम हमेशा कम ऊर्जा वाले राज्यों में क्यों नहीं जाते?
यह कैसे व्यापक ढाल विधि, व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाता है।

इंटरनेट पर, मैं एक पूरी तरह से अद्भुत तस्वीर खोजने में कामयाब रहा जो एल्गोरिथ्म के सभी लाभों को सर्वोत्तम संभव तरीके से दिखाता है।



आइए एक पल के लिए कल्पना करें कि हम अपने लक्ष्य फ़ंक्शन की खड़ी ढलान के साथ भागते हुए एक स्कीयर हैं। कार्य न्यूनतम बिंदु (वैश्विक न्यूनतम) पर जाना है। लेकिन, जैसा कि आप देख रहे हैं, जिस ढलान पर हम आए थे, वह बिल्कुल चिकना नहीं था, उस पर नीचे की तरफ जमीनें थीं, जिनमें से खदेड़े जाने से यह लग सकता है कि हम पहले से ही पैदल हैं। बेवकूफ न बनने के लिए, हमें वंश को जारी रखने के लिए जिज्ञासा दिखानी होगी और एक छोटे से टीले पर चढ़ना होगा।

रूपक को पूरी तरह से समझने के लिए, एक स्कीयर के साथ उदाहरण में, ढलान किसी पदार्थ की ऊर्जा को मापने का एक कार्य है (यह एक उद्देश्य फ़ंक्शन भी है)। अधिक ऊर्जा वाले राज्य के लिए एक संभाव्य संक्रमण एक पहाड़ी पर तराई के दाईं ओर चढ़ाई है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस तरह के एक एल्गोरिथ्म हमें स्थानीय न्यूनतम में "अटक जाने" से बचने की उच्च संभावना के साथ अनुमति देता है।

अब हम विधि के अधिक कठोर वर्णन पर आगे बढ़ने के लिए तैयार हैं। हम निम्नलिखित संकेतन प्रस्तुत करते हैं:
S हमारी समस्या के सभी राज्यों (समाधानों) का समुच्चय बनने दें। उदाहरण के लिए, एक व्यंग्य समस्या के लिए यह सभी प्रकार के सेटों का एक बहुत होगा।
चलो - एल्गोरिथ्म के आई-वें चरण में स्थिति। ।
- I-th कदम पर तापमान।

नकली annealing का उपयोग करने के लिए, हमें तीन कार्यों को परिभाषित करने की आवश्यकता है:

• ऊर्जा का कार्य, या, और अधिक सरलता से, जो हम अनुकूलन करते हैं।
  
  
• समय के साथ तापमान में परिवर्तन का कार्य होता है। बस के मामले में, मैं एक आरक्षण करूँगा कि यह कम होना चाहिए।
  
  
• एक फ़ंक्शन जो एक नई स्थिति उत्पन्न करता है।
  
  

अब प्रत्येक पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।
ई कुछ नियम के अनुसार, प्रत्येक निर्णय को एक संख्या के साथ जोड़ता है। विशिष्ट कार्य पर निर्भर करता है।

T तापमान के साथ पुनरावृति संख्या को जोड़ता है। फ़ंक्शन यह निर्धारित करता है कि हमारा एल्गोरिथ्म कब तक काम करेगा (वास्तव में, इसका गहरा अर्थ है, लेकिन हमें अभी तक यह जानने की आवश्यकता नहीं है)। यदि टी एक रैखिक फ़ंक्शन है, तो रन समय अपेक्षाकृत बड़ा होगा। एक पावर फंक्शन के मामले में, कहते हैं , सब कुछ बहुत जल्दी खत्म हो जाएगा, लेकिन यह इस तथ्य से बहुत दूर है कि हम तराई में नहीं फंसेंगे, इसलिए फिनिश लाइन तक नहीं पहुंचेंगे।

इस लेख के लिए, मैंने सबसे सरल, रैखिक विकल्प चुना है।

function [ T ] = DecreaseTemperature( initialTemperature, i) %initialTemperature -   %i -   T = initialTemperature * 0.1 / i; end 

मुझे तुरंत यह कहना होगा कि इस लेख में सभी कोड मतलाब में लिखे गए थे। मैंने इस वातावरण को चुना, क्योंकि "आउट ऑफ द बॉक्स" आप सुंदर ग्राफिक्स खींच सकते हैं - और नहीं। मैंने विशिष्ट मैटलैब जादू का उपयोग किए बिना लिखने की कोशिश की, ताकि कोड को आसानी से आपकी पसंदीदा भाषा में पोर्ट किया जा सके।

फ़ंक्शन एफ, पिछले राज्य के आधार पर, एक नए उम्मीदवार राज्य को जन्म देता है, जिसमें सिस्टम जा सकता है, या इसे छोड़ सकता है। उसे जाने दो । उम्मीदवार को प्राप्त करने की विधि पूरी तरह से हल की जा रही समस्या पर निर्भर करती है; आप विशिष्ट फ़ंक्शन को उदाहरण में देख सकते हैं।

अब हम एनेलिंग सिमुलेशन विधि के एल्गोरिथ्म का उसके सबसे सामान्य रूप में वर्णन कर सकते हैं:

• इनलेट: न्यूनतम तापमान प्रारंभिक तापमान
• हम एक मनमाना पहला राज्य निर्धारित करते हैं
• 
• जब
  
  • 
  • 
  • अगर तो
  • अगर संक्रमण संभावना के साथ किया जाता है
  • तापमान कम
  
  
• अंतिम स्थिति लौटाओ

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है, केवल एक नए राज्य में संक्रमण अलग से समझाने के लायक है। यदि "उम्मीदवार" की ऊर्जा कम है, तो यह एक नया राज्य बन जाता है, अन्यथा, संक्रमण संभावित होगा (इसलिए, विधि को स्टोचैस्टिक के रूप में वर्गीकृत किया गया है)।

ताकि यह निश्चित रूप से कठिनाइयों का कारण न बने, मैं खुद को संभावना सिद्धांत के कुछ सबसे बुनियादी अवधारणाओं को याद करने की अनुमति देता हूं।

अनौपचारिक रूप से, हम संभाव्यता को किसी घटना के घटने की संभावना के रूप में परिभाषित करते हैं। एक विश्वसनीय घटना की संभावना (एक घटना जो निश्चित रूप से घटित होगी) एक के बराबर है, असंभव की - शून्य की। अन्य सभी मानों के बीच है।
उदाहरण के लिए, जब एक पासा फेंकते हैं, तो किसी भी संख्या से बाहर गिरने की संभावना एक होती है, और त्रिगुण 1/6 होते हैं।
हमारे मामले में, सूत्र में ऊर्जा अंतर मूल्यों को प्रतिस्थापित करना और तापमान हमें संक्रमण की संभावना मिलती है। यह केवल इस संक्रमण को अंजाम देने के लिए बना हुआ है, लेकिन इसे कैसे करना है?

संभाव्यता गणना कोड:

 function [ P ] = GetTransitionProbability( dE, T ) P = exp(-dE/T); end 

आइए एक एकल खंड की कल्पना करें और इसे हमारी संभावना के मूल्य के सापेक्ष दो भागों में विभाजित करें।



तब हम फ़ंक्शन का उपयोग एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने के लिए करते हैं, मटलब में यह रैंड (लगभग सभी अन्य भाषाओं में) है। अब इस नंबर को सेगमेंट पर चिह्नित करें।



यदि संख्या बाईं ओर गिर गई - हम संक्रमण को दाईं ओर करते हैं - हम कुछ भी नहीं करते हैं।

 function [ a ] = IsTransition(probability) value = rand(1); if(value <= probability) a = 1; else a = 0; end end 

अब, मुझे लगता है, सब कुछ स्पष्ट है, और हम अपने पहले कार्य के समाधान के लिए सीधे आगे बढ़ सकते हैं।

सेल्समैन की समस्या

कल्पना कीजिए कि आप एक यात्रा व्यापारी हैं और देश के हर शहर के निवासियों के लिए अपने माल की पेशकश करना चाहते हैं। यात्रा में बहुत अधिक समय और ऊर्जा लगती है, इसलिए यह तर्कसंगत है कि आप अपने मार्ग को इस तरह से बनाना चाहते हैं कि इससे पार होने की दूरी कम से कम हो। यह मार्ग अभी तक नहीं मिला है।
औपचारिक रूप से: प्रत्येक शहर से गुजरने वाले और प्रस्थान के बिंदु पर समाप्त होने वाले सबसे छोटे रास्ते को खोजना आवश्यक है।
इस सेटिंग में, कार्य को बंद सेल्समैन समस्या कहा जाता है।

सबसे पहले, डेटा पर फैसला करते हैं। 10x10 वर्ग में हमारे शहर बेतरतीब ढंग से बिखरे हुए हैं। प्रत्येक शहर, क्रमशः, निर्देशांक की एक जोड़ी द्वारा दर्शाया गया है। केवल 100 शहर।


निम्नलिखित कोड का उपयोग करके डेटा को आसानी से मतलाब से प्राप्त किया जा सकता है:

 data = rand(2,100)*10; 

अन्य भाषाओं में, आपको एक लूप लिखना होगा, लेकिन संक्षेप में यह कुछ भी नहीं बदलता है। हम परिचित फ़ंक्शन रैंड () द्वारा यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करते हैं और उन्हें 10 से गुणा करते हैं ताकि वे किसी दिए गए क्षेत्र में झूठ बोलते हैं।

एनाउलिंग कर समस्या का समाधान

C द्वारा सभी शहरों के सेट को निरूपित करें, कुल संख्या का निरूपण | C | और हमारे मामले में 100 के बराबर है। प्रत्येक शहर निर्देशांक की एक जोड़ी के रूप में प्रतिनिधित्व किया इसी सूचकांक के साथ।

शर्त के अनुसार, समाधान सभी शहरों के बीच का मार्ग है, जिसका अर्थ है कि राज्यों एस का सेट प्रत्येक शहर से गुजरने वाले सभी संभावित मार्ग हैं। दूसरे शब्दों में, सभी का समुच्चय C के तत्वों के क्रम का आदेश देता है जिसमें हर ठीक एक बार होता है। जाहिर है, प्रत्येक ऐसे अनुक्रम की लंबाई | C |

जैसा कि हम याद करते हैं, नकली एनालिंग विधि का उपयोग करने के लिए, हमें दो कार्यों को परिभाषित करना होगा जो प्रत्येक विशिष्ट कार्य पर निर्भर करते हैं। यह ऊर्जा ई (या पारंपरिक शब्दावली में "उद्देश्य फ़ंक्शन") और एक फ़ंक्शन एफ है जो एक नई स्थिति उत्पन्न करता है।
चूंकि हम दूरी को कम करने का प्रयास करते हैं, यह "ऊर्जा" होगी। इसलिए, हमारा उद्देश्य फ़ंक्शन इस तरह दिखाई देगा:



यह कहता है कि मार्ग में शहरों के जोड़े के बीच यूक्लिडियन दूरी के योग से अधिक कुछ नहीं है । चूंकि कार्य बंद है, इसलिए हमें हस्ताक्षर करने के लिए मजबूर किया गया था अंत में, यह अंतिम और पहले शहर के बीच की दूरी है। यदि आप गहराई में नहीं जाते हैं, तो यूक्लिडियन उन बिंदुओं के बीच बहुत दूरी है जो हम सभी ज्यामिति पाठों में गए थे। यह निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:



जहाँ

अब सोचता हूँ, हम एक नया राज्य कैसे प्राप्त करें? पहली बात जो मन में आती है वह मार्ग पर दो मनमाने शहरों को स्वैप करना है। विचार सही है, लेकिन अप्रत्याशित रूप से ऐसा परिवर्तन प्रभावित करता है , विधि लंबे समय तक काम करेगी और इस तथ्य से नहीं कि सफलतापूर्वक।

इस मामले में एक अच्छा विकल्प मार्ग में दो मनमाने शहरों को चुनना और उनके बीच का मार्ग उलटना है। उदाहरण के लिए, हमारे पास एक मार्ग (1,2,3,4,5,6,7) था। यादृच्छिक संख्या जनरेटर ने शहरों को 2 और 7 चुना, हमने प्रक्रिया का प्रदर्शन किया और प्राप्त किया (1,7,6,5,4,3,2)।

नीचे फ़ंक्शन F के लिए कोड है:

 function [ seq ] = GenerateStateCandidate(seq) %seq -   (),   %   - n = size(seq,1); %    i = randi(n,1); %     j = randi(n, 1);%     if(i > j) seq(j:i) = flipud(seq(j:i)); %   else seq(i:j) = flipud(seq(i:j));%   end end 

अब हमारे पास सब कुछ है जो हमें चाहिए, और हम अनुकूलन प्रक्रिया शुरू कर सकते हैं। लेकिन इससे पहले कि हम मज़ेदार हिस्से पर पहुँचें, मैं पूरा कार्यक्रम कोड दूंगा। मुझे लगता है कि ऊपर छद्म कोड के उपरोक्त पैराग्राफ के साथ इसकी तुलना करना बहुत दिलचस्प होगा:

 function [ state ] = SimulatedAnnealing( cities, initialTemperature, endTemperature) n = size(cities,1); %     state = randperm(n); %   ,    %  randperm(n) -        1  n currentEnergy = CalculateEnergy(state, cities); %      T = initialTemperature; for i = 1:100000 %      %          T stateCandidate = GenerateStateCandidate(state); %  - candidateEnergy = CalculateEnergy(stateCandidate, cities); %    if(candidateEnergy < currentEnergy) %      currentEnergy = candidateEnergy; %      state = stateCandidate; else p = GetTransitionProbability(candidateEnergy-currentEnergy, T); % ,   if (MakeTransit(p)) %  ,    currentEnergy = candidateEnergy; state = stateCandidate; end end; T = DecreaseTemperature(initialTemperature, i) ; %   if(T <= endTemperature) %   break; end; end end 

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है।

परिणाम

चूंकि एल्गोरिथ्म में एक संभाव्य प्रकृति होती है, इसलिए मामला आदेश दे सकता है ताकि "एनीलिंग" लेता है, और एक स्थानीय न्यूनतम में फंस जाता है। इसलिए, यह कई शुरुआत करने और ध्यान देने योग्य है कि परिणाम किस न्यूनतम मूल्य में परिवर्तित होते हैं।

कार्यक्रम के साथ शुरू हुआ = 10 और = 0.00001।

आंकड़ा राज्य को पहले पुनरावृत्ति पर दिखाता है। यह संभावना नहीं है कि विक्रेता ने बहुत खुशी का अनुभव किया होगा यदि हमने उसे इस तरह के मार्ग की पेशकश की थी।


आउटपुट परिणाम बहुत अच्छा लगता है:


हालांकि, यह ध्यान देने योग्य है कि इस तथ्य के बावजूद कि वर्तमान कार्यान्वयन में एल्गोरिथ्म काफी कुशलता से काम करता है (निश्चित रूप से संपूर्ण खोज की तुलना में बहुत तेजी से), एक राय है कि "गुणवत्ता" खोए बिना बहुत बेहतर समय प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, मैं आपको सुझाव देता हूं, एक व्यावहारिक कार्य के रूप में, टी फ़ंक्शन के साथ प्रयोग करें और टिप्पणियों में परिणाम साझा करें।

सोर्स कोड यहां डाउनलोड किए जा सकते हैं ।

मुझे आशा है कि रीडिंग आपके लिए उपयोगी साबित हुई। रचनात्मक आलोचना का स्वागत है।

पुनश्च

मैं अन्ना एंटोनोवा और दिमित्री इग्नाटोव को धन्यवाद देने का यह अवसर लेना चाहूंगा, जिन्होंने प्रकाशन से पहले लेख पढ़ा और मुझे कुछ अच्छी सलाह दी।