गणित में परिमित और अनंत। यैंडेक्स में वरिष्ठ छात्रों के लिए पावेल कोज़ेवनिकोव द्वारा व्याख्यान

हमारे आसपास की दुनिया के विपरीत, जिसमें सब कुछ परिमित है, गणित में हम अक्सर अनंत वस्तुओं का सामना करते हैं। उदाहरण के लिए, पूर्णांक, परिमेय, बीजगणितीय, रचनात्मक या वास्तविक संख्याओं के अनंत सेट। व्याख्यान में, हम उन समस्याओं पर विचार करेंगे जिनमें अनंत सेट के साथ काम करने के कुछ सिद्धांत प्रकट होते हैं। कभी-कभी ये सिद्धांत उन लोगों से बहुत अलग होते हैं, जिनके लिए हम "अंतिम" दुनिया के मामले में आदी हैं।

हिल्बर्ट होटल

अनंत कमरों वाले काल्पनिक होटल की कल्पना करें। होटल के सभी कमरों में पहले से ही कब्जे हैं। लेकिन किसी समय होटल में एक और मेहमान आता है। इस तथ्य के बावजूद कि होटल के प्रत्येक कमरे में पहले से ही कम से कम एक किरायेदार है, फिर भी एक नए के लिए एक कमरा मिल सकता है। आखिरकार, हमारा होटल अंतहीन है, और यदि आप सभी मेहमानों को एक कमरा आगे बढ़ाने के लिए कहते हैं, तो पहला कमरा मुफ्त होगा। और यहां तक ​​कि अगर कई नए मेहमान आते हैं, तो इस तरह की रिलोकेशन की एक श्रृंखला के माध्यम से, उनके लिए जगह ढूंढना संभव होगा।

अब कल्पना कीजिए कि हमारे पास तीन ऐसे हिलबेरोट होटल हैं। उनमें से दो को मरम्मत के लिए बंद कर दिया गया है, और मेहमानों को एक शेष में बसाया जाना चाहिए। इस तरह के असामान्य मामले में भी कोई समस्या नहीं होनी चाहिए, सभी मेहमानों को तीसरे अंतहीन होटल में जगह मिलेगी। उदाहरण के लिए, हम क्रमशः दो होटलों से मेहमानों को क्रमशः और विषम संख्या में समायोजित कर सकते हैं।

एक और भी अजनबी स्थिति की कल्पना करें: हिल्बर्ट होटल की अनंत संख्या में मरम्मत के लिए बंद किया जा रहा है, और हमें अपने सभी मेहमानों को एक अंतहीन होटल में बदलने की आवश्यकता है। यदि हम पिछले उदाहरण की तकनीक का उपयोग करते हैं, लेकिन हम मेहमानों को विकर्ण पर क्रमिक रूप से व्यवस्थित करेंगे, तो जल्दी या बाद में हम सभी को वितरित करने में सक्षम होंगे।

आइए हम उन समस्याओं को औपचारिक रूप देने की कोशिश करें जिनकी हमने निर्धारित सिद्धांत के दृष्टिकोण से जांच की है। अब हम अनिवार्य रूप से क्या करते थे? हमने होटल के कमरे गिने। गणित में ऐसी स्थिति को एक गणनीय समुच्चय कहा जाता है: एक अनंत समुच्चय K, जिसका नाम बदला जा सकता है। यदि सेट K और प्राकृतिक संख्याओं {1, 2, ...} के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार हो तो एक अनंत सेट को गणनीय कहा जाता है। हमारे द्वारा मानी गई समस्याओं की औपचारिक प्रस्तुति इस प्रकार है:

• K एक गणनीय सेट है; इसलिए, K∪ {a} भी एक गणनीय सेट होगा।
• K ₁ , K ₂ काउंटेबल सेट हैं, इसलिए K ₁ willK ₂ काउंटेबल सेट होगा।
• के ₁ , के ₂ , के ₃ , के ₄ , ... काउंटेबल सेट हैं, इसलिए, संयुक्त सेट भी काउंटेबल होगा:

गणना योग्य और बेशुमार सेट

लेकिन आइए हम और अधिक ज्ञात सेटों की ओर बढ़ते हैं - संख्यात्मक। और प्राकृतिक संख्या से शुरू करें। जाहिर है, प्राकृतिक संख्याओं (ly) का सेट केवल परिभाषा के हिसाब से गणना योग्य है। यदि हम प्राकृतिक संख्याओं में शून्य और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ते हैं, तो हमें बहुत सारे पूर्णांक मिलते हैं। यह एक गणनीय सेट है? हमने पहले ही ऊपर कहा है कि यदि हम दो गणनीय सेटों को जोड़ते हैं, तो परिणाम भी एक गणनीय सेट होगा। 0 जोड़ने से, सेट को गिनने योग्य होने का गुण नहीं खोएगा।

अगला, तर्कसंगत संख्याओं पर विचार करें। यह प्रपत्र m / n में प्रतिनिधित्व करने योग्य संख्याओं का समूह है, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक धनात्मक पूर्णांक है:



इस प्रकार, तर्कसंगत संख्याएं गिनने योग्य सेटों की संख्या होती हैं और, जब संयुक्त होती हैं, तो एक गिनती योग्य सेट भी बन जाएगा।

बीजगणितीय संख्याएँ पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद की जड़ों का समुच्चय होती हैं। क्या यह सेट काउंटेबल होगा? विभिन्न डिग्री के बहुपद की जड़ों के सेट काउंटेबल सेट होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनके संघ का परिणाम भी काउंटेबल सेट होगा। यह निम्नानुसार है कि बीजीय संख्याओं (is) का सेट एक गणनीय सेट है।

तथाकथित पारलौकिक संख्याएँ हैं: इस सेट (includes) में वास्तविक (but) शामिल हैं, लेकिन बीजगणितीय (trans) संख्याएँ नहीं हैं। इस सेट में नंबर e,, आदि शामिल हैं।

चूंकि हमने वास्तविक संख्याओं का उल्लेख किया है, इसलिए हम उन पर और अधिक विस्तार से ध्यान देंगे, खासकर जब से उनमें से बहुत कुछ गणना योग्य नहीं हैं, जिन्हें हम अब साबित करेंगे। और इसके लिए यह साबित करना आवश्यक है कि अनंत दशमलव भिन्न का सेट बेशुमार है। सादगी के लिए, कल्पना करें कि दशमलव बिंदु के बाद, हम केवल शून्य और वाले हो सकते हैं:



मान लीजिए कि हमारे पास एक अंतहीन तालिका है जिसमें हमारे द्वारा इंगित किए गए सभी प्रकार के नंबर अंकित हैं।

0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ...

0, बी 1 , बी 2 , बी 3 , बी 4 , बी 5 ...

0, सी 1 , सी 2 , सी 3 , सी 4 , सी 5 ...

0, डी 1 , डी 2 , डी 3 , डी 4 , डी 5 ...

...

...

...

हम साबित करते हैं कि ऐसी तालिका मौजूद नहीं हो सकती है, हम ऐसे अंश का निर्माण करते हैं कि इस तालिका में मिलना असंभव है:

0, x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , xx ₅ ...

जहाँ x _{1 2} a ₁ , x ₂ , b ₂ , x ₃ , c ₃ , आदि। इसे कैंटर विकर्ण प्रक्रिया कहा जाता है, यह हमें एक ऐसी संख्या की ओर ले जाती है जो हमारी तालिका में नहीं है। और इसका मतलब है कि हमारे पास अनगिनत संख्या है।

व्याख्यान को अंत तक देखने के बाद, आपको पता चलेगा कि अनंत सेट से जुड़ी समस्याएं क्या हैं, और वे कैसे हल होती हैं।