🎴 🧔🏻 🙏🏼 आर में एनिमेटेड रेखांकन (और द्विभाजन, अराजकता और आकर्षण के बारे में थोड़ा) 🙍🏼 🤰🏽 ⏹️

एक बार एक प्रस्तुति के लिए मुझे एनिमेटेड ग्राफिक्स की आवश्यकता थी। ग्राफ़ के साथ, वास्तव में, कोई समस्या नहीं थी, और उनके एनीमेशन के लिए मुझे एक और animation पैकेज का उपयोग करना पड़ा, जिसे सीआरएएन से स्थापित किया जा सकता है।

 install.packages("animation") library(animation)

यह ध्यान देने योग्य है कि animation छवि प्रसंस्करण की प्रक्रिया में ImageMagick सॉफ्टवेयर का उपयोग करता है, इसलिए इसे अग्रिम में स्थापित करना उचित है। विंडोज के तहत, मैंने इस समाधान के प्रदर्शन का परीक्षण नहीं किया।
एक एनिमेटेड ग्राफ बनाने के लिए, सामान्य तौर पर, हमें इस तरह के केवल एक फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है:

 saveGIF({ # - ,    }, movie.name=..., interval=..., ani.width=..., ani.height=...)

ऐसा हुआ कि उस समय मैं डायनामिकल सिस्टम और कैओस के लिए एक बहुत ही जानकारीपूर्ण पाठ्यक्रम परिचय ले रहा था, और मैं सोच रहा था कि वे अपेक्षाकृत सरल गणितीय वस्तुओं से बहुत विचित्र चित्रों में कैसे स्थानांतरित होते हैं। इस तरह की कम से कम लॉजिस्टिक मैपिंग लें:

इस पुनरावृत्त फ़ंक्शन को पिछली अवधि में और उसके पैरामीटर r पर जनसंख्या के आकार की निर्भरता के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जिसे आमतौर पर प्रजनन दर कहा जाता है। दरअसल, यह फंक्शन अपने आप में सुस्त है और इसका बहुत ही शेड्यूल है। यदि कोई अपने द्विभाजक आरेख पर विचार करता है, तो दिलचस्प चीजें खुद को प्रकट करती हैं: पैरामीटर r को बदलकर, कोई समीकरण के निश्चित बिंदुओं के "गतिशीलता" का निरीक्षण कर सकता है । हम इस तरह के एक समारोह के रूप में आर में रसद मानचित्रण लिखते हैं:

 logistic.map <- function(r, x0, n, m){ x <- rep(x0, n) for(i in 1:(n-1)) { x[i+1] <- r * x[i] * (1 - x[i]) } return(x[(nm):n]) }

हम एक द्विभुज आरेख को प्रदर्शित करने और निर्माण के लिए कुछ दिलचस्प बिंदु और प्रारंभिक पैरामीटर सेट करते हैं, जिस तरह से छवि के पैमाने को बदलते हैं:

छिपा हुआ पाठ

 nrows <- 6 r.len <- 1500; # Points of interest on the plot R <- matrix(c( seq(2.4, 4, length.out=r.len), seq(3.442420, 3.639398, length.out=r.len), seq(3.562297, 3.572910, length.out=r.len), seq(3.569792, 3.570244, length.out=r.len), seq(3.570005, 3.571369, length.out=r.len), seq(3.631992, 3.633301, length.out=r.len) ), nrow=nrows, byrow=T) X <- matrix(c( 0, 1, 0.8567335, 0.9140401, 0.8887529, 0.8936790, 0.8920580, 0.8925577, 0.8911242, 0.8927333, 0.9066966, 0.9083943 ), nrow=nrows, byrow=T) x0 <- 0.5 n <- 200 m <- 170 saveGIF({ for (i in 1:nrows){ r <- R[i,] x <- as.vector(sapply(r, logistic.map, x0, n, m)) r <- sort(rep(r, (m+1))) del_idx <- unlist(sapply(1:length(x), function(j) if (x[j] < X[i, 1] | x[j] > X[i, 2]) j)) if (length(del_idx > 0)){ x <- x[-del_idx] r <- r[-del_idx] } plot(x ~ r, col="gray66", pch=".", main="Bifurcation Diagram for the Logistic Map") } }, movie.name = "bifur.gif", interval=2.4, ani.width=600, ani.height=500)

परिणामस्वरूप, हमें कुछ ऐसा मिलता है:

आप देख सकते हैं कि समीकरण के निश्चित बिंदुओं की संख्या दोगुनी हो जाती है, इस प्रकार द्विभाजन का झरना बन जाता है और एक फ्रैक्चर संरचना दिखाई देती है। यहां इस तरह की घटना को सार्वभौमिकता के रूप में याद करना अभी भी उचित है। हम दो समीकरणों पर विचार करते हैं:

पहला समीकरण r इकाइयों में एक द्विभाजन बिंदु से अगले तक की दूरी को निर्धारित करता है। दूसरा एक दिखाता है कि शाखा n, शाखा n + 1 से अधिक लंबी कैसे है। तो, यह पता चला है कि

संख्या 4.669201 ... को सार्वभौमिक Feigenbaum स्थिरांक कहा जाता है , जो क्रमिक से नियतात्मक अराजकता तक गतिशील प्रणालियों के संक्रमण की दर को चिह्नित करता है।

एक और दिलचस्प और कोई कम प्रसिद्ध वस्तु लोरेंज आकर्षण नहीं है । होबे पर भी एक अलग लेख उनके लिए समर्पित है। वायु धाराओं की गति का वर्णन करने के लिए, एडवर्ड लोरेन्ज ने तीन साधारण अंतर समीकरणों की एक प्रणाली का उपयोग किया, जिसे अब लोरेंट समीकरणों के रूप में जाना जाता है:

हम बाहर नहीं जाएंगे और इस प्रणाली को संख्यात्मक रूप से हल करेंगे - यूलर विधि का उपयोग करते हुए :

 lorenz.solution <- function(sigma=10, r=28, beta=8/3, x=0.01, y=0.01, z=0.01, dt=0.001, n=30000){ sol <- array(0, dim=c(n,3)) t <- 0 for(i in 1:n){ x0 <- x; y0 <- y; z0 <- z x <- x0 + (y0 - x0) * sigma * dt y <- y0 + ((r - z0) * x0 - y0) * dt z <- z0 + (x0 * y0 - beta * z0) * dt t <- t + dt sol[i,] <- c(x, y, z) } return(sol) }

डिफ़ॉल्ट पैरामीटर के लिए सिस्टम समाधान इस तरह दिखता है:

पैरामीटर आर को बदलकर, हम छवियों की एक श्रृंखला प्राप्त कर सकते हैं जो दिखाते हैं कि सिस्टम प्रारंभिक स्थितियों से कैसे विकसित होता है और वास्तव में, एक अजीब आकर्षण है ।

 library(scatterplot3d) saveGIF({ for (r in 2:34){ sol <- lorenz.solution(r=r) s3d<-scatterplot3d(sol[,1], sol[,2], sol[,3], color="gray66", angle=15, box=F, grid=F, axis=F, pch=".", main=paste0("Lorenz Attractor with rho=", r)) } }, movie.name = "lorenz.gif", interval=.3, ani.width=500, ani.height=500)

लोरेंज आकर्षित करने वाला एक तरह का नहीं है। उदाहरण के लिए, चेन आकर्षित करने वाले का वर्णन इस प्रकार है:

छिपा हुआ पाठ

 chen.solution <- function(a=40, c=28, b=3, x=-0.1, y=0.5, z=-0.6, dt=0.001, n=30000){ sol <- array(0, dim=c(n,3)) t <- 0 for(i in 1:n){ x0 <- x; y0 <- y; z0 <- z x <- x0 + (y0 - x0) * a * dt y <- y0 + ((c - a) * x0 - x0 * z0 + c * y0) * dt z <- z0 + (x0 * y0 - b * z0) * dt t <- t + dt sol[i,] <- c(x, y, z) } return(sol) } saveGIF({ for (a in 32:45){ sol <- chen.solution(a=a) s3d<-scatterplot3d(sol[,1], sol[,2], sol[,3], color="gray66", angle=15, box=F, grid=F, axis=F, pch=".", main=paste0("Chen Attractor with a=", a)) } }, movie.name = "chen.gif", interval=.25, ani.width=500, ani.height=500)

जिन कक्षाओं के साथ आंदोलन होता है उन्हें आकर्षित करने वाले के लिए "एक साथ खींचा" जाता है; यह आंदोलन अराजक और प्रारंभिक स्थितियों के प्रति संवेदनशील है, साथ ही यह विश्व स्तर पर स्थिर है। डेविड फेल्डमैन, जो परिचय को डायनामिक सिस्टम और कैओस कोर्स सिखाते हैं, का कहना है कि अराजक प्रणालियों में जबकि एक विशेष बिंदु की स्थिति का अनुमान लगाना मुश्किल है, ऐसे सिस्टम के सांख्यिकीय मापदंडों को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है। इस प्रकार, यह प्रणाली की सांख्यिकीय भविष्यवाणी के बारे में तर्क दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक विशेष क्षण में मौसम, सख्ती से बोलना अप्रत्याशित है, लेकिन जलवायु में कुछ निश्चित पैरामीटर हैं। और कोई विरोधाभास नहीं है।

आर में एनिमेटेड रेखांकन (और द्विभाजन, अराजकता और आकर्षण के बारे में थोड़ा)

More articles: