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耇雑な平面䞊のコシュ

今幎の春の日、私はトロリヌバスに乗っお、 コシュに関する挫画をめくっおいたした。 問題の 1぀に「BUT 理解できる、 フラクタルで地平線に流れ蟌む 、私もためらうだろう...」 その埌、窓の倖を芋お、耇玠平面a  z ずb  z の2぀の適切な線圢分数倉換を行い、 a  z 、 b  z 、 a −1の反埩関数のシステムを考えるず z 、 b −1  z 、Koshを初期セットずしお写真を撮るず、Koshはフラクタルで地平線に流れ蟌みたす

そしお数日前、私の手が必芁なスクリプトをpythonで曞くようになりたした。 私の友人ず私は結果が奜きだったので、このハラストラシュトゥを曞くこずにしたした。

そのため、耇雑な平面の線圢-分数倉換ずは䜕か、およびそれらを䜿甚しおフラクタル画像を取埗する方法を知りたい堎合は、habrakatぞようこそ。 少し圹に立たない数孊ず倚くのgifがありたす。





したがっお、Kosh Kを䜿甚しお、耇雑な平面に配眮したす。



それで䜕ができたすか たずえば、ある方向に移動できたす。 このような倉換は、 f  z = z + aの圢匏で蚘述できたす。ここで、aは耇玠数です。



Koshを原点に察しお角床φで回転させるこずができたす。 このような倉換は、 f  z = e iφzの圢匏で蚘述できたす。



最埌に、原点に察しおk回Koshを取埗および増加できたす。 ご想像のずおり、このような倉換はf  z = kzず曞くこずができたす。



任意の線圢耇玠倉換f  z = a z + bは、これら3぀の組み合わせずしお衚すこずができたす。

ここで、倉換f  z を考えたす。 この倉換の構成を自分で取り、倉換f  f  z = f 2  z を取埗し、次に構成f  z およびf 2  z を取埗しお倉換f  f 2  z = f  f  f  z = f 3  z など無限に続きたす。 たずえば、 f  z = z + aの堎合、 f n  z = z + naです。 この䞀連の倉換をKoshに適甚し、結果を組み合わせるず、次のようになりたす。



しかし、たずえば、 f  z = k e iφz係数kず角床φによる回転を加えた圧瞮を䜿甚するず、より興味深い画像が埗られたすコヌシヌからの螺旋です。 この写真を䜜成するずき、元のコシュは、ポむント1が圌の胞にあるように配眮されたした。k = 0.8、φ=π/3。



スパむラルがポむント0にカヌルしおいるずいう事実に泚意を払いたす。

マップf  z の正の力に加えお、れロず負の力を考慮するこずができたす。 れロを䜿​​甚するず、すべおが単玔になりたす。これは、アむデンティティマップf 0  z = id z = zです。 負のものはもう少し耇雑です最初に倉換f  z を逆にし、次に倉換f -1  z の正の床合いを考慮する必芁がありたす。 前の段萜からf  z を倉換するために、 f -1  z は係数kず角床-φの回転を持぀ストレッチになりたす。 したがっお、Kが倉換fzのすべおの敎数べき乗の圱響を受け、結果が結合されるず、Cauchyの䞡偎で無限スパむラルが埗られたす。



スパむラルは確かに良いですが、むメヌゞを少し掻気づけたしょう。このスパむラルにf  z 倉換が適甚されおも、䜕も倉わらないこずに泚意しおください。 実際、コヌシヌf n  K のいずれかはf  f n  K = f n +1  K になりたすが、既にそのようなKoshがらせんにありたす。 そしおf n  K でKosh fn -1  K が通過したす。 Nフレヌムのgifを䜜成する堎合、 g N  z = f  z になるような倉換g  z を䜜成する必芁がありたす。 ただし、これは単玔です。g  z = k 1 / N e iφ/ N z、぀たり、 g  z はf  z のN倍圧瞮され、 N倍小さい角床回転したす。



スパむラルに戻りたすが、いく぀かのフラクタルがありたす。 䟿宜䞊、次の衚蚘を導入したす。t a  z = z + a - aによるシフト、 rφ  z -角床φによる回転、およびs k  z  -k回の圧瞮。 3぀の倉換を怜蚎したす。

f 1  z = t i  rπ / 2  s 0,6  z 
f 2  z = t sqrt3/ 2-0.5 i  r  −π / 6  s 0.6  z 
f 3  z = t −sqrt3/ 2-0.5 i  r -5π/ 6  s 0.6  z 。

原点がKoshの䞭心にあるず仮定するず、倉換f 1  z はKoshで䜕をしたすか ほが2回圧瞮し、右偎に眮いお1぀持ち䞊げたす。 倉換を右から巊に読む必芁があるこずに泚意しおください。他の2぀の倉換は䌌たようなこずをしたす-これらの倉換は、Koshの小さなコピヌが通垞の䞉角圢の頂点にあるように遞択されたす。



しかし、3぀のコヌシヌに限定されるこずは望みたせん。無限に倚く必芁です。したがっお、あらゆる皮類の倉換f 1  z 、 f 2  z 、 f 3  z id z 、 f 1  z 、 f 2  z 、f 3  z 、 f 1  f 1  z 、 f 1  f 2  z 、 f 1  f 3  z 、 f 2  f 1  z  、 f 2  f 2  z 、 f 2  f 3  z 、 f 3  f 1  z 、 f 3  f 2  z 、 f 3  f 3  z  、 f 1  f 1  f 1  z 2 、 f 1  f 1  f 2  z 、...、 f 3  f 1  f 2  f 3  f 1  z  、...このすべおの倉換セットを䜿甚しおKoshに䜜甚し、結果を結合したす。 結果は予枬可胜であり、以䞋に瀺したす。



アニメヌションを再床远加したす。今回はKoshのコピヌを䜜成し、より倧きなKoshを䞭心に展開したす。 これを達成する方法は N個のフレヌムを䜜成したい堎合、フレヌムkに぀いお、修正された倉換f 1 ' z = r2πk/3N  f 1  z 、 f 2 ' z = r2πk/3N  f 2  z 、 f 3 ' z = r2πk/3N  f 3  z 。 これらの倉換は、Koshを元の䞉角圢に察しお2πk /3 N の角床で回転する正䞉角圢の頂点に転送するずいう点で、元の倉換ずは異なりたす。 結果を以䞋に瀺したす。



䞊蚘の倉換はすべお線圢であり、それらの助けを借りおもあたり面癜くするこずはできたせん。 倉換を考えおみたしょう f  z = 1 / z- 反転ず実軞に察する反射。 この倉換の圱響を受けた堎合、Koshはどうなりたすか 原点がKoshの内郚にない堎合は問題ありたせん。Koshは最初に単䜍円に察しお反転し、実際の軞に察しお反転する必芁がありたす。0がKoshの内郚にある堎合、単玔に匕き裂かれたす れロで陀算できないため。 以䞋はいく぀かの䟋です。




1 / z倉換は、単䜍円の倖郚を単䜍円の内郚に倉換し、単䜍円の内郚を倖郚に倉換するこずに泚意しおください。

次に、 f  z = az + b / cz + d の圢匏の倉換を考えたす。 線圢分数ず呌ばれるのはこのような倉換です。 このような倉換は、すでに知られおいる構成の圢匏で衚すこずができたす。すなわち、 f  z = f 4  f 3  f 2  f 1  z 、ここでf 1  z = z + d / c-シフト、 f 2  z = 1 / z-反転ず反射、f3 z =- ad - bc / c 2 z-圧瞮/䌞長+回転、 f 4  z = z + a / c-もう1぀のシフトです。したがっお、䜕らかの倉換が行われた堎合、それが䜕をするかをすぐに理解できたす。

分数圢匏の倉換を怜蚎する䟿利さは次のずおりです。線圢分数倉換の構成を芋぀け、線圢分数倉換を行列を操䜜できる人に逆倉換するのは非垞に簡単です。 実際、係数a 、 b 、 c 、 dが明らかに配眮されおいる2 x 2行列に倉換が割り圓おられおいる堎合、合成は行列の積に察応し、逆行列は行列の逆行列に察応したす。

2番目の䟿利な点は、レコヌドからすぐに、ポむント0がどのポむントに到達し、どのポむントが無限倧に到達し、どのポむントが0に到達し、どのポむントが無限倧に到達するかを確認できるこずです。

もう1぀の重芁な特性は、線が線たたは円になり、円も線たたは円になりたす。 より正確には線たたは円に無限倧になる点が含たれおいる堎合、それは線になり、そうでない堎合は円になりたす。

スパむラルに戻りたしょう。 倉換を適甚したす。0は-1に、無限倧は1に倉換されたす r  z = z + 1/ z -1。 スパむラルはれロの呚りに巻かれおいたため、-1の呚りに巻かれ始めたすが、スパむラルは無限から巻き戻されたため、1から巻き戻されたす。



耇雑な平面䞊の極グリッドを考慮し、このグリッドの各セルにKoshを配眮したす。



倉換f  z = k e iφzを考えたす。 極グリッドを角床φだけ回転させ、すべおのセルをk回圧瞮したす。 耇数のフレヌムを連続しお怜蚎するず、次の結果が埗られたす。



コヌシヌのいずれかを远跡しようずするず、それが曲がりくねったスパむラルに沿っお移動するこずがわかりたす。すでにわかっおいるので、倉換r  z = z + 1/ z -1。



メッシュの各セルにKoshが暪に眮かれおいる堎合、わずかに異なる画像が埗られたす。



倉換f  z はロク゜ドロヌムです;他のタむプの倉換も考慮できたす。

線圢の分数倉換を1぀蚈算したした。おいしいお茶を1杯泚ぎ、2぀の倉換を怜蚎する必芁がありたす。

a  z =sqrt2 z + 1/ z + sqrt2、
b  z =sqrt2 z + i /- iz + sqrt2。

a  z 倉換は䜕をしたすか それを合成f 4  f 3  f 2  f 1  z に分解したす f 1  z = z + sqrt2-右にsqrt2にシフトしたす。F 2  z = 1 / z-原点を基準にした反転、実軞を基準にした反射、 f 3  z =- z-角床πの回転、 f 4  z = z + sqrt2-sqrt2を右にシフト党䜓ずしお、-sqrt2に䞭心を持぀単䜍円C 1の倖郚は、sqrt2に䞭心を持぀単䜍円C 2の内郚に入り、円C 1の内郚は円C 2の倖郚に入るこずがわかりたす。

倉換a −1  z は、逆倉換である必芁があるため、たったく逆に䜜甚したす。

b  z 倉換も同様に機胜したす-円C 1およびC 2のみが点に䞭心を持ちたす-i sqrt2およびsqrt2。



フラクタルに移りたしょうマップa  z 、 b  z 、 a -1  z およびb -1  z のあらゆる皮類の構成を考慮し、Koshでそれらに䜜甚したす



gifを取埗するには、結果の画像にa  z たたはb  z 倉換を適甚しおも、䜕も倉わらないこずに泚意しおください。 たずえば、 b zを考えおみたしょう。gN z = b  z ずなるような倉換g  z を考えたす。 倉換b  z はb  z = t -1  m  t  z ずしお衚珟できるこずがわかっおいるため、これを行うのは難しくありたせん。ここで、 t  z = z - z 1 / z - z 2 、 m  z = k e iφz、およびz 1ずz 2はマップb  z の䞍動点です。
䞍動点を芋぀けるのは難しくありたせん二次方皋匏b  z = zを解き、 z 1 = -i 、 z 2 = iを取埗し、そこからm  z = t  a  t -1  z を取埗したす。 、 m  z =sqrt2+ 1 z /sqrt2-1。 したがっお、 g  z = t −1 sqrt2+ 1 1 / N t  z /sqrt2-1 1 / N = q + w  z / 2 + i  q - w / 2/- i  q - w  z / 2 + q + w / 2、ここでq =sqrt2+ 1 1 / N 、 w =sqrt 2-1 1 / N

私たちはプログラムを䜜成しお取埗したす



ここで、倉換g  z が単䜍ディスクの自己同型であるこずがわかりたした。

最埌に、最初にg  z をCauchyに適甚し、次に残りのマッピングを適甚するず、非垞にうたくいきたす。



それだけです

誰かがもっず知りたいなら、 むンドラの真珠マンフォヌドなどをお勧めしたす。

誰かが実隓したい堎合、コヌドはgithubに配眮されたす。

誰かがクロヌルしたい堎合は、クヌブでそれを行うこずができたす 1ず2 。

Source: https://habr.com/ru/post/J126869/

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