एक अधूरा घन समीकरण के समाधान पर

पहचान

मैं इस विषय को एक ट्यूटोरियल के रूप में प्रकाशित करता हूं। तथ्य की बात के रूप में, सामग्री में कोई महत्वपूर्ण नवीनता नहीं है, विषय हैकनेक है। मुझे लगता है कि समस्या को हल करने के लिए एक दृष्टिकोण दिलचस्प होगा।

मुझे याद है कि गणितीय विश्लेषण पर कक्षाओं में पहले वर्ष में एक अभिन्न दिमाग में आया था। शिक्षक ने बोर्ड को फोन किया, लेकिन घंटी बजी। घर के रास्ते में, घन समीकरण को हल करने के एक "कंकाल" ने बस में आकार लिया। सामान्य योजना, निश्चित रूप से, सबसे तर्कसंगत नहीं है। एक अधिक प्रभावी - त्रिकोणमितीय वीटा सूत्र है । वहां, रूट को समीकरण के रूप में तुरंत लिखा जाता है, और, सामान्य तौर पर, गणना की मात्रा के संदर्भ में, न्यूटन संख्यात्मक पद्धति का उपयोग करना अभी भी बेहतर है, क्योंकि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए बिजली श्रृंखला धीरे-धीरे परिवर्तित होती है (वे कुछ पुस्तकालयों में इस तरह के कार्यों की गणना का निर्माण करने के लिए उपयोग किया गया था)। यहाँ क्या हुआ है।

1. प्रारंभिक अभिन्न और घन समीकरण

अनिश्चित अनिश्चित को खोजने की जरूरत है



अनिश्चित गुणांक की पद्धति का उपयोग करते हुए, हम इंटीग्रैंड के हर के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं



हम अज्ञात गुणांक के लिए बीजगणितीय समीकरणों की एक गैर-रेखीय प्रणाली प्राप्त करते हैं, जिसके समाधान के लिए अपूर्ण घन समीकरण के सकारात्मक मूल को खोजने की आवश्यकता होती है।



अन्वेषण कार्य एकरसता समीकरण के बाईं ओर, हम यह पता लगा सकते हैं कि इसकी अधिकतम है



और न्यूनतम



उसी समय



फिर फ़ंक्शन की निरंतरता से यह इस प्रकार है कि मूल समीकरण में तीन वास्तविक जड़ें हैं, जिसमें दो नकारात्मक और एक खंड से संबंधित है । ।
उसे खोजो।

2. एक सकारात्मक समाधान के लिए खोजें

ध्यान दें कि हमारे समीकरण में कोई तर्कसंगत जड़ें नहीं हैं।
आइए निम्नलिखित पहचान से शुरू करते हैं, न्याय, शायद, स्कूल में कई तर्क दिए गए:



इसे टाइप करने के लिए कन्वर्ट करें



फिर क्यूबिक समीकरण का समाधान सिस्टम के समाधान के लिए कम हो जाता है



और (जड़ की सकारात्मकता की स्थिति से)।
आइए इस प्रणाली से सिस्टम में जाएं



वास्तव में, चतुष्कोणीय समीकरण के लिए वीटा का प्रमेय (1) में लिखा गया है



या



यहां भेदभाव नकारात्मक है, ऐसा लगता है कि हम निर्णय को समाप्त कर सकते हैं, लेकिन हमें वास्तविकता की आवश्यकता नहीं है और , और उनकी राशि की वैधता। जटिल संख्या में मदद मिलेगी।

द्विघात समीकरण की जड़ों को लिखने के त्रिकोणमितीय रूप का रूप है

।
जहाँ - काल्पनिक इकाई।

तो



सवाल उठ सकता है: सिस्टम (1) में, पहले समीकरण को दोनों भागों को एक क्यूब में उठाकर प्राप्त किया गया था, क्या इससे अतिरिक्त जटिल जड़ों की उपस्थिति होगी? नहीं, क्योंकि यदि आप व्यक्त करते हैं के माध्यम से मूल प्रणाली में, हमें पहले से ही द्विघात समीकरण माना जाता है। व्यक्त करते समय के माध्यम से हमारे पास एक ही बात है। यह अंतिम समुच्चय का न्याय सिद्ध करता है।
हम क्यूबिक रूट से निकालते हैं और जटिल संख्या से जड़ों को निकालने के नियम से। हमें मिलता है



जहाँ


एक जोड़ी चुनें और ताकि जटिल संख्या के काल्पनिक भाग में उनका योग 0 देता है, और वास्तविक भाग नकारात्मक होगा। इस मामले में, हम कमी के सूत्रों का उपयोग करेंगे (यदि समीकरण की शेष जड़ों को खोजने के लिए आवश्यक है, तो त्रिकोणमितीय कार्यों के योग को एक उत्पाद में परिवर्तित करने के लिए सूत्रों का उपयोग करना बेहतर है), और यह भी ध्यान में रखें कि पहली तिमाही के अंतर्गत आता है। तो



जहां वांछित जड़ है


यदि आप त्रिकोणमितीय Vieta सूत्र का उपयोग करते हैं, तो परिणामी रूट सरल रूप में लिखा जाएगा


प्रश्न उठता है: मैंने कार्डानो फॉर्मूला का उपयोग क्यों नहीं किया? दरअसल, स्कूलों में हमें बताया गया था कि उनका उपयोग घन समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। इसके रूप में, यह वैसा ही है जैसा उसने अभी किया है - अंत में, जटिल संख्या से क्यूबिक रूट को निकालना आवश्यक होगा। वैसे, तीसरी डिग्री के समीकरणों को हल करते समय यह ठीक है कि जटिल संख्याओं ने पहले अपना आवेदन प्राप्त किया।

मैं ध्यान देता हूं कि क्यूबिक समीकरण की जड़ों की संरचना का निर्धारण करने के लिए , विभेदक की अवधारणा का उपयोग किया जाता है (जैसा कि द्विघात समीकरण के मामले में)। सामान्य तौर पर, बीजगणित में विभेदक की धारणा को मनमाना डिग्री के बहुपद के लिए पेश किया जाता है।

2. एक घन समीकरण के साथ एक शारीरिक समस्या का एक उदाहरण

"क्वांटम" पत्रिका में मैं एक बार क्यूबिक समीकरण के समाधान के साथ भौतिकी में एक दिलचस्प समस्या के रूप में आया था। नीचे की रेखा इस प्रकार है। अधिकतम गति क्या है यह निर्धारित करने की आवश्यकता है एक कार द्रव्यमान विकसित कर सकते हैं (एक व्यक्ति के साथ) एक ज्ञात अधिकतम शक्ति पर इंजन?
कार की उच्चतम गति पर, इसका त्वरण शून्य है, क्योंकि फ़ंक्शन के व्युत्पन्न चरम बिंदु पर गायब हो जाते हैं। यद्यपि यह एक स्थिर गति से चलते समय शून्य होता है। तब हम यह कह सकते हैं: एक कार की अधिकतम निरंतर गति क्या हो सकती है?
उच्च गति पर, वायु प्रतिरोध को अब उपेक्षित नहीं किया जा सकता है, जबकि ड्रैग बल स्टोक्स कानून के अनुसार नहीं, बल्कि द्विघात नियम के अनुसार व्यक्त किया जाता है, क्योंकि गति की गति काफी अधिक है। तब इंजन कर्षण बल को एयर ड्रैग बल और रोलिंग और स्लाइडिंग घर्षण बलों द्वारा संतुलित किया जाता है जो कार के पहिये और सड़क मार्ग के टायर के बीच उत्पन्न होते हैं:



जहाँ - घर्षण का कुल गुणांक, - गुरुत्वाकर्षण का त्वरण, - वायुगतिकीय ड्रैग गुणांक , - कार का ललाट अनुभागीय क्षेत्र, जिसे हम अधूरा घन समीकरण प्राप्त करते हैं।

3. प्रश्न और उत्तर

विषय को पढ़ते समय पाठक से प्रश्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, जैसे:

1. लेखक ने पूर्ण घन समीकरण पर विचार क्यों नहीं किया? उत्तर: अधूरा प्रतिस्थापन करने के लिए एक पूर्ण घन समीकरण कम हो जाता है



जहाँ एक नया चर है - गुणांक पर । - गुणांक पर ।

2. विषय की शुरुआत में, चौथे डिग्री के एक बहुपद पर विचार किया गया था। क्या ऐसे समीकरणों को विश्लेषणात्मक रूप से हल करने की कोई विधि है? उत्तर: हां, एक फेरारी विधि है ।

3. एबेल-रफ़िनी प्रमेय द्वारा, चौथे डिग्री से ऊपर एक समीकरण रेडिकल में हल नहीं है। और यहाँ हमें त्रिकोणमितीय कार्यों से युक्त घन समीकरण की जड़ मिलती है, जो, सबसे अधिक संभावना है, कट्टरपंथी के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, कैसे? उत्तर: प्रमेय के कथन में हमारा अर्थ है जड़ की सामान्य धारणा, अर्थात। सूत्र में गुणांक गुणांक को प्रतिस्थापित करके जड़ों को जटिल संख्या से भी निकाला जा सकता है।

4. एवरिस्टा गैलोज के बाद , क्या मनमानी डिग्री के समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र प्राप्त करने का कोई प्रयास किया गया था? उत्तर: बहुत समय पहले मैंने अमेरिकी गणितज्ञ डेविड मुमफोर्ड की पुस्तक "रूसी व्याख्यान पर कार्य" (मीर, 1988) के एक रूसी अनुवाद पर नज़र डाली थी। इसके अलावा, हिरोशी उमेमुर के काम "थीटा कॉन्स्टेंट्स का उपयोग करके बीजीय समीकरणों को हल करना" दिया गया है, जहां रूट निष्कर्षण फ़ंक्शन को दूसरे फ़ंक्शन द्वारा बदल दिया जाता है - थीटा स्थिरांक के माध्यम से व्यक्त किया गया सीगल मोड्यूलर फ़ंक्शन। यह कार्य गैलोइस के बाद इस मुद्दे के अध्ययन के इतिहास पर भी प्रकाश डालता है।

5. जैसा कि मैं इसे समझता हूं, इस तरह के सूत्र मनमानी डिग्री के समीकरणों को हल करने की व्यावहारिक समस्याओं में उपयोग के लिए लागू नहीं हैं। क्या अनुमानित जड़ें प्राप्त करने के लिए एल्गोरिदम के विवरण के साथ कोई आधुनिक कार्य हैं? उत्तर: मैं G.P की पुस्तक की सलाह देता हूं। कुटिशचेवा "मनमानी डिग्री के बीजीय समीकरणों का समाधान: सिद्धांत, तरीके, एल्गोरिदम" (URSS, 2010)।

6. क्या संख्यात्मक न्यूटन पद्धति के आधुनिक संशोधन हैं, जो आज समीकरणों और समीकरणों के सिस्टम के अनुमानित समाधान प्राप्त करने के लिए मुख्य है? उत्तर: आप जनक राज शर्मा, रंगन कुमार गुहा और रजनी शर्मा द्वारा लेख देख सकते हैं "एक कुशल चौथे क्रम का भारहीन न्यूटन विधियों के लिए न्यूटन विधि" ।

7. क्या उच्च डिग्री के समीकरणों के कोई विशेष मामले हैं जिनके लिए जड़ों के विश्लेषणात्मक सूत्र प्राप्त करना संभव था? उत्तर: पांचवें डिग्री समीकरण और लॉरेंस ग्लासर के फार्मूले का वास्तविक समाधान खोजने के लिए रूट को मनमाना डिग्री के अपूर्ण समीकरणों के लिए लाएं ।

अंत में, शुरुआती लोगों के लिए मैं पुस्तक एस.एल. तबचनिकोवा और डी। बी। फुच्स "गणितीय डायवर्टिसमेंट" (ICMMO, 2010)।