मिप्पोस्की फ्लैप्पी बर्ड में कैसे खेले

कई लोगों ने फ्लैपी बर्ड खेलने की कोशिश की है। कुछ लोग 50 पाइपों में उड़ान भरने का प्रबंधन करते हैं, बहुत कम सैकड़ों या दो तक पहुंचते हैं। कुछ ने बॉट बनाने की कोशिश की, जिसमें एक हब भी शामिल था आश्चर्यजनक रूप से, यहां तक ​​कि सबसे सफल बॉट, जो इंटरनेट पर पाया जा सकता है, परिणाम बहुत प्रभावशाली नहीं हैं - लगभग 160 अंक । सवाल उठता है कि क्या सामान्य तौर पर फ्लैपी बर्ड का अनिश्चित काल तक खेलना संभव है? या यह हमेशा कुछ के साथ संभव है, भले ही छोटी, संभावना है कि बाधाओं का एक क्रम होगा जो एक अनुभवी खिलाड़ी / आदर्श बॉट को दूर कर सकता है?

और यहाँ गणित बचाव के लिए आता है। आइए Flappy बर्ड के लिए एक जीतने की रणनीति खोजें।

आदर्श

हम खेल के गणितीय मॉडल का वर्णन करते हैं। हमारा खेल मैदान एक विमान है। एक पक्षी है - समन्वय कुल्हाड़ियों के समानांतर लंबाई के पक्षों के साथ एक वर्ग। बाधाएं हैं - पाइप - चौड़ाई डब्ल्यू _{ट्यूब} की ऊर्ध्वाधर धारियों के साथ ऊँचाई एच _{गैप के} क्षैतिज उद्घाटन। दो आसन्न बाधाओं के बीच क्षैतिज दूरी तय की जाती है और ad _{ट्यूब के} बराबर _{होती है} । प्रत्येक पाइप के लिए क्षैतिज उद्घाटन का स्थान यादृच्छिक (समान रूप से एक निश्चित सीमा में) है। इसके अलावा एक मंजिल है - एक क्षैतिज रेखा च। सेक्स भी एक बाधा है। चित्र:



पक्षी की क्षैतिज गति स्थिर और v _{x के} बराबर है। गुरुत्वाकर्षण भी पक्षी पर कार्य करता है, इसे ऊर्ध्वाधर त्वरण जी देता है। प्रारंभ में, पक्षी की ऊर्ध्वाधर गति 0. होती है। प्रत्येक समय, खिलाड़ी एक नल बना सकता है, अर्थात, पक्षी की ऊर्ध्वाधर गति v _{कूद हो जाती है} । इसके अलावा, पक्षी पर एक प्रकार का वायु प्रतिरोध कार्य करता है - इसकी ऊर्ध्वाधर गति नीचे से लगातार वी _{गिरावट} तक सीमित है। वास्तव में, इसका मतलब है कि प्रत्येक नल के बाद, पक्षी एक परबोला के साथ चलता है, जो किसी बिंदु पर एक सीधी रेखा में गुजरता है। तप के बाद पक्षी जिस चाल के साथ चलता है, उसे पैडबोला (फॉल परबोला) कहा जाएगा। यह इस तरह दिखता है:



खेल समाप्त होता है जब पक्षी बाधा को छूता है। खिलाड़ी का कार्य यात्रा की गई दूरी को अधिकतम करना है।

पास करने की रणनीति पर आगे बढ़ने से पहले, एक चाल चलें। बाधाओं के साथ एक वर्ग पक्षी के चौराहे का विश्लेषण करना बहुत सुविधाजनक नहीं है। लेकिन यह पता चला है कि समकक्ष मॉडल पर स्विच करना आसान है, जिसमें पक्षी एक बिंदु है। ऐसा करने के लिए, यह एक बिंदु (प्रारंभिक वर्ग के केंद्र) के आकार के लिए पक्षी को "उड़ाने" के लिए पर्याप्त है, जबकि एक ही समय में बाधाओं को "फुला"। इस मामले में, प्रारंभिक वर्ग बाधाओं के साथ प्रतिच्छेदन करता है यदि और केवल अगर एक नया बिंदु पक्षी एक सूजन बाधा में निहित है। चित्र:



वैज्ञानिक रूप से, "ब्लोटिंग" बाधाओं के परिणाम को मिंकोव्स्की योग कहा जाता है।

मिन्कोवस्की योग

विकिपीडिया रिपोर्ट:

एक रेखीय स्थान V के दो सबसेट ए और बी के मिंकोवस्की योग एक सेट है जिसमें A और B से सभी संभव वैक्टर के योगों का C होता है: C = {c | c = a + b, a∈A, b∈B} |

रोज़मर्रा के दृष्टिकोण से, हम मान सकते हैं कि ए और बी के Minkowski राशि एक आंकड़ा प्राप्त किया जाता है अगर एक आंकड़ा ए प्रत्येक बिंदु बी से जुड़ा हुआ है - सही आंकड़ा देखें।

पडबोला उलटा

आइए सहायक समस्या को हल करें: पक्षी को कहाँ होना चाहिए ताकि नल के बाद वह दिए गए बिंदु A से उड़ जाए? अधिक सटीक रूप से, बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति को खोजने की आवश्यकता है, जैसे कि उनमें से तैयार किए गए पैडबोल तय बिंदु ए के माध्यम से गुजरते हैं। मध्य आकृति देखें। मान लें कि एक मनमाना वेक्टर है जो एक पैडबोला की शुरुआत को अपने एक बिंदु से जोड़ता है। यह देखना आसान है कि बिंदु A-v the पर टैप के बाद, पक्षी बिंदु A के माध्यम से उड़ता है, अर्थात A-v desired बिंदुओं के वांछित ज्यामितीय स्थान से संबंधित है। इसके अलावा, वैक्टर v⃗ के सभी प्रकार लेने से, हमें सभी वांछित बिंदु मिलते हैं। लेकिन ए-वी where के फॉर्म के बिंदुओं का सेट क्या है, जहां v पैडबोला के बिंदुओं में से एक के वेक्टर का त्रिज्या है? यह एक ऐसा मार्ग है जो बिंदु A के सापेक्ष प्रतिबिंब के बाद पैडबोला के केंद्र में सममित है, चित्र के साथ, यह स्पष्ट है:



आप समस्या को सामान्य कर सकते हैं: आपको किसी दिए गए क्षेत्र S से उड़ान भरने के लिए कहां टैप करना होगा? पूर्वगामी के आधार पर, उत्तर Minkowski क्षेत्र S और रिवर्स पैडबोला का योग है:

ऊपरी बाधाएं

अंत में, हम मुख्य कार्य की ओर मुड़ते हैं - एक जीतने की रणनीति खोजना। केवल पहले हम इसे सरलीकृत मामले में हल करते हैं। बता दें कि मॉडल में पाइप और फर्श के निचले हिस्से नहीं हैं। यही है, हमारे पास बाधाओं के केवल ऊपरी हिस्से हैं। पाइप के फ्रीस्टैंडिंग ऊपरी आधे हिस्से पर विचार करें। इस बाधा के बाईं ओर कहीं दूर पक्षी अपनी यात्रा शुरू करते हैं। मान लीजिए, किसी समय, एक पक्षी एक पाइप में दुर्घटनाग्रस्त हो गया। जैसा कि हम पिछले पैराग्राफ से जानते हैं, इसका मतलब है कि अवरोध में पैडबोला को जोड़कर प्राप्त क्षेत्र में एक नल बनाया गया था। नीले रंग में परिणामी क्षेत्र को रंग दें। चित्र:



ध्यान दें कि यदि कोई खिलाड़ी नीले क्षेत्र में किसी बिंदु पर स्पर्श करता है, तो संबंधित पैडबोला पहले बाधा के साथ प्रतिच्छेद करता है और उसके बाद ही नीला क्षेत्र छोड़ता है। दूसरे शब्दों में, खिलाड़ी को नीले क्षेत्र में फिर से हारने या टैप करने के लिए मजबूर किया जाएगा। खैर, चूंकि एक नीला क्षेत्र सही तक सीमित है, इसमें अनंत तक उड़ने से काम नहीं चलेगा, और अंत में, पक्षी मर जाएगा। इस प्रकार, नीले क्षेत्र में नल हमेशा हार की ओर जाता है। इसके अलावा, नीले क्षेत्र के बाहर तपस से नुकसान नहीं हो सकता है - नीले क्षेत्र में एक नल के बिना आप ऊपरी बाधा में दुर्घटनाग्रस्त नहीं हो सकते हैं, और पक्षी को उड़ने से रोकने के लिए और कुछ नहीं है।

परिणामस्वरूप, अकेले ऊपरी बाधाओं के मामले के लिए, हम निम्नलिखित बयान प्राप्त करते हैं।

कथन । यदि पक्षी नीले क्षेत्रों के पूल के बाहर अपनी उड़ान शुरू करता है, तो अंतहीन जीतने वाली रणनीतियां मौजूद हैं। और सभी जीतने वाली रणनीतियों को निम्नानुसार वर्णित किया गया है: नीले क्षेत्रों के बाहर खिलाड़ी मनमाना निर्णय ले सकता है, नीले क्षेत्रों में खिलाड़ी टैप नहीं कर सकता है।

कम बाधाएँ

अब उस मामले पर विचार करें जब मॉडल में केवल पाइप के निचले हिस्से मौजूद हैं। यही है, वहाँ कोई ऊपरी हिस्सों और सेक्स नहीं हैं। फिर से, एक अलग निचली बाधा पर विचार करें। अपने ऊपरी बाएँ कोने (बिंदु A) के माध्यम से एक AC बीम खींचें, जिसका झुकाव कोण atan (v _jump / v _x ) है - अर्थात, नल के तुरंत बाद पक्षी की गति के साथ निर्देशित किरण। पक्षी को एसी बीम से नीचे रहने दें। फिर, खिलाड़ी की कार्रवाइयों की परवाह किए बिना, वह v _कूद से अधिक एक ऊर्ध्वाधर गति के साथ उठने में सक्षम नहीं होगा। निरंतर क्षैतिज गति v _x को देखते हुए यह एक बाधा के साथ एक अपरिहार्य टकराव की ओर जाता है, अर्थात, एक नुकसान। लाल बाधा और एसी बीम के नीचे के क्षेत्र को लाल रंग में रंग दें। यहाँ लाल स्लाइड प्राप्त की गई हैं:



यह पता चला है कि किसी भी जीत की रणनीति के साथ, पक्षी को लाल क्षेत्रों में नहीं गिरना चाहिए। इसके अलावा, यदि पक्षी किसी समय में लाल क्षेत्र से बाहर है, तो यह मनमाने ढंग से लंबे समय तक उसके बाहर रह सकता है। वास्तव में, हमेशा लाल क्षेत्र की सीमा के पास पहुंचने पर, खिलाड़ी अक्सर टैप करना शुरू कर सकता है, ताकि उसमें न हो।

मंजिल जोड़ें। यह देखना आसान है कि निचले आधे विमान के रूप में फर्श को दूसरे लाल क्षेत्र के रूप में माना जा सकता है।

इस प्रकार, यदि केवल निम्न बाधाएँ और मंजिल मौजूद हैं, तो यह सच है:

कथन । यदि समय के शुरुआती समय में पक्षी लाल क्षेत्रों के संघ से बाहर है, तो अंतहीन जीत की रणनीतियां हैं। सभी जीतने वाली रणनीतियों को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: लाल क्षेत्र के बाहर, खिलाड़ी कोई भी निर्णय ले सकता है, जब लाल क्षेत्र से संपर्क किया जाता है, तो खिलाड़ी को टैप करना चाहिए।

सभी बाधाओं को एक साथ

सामान्य स्थिति पर विचार करें। चलो पाइप के ऊपरी हिस्सों, और निचले, और फर्श पर हों। निम्नलिखित समझ में आता है:

कथन । यदि नीले क्षेत्रों का मिलन लाल रंग के संघ के साथ नहीं होता है और पक्षी शुरू में नीले और लाल क्षेत्रों के बाहर होता है, तो जीतने की रणनीति होती है। किसी भी विजेता रणनीति को निम्नानुसार वर्णित किया जाता है: नीले और लाल क्षेत्रों के बाहर, आप कोई भी निर्णय ले सकते हैं, आप नीले क्षेत्रों में टैप नहीं कर सकते हैं, और जब आप लाल क्षेत्रों के पास जाते हैं तो आपको टैप करने की आवश्यकता होती है।

इस तरह की रणनीति के अस्तित्व के लिए नीले और लाल क्षेत्रों के चौराहों की अनुपस्थिति आवश्यक है। दरअसल, ऐसा हो सकता है कि नीले क्षेत्र के माध्यम से उड़ने वाला एक पक्षी लाल सीमा के करीब आता है - इस मामले में, अगर खिलाड़ी टैप करता है, तो वह खो जाएगा, अगर वह दोहन नहीं करता है, तो वह भी खो देगा।

सवाल यह है कि क्या ब्लू और रेड एरिया असली खेल में अंतरंग हैं? यह पता चला है कि कभी-कभी प्रतिच्छेद होता है। और यह ठीक एक मामले में होता है: जब दो आसन्न पाइपों के उद्घाटन के बीच ऊंचाई में पर्याप्त रूप से बड़ा अंतर होता है।



आइए हम इस स्थिति का विश्लेषण करें। बता दें कि पक्षी इन पाइपों के जरिए उड़ान भरने में कामयाब रहा। इसलिए, कुछ समय में उसने खंड एबी को पार कर लिया। लेकिन इसका मतलब यह है कि बिंदु ए और बी से खींचे गए रिवर्स पैडडोल के बीच के क्षेत्र में एक नल बनाया गया था। इसी समय, यह नल या तो नीले क्षेत्र या लाल रंग में नहीं बनाया जा सकता था। केवल पीले रंग में आकृति में दिखाया गया क्षेत्र रहता है।

यही है, एक जीतने की रणनीति के अस्तित्व के लिए, आपको पीले क्षेत्र में होने की गारंटी देने में सक्षम होना चाहिए। जो कुछ बचता है उसे टैप करना है और खतरनाक सेक्शन को दूर किया जाएगा। यह समझने के लिए कि क्या हम हमेशा पीले क्षेत्र में जा सकते हैं, इसे रिवर्स पैडोला के साथ जोड़ सकते हैं - हमें वह क्षेत्र (आकृति में हरा) मिलता है, जो पीले एक नल तक पहुंचने के लिए पर्याप्त है। ध्यान दें कि यदि किसी समय लाइन गेम के ऊपर एक बिंदु पर नल बनाया जाता है, तो हम पीले क्षेत्र में नहीं जा पाएंगे। और इसके विपरीत, इस सीमा के नीचे किसी भी बिंदु के लिए, हम हमेशा एक पंक्ति में पर्याप्त संख्या में दोहन करके, हरे क्षेत्र में चढ़ सकते हैं, फिर, एक बार टैप करके, पीले क्षेत्र में पहुंच सकते हैं और, तदनुसार, बाधा को पार करते हैं। दूसरे शब्दों में, हमारी शब्दावली में रेखा G के ऊपर स्थित बिंदुओं को नीले रंग में रंगा जाना चाहिए। सच है, अधिकांश भाग के लिए वे पहले से ही नीले हैं, घुमावदार त्रिकोण XYZ के अपवाद के साथ। डाई XYZ नीले रंग में। अब, जीतने की रणनीति तैयार करने के लिए, यह वाक्यांश जोड़ना बाकी है: यदि पक्षी पीले क्षेत्र में है, तो आपको इस क्षेत्र को छोड़ने से पहले कम से कम एक बार टैप करना होगा।

ध्यान दें कि नीले रंग में त्रिकोण का अतिरिक्त रंग लाल और नीले क्षेत्रों के चौराहों को नहीं जोड़ सकता है, और इसलिए इसने खेल की पूर्णता के विश्लेषण को प्रभावित नहीं किया।

परिणामस्वरूप, हमें मिलने वाले सामान्य मामले में:

कथन । पक्षी को शुरुआती समय में नीले और लाल क्षेत्रों के बाहर रहने दें। फिर अंतहीन जीत की रणनीतियां हैं। ऐसी सभी रणनीतियों को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: नीले और लाल क्षेत्रों के बाहर, आप किसी भी समय टैप कर सकते हैं; नीले क्षेत्रों में आप टैप नहीं कर सकते हैं; जब लाल आ रहा है, तो आपको टैप करने की आवश्यकता है; एक बार पीले क्षेत्र में, आपको इसे बाहर निकलने से पहले कम से कम एक बार टैप करने की आवश्यकता होती है।

यह दिलचस्प है कि प्रजाति की रणनीति एक निश्चित रेखा से ऊपर उड़ना शुरू कर देती है और जैसे ही पक्षी गिरता है (उदाहरण के लिए, यह लाल क्षेत्रों की ऊपरी सीमा को थोड़ा ऊपर स्थानांतरित करने के लिए तर्कसंगत होगा), जाहिर है कि किसी भी रेखा के लिए कोई रेखा नहीं होगी।

अभ्यास

यह सब अच्छा है, लेकिन मैं कुछ व्यावहारिक परिणाम चाहूंगा। हमने हब पर पहले से ही कट्टर बॉट्स देखे, इसलिए हमने सॉफ्टवेयर बनाने का फैसला किया। संयोग से, हमारे हाथ में टैपिनेटर नामक हमारे क्लोन का कोड था, जिसका भौतिक मॉडल मूल खेल के काफी करीब है - उन्होंने कोशिश की, मापा। सच है, हमारे पास एक गोल पक्षी है (हालांकि यह फ्लैपी बर्ड में गोल हो सकता है, लेकिन अंतर छोटा है, और वर्ग एक के साथ समझाना आसान है) और अतिरिक्त बाधाएं हैं - झुकाव। यह एक गोल पक्षी "प्रफुल्लित" के लिए बाधाएं हैं:



परिणामस्वरूप, हमारे पास जो नीले और लाल क्षेत्र हैं:



पीले क्षेत्रों के लिए, वे मानक पाइपों के लिए भी पैदा होते हैं, लेकिन नीचे से ऊपर की ओर निर्देशित तिरछी बाधाओं के मामले में भी उठते हैं (उनके घुमावदार नीले त्रिकोण और सामान्य रूप से):



खैर, वास्तव में, बॉट के साथ एक वीडियो:



वीडियो में आप देख सकते हैं कि 50 पक्षी काफी सफलतापूर्वक 1000 तक कैसे पहुंचते हैं, बॉट के दृष्टिकोण से सभी प्रकार के रंगीन क्षेत्र कैसे दिखते हैं, और यदि एक ही समय में 1000 पक्षी उड़ गए तो खेल कैसा दिखेगा। अप्रभावित क्षेत्रों में, बॉट यादृच्छिक रूप से व्यवहार करते हैं: उनमें से प्रत्येक के पास किसी भी समय कूदने का निर्णय लेने की अपनी निश्चित संभावना है। आप देख सकते हैं कि बॉट के दृष्टिकोण से, रंगीन क्षेत्र गणित के दृष्टिकोण से थोड़ा बड़ा है। तथ्य यह है कि बॉट में प्रति सेकंड केवल 60 बार निर्णय लेने की क्षमता है, और भौतिक मॉडल भी विवेकपूर्वक अपडेट किया गया है।

निष्कर्ष

तो, यह पता चला है कि फ्लैपी बर्ड जैसे सरल खेल में भी गणितीय सिद्धांत विकसित करना है। और वास्तव में, इस क्षण से सबसे दिलचस्प सिर्फ शुरुआत है। अगला, यह सवाल उठता है कि मनमाने आकार की बाधाओं से कैसे निपटना है - यहां आपको अवधारणाओं को पेश करना होगा जैसे कि बैंगनी छाया, बरगंडी बॉर्डर, दाएं-रेखीय रूप से जुड़ा क्षेत्र, दाएं-रेखीय रूप से जुड़ा हुआ क्लोजर, आदि। यह भी दिलचस्प है कि किसी व्यक्ति को किस तरह की प्रतिक्रिया होनी चाहिए (जो कि तपस के साथ एक वैध समय त्रुटि होनी चाहिए) ताकि वह अंतहीन खेल सके। संयोग से, यह एक बहुत ही गैर-तुच्छ प्रश्न है, जिसका कठोर उत्तर हम अभी भी नहीं जानते हैं।