自然数の新しい不変量。 定理と証明

Habréの以前に、数の不変量に​​関する著者の研究が公開されました（ こちら ）。 さらに以前の[1]では、数値のビット深度に弱く依存する、または依存しないプロパティを確立するために、自然な一連の数値と単一の数値をモデル化する元の概念に関する情報が提供されました。 以前は、著者が彼の作品で使用している規定の真実性を証明する定理は提示されていませんでした。 作品に対するコメントの分析は、読者がそのような作品や声明にどれほど信じられないほど関連しているかを示しました。

このような推定に対する不信の限界は「でたらめです。 注意：疑似科学的なナンセンス。 空から空への輸血…”へ”はい、もしそうなら私にとっては確かに興味深いように思えます...。 これらは、作品に対する彼らの認識、それについての意見を表明した読者のごく少数の意見です。 作品にご注目いただきありがとうございます。 ちなみに、これらの意見と評価は、無関心なままではない他の多くの読者によって承認されました。 彼らはあなたの注意にも感謝します。 だから、これは私にf-不変量とその証明に関する定理を与えることを促しました。

f-不変量（計算された指数を持つ数値の新しい特性）に関するステートメントの真実の上記の証明が可能であり、読者の意見をわずかに修正し、彼らのおそらく早急な初期推定の正確性について疑問を提起することを本当に望んでいます。 特定の作品に多大な時間と労力を費やした各著者は、作品を時間の経過とともにほぼ自明であると認識します。作品を短くす​​るように努力しながらプレゼンテーションを行うと、多くの「デフォルト」の詳細が含まれ、他の人が理解できないようになります。

アプローチとその新規性について

このテーマおよび公開されている他の作品のテーマは、セキュリティ、特に暗号化保護が使用されるすべてのレベルでの情報セキュリティに直接関連しています。 出版物が初等数学のレベルで数学的な関係を引用しているという事実は、問題をそれほど複雑にしたり、よりアクセスしやすくしたりするものではありません。 著者は、より多くのHabrovsk読者がプレゼンテーションを利用できるようにし、明確にすることを目指しているだけです。 私の仕事は、他の多くの問題と密接に関連している特定の重要なセキュリティ問題（ ここ ）を解決するためのまったく新しいアプローチに関するものです。 著者は、現在世界レベルで発展している因数分解の分野の方向性は行き止まりであると考えており、実践（真実の基準）はこれを裏付けています。

因数分解問題、自然数系列（NRF）、全体としての数体系での新しい見方が必要です。 NRFの理論と個別の合成奇数自然数（SNP）が必要です。これらのオブジェクトのモデルは、現代の慣行の要件と要件を考慮する必要があります。 今日、このようなものをコピーする場所はありません。 著者は、その能力と能力を最大限に活用して、他者の注意からこれまでのところ隠されているものを独自に作成し、一連の出版物で彼が発見したことを一般の人々と共有しています。 この現象の理由は非常に多様であり、今ここでそれらを議論する時ではありません。

私自身はプログラマーではないので、プログラマーの中から仲間を見つけたいと思っています。 著者の記事では、新しい結果とアプローチに関する資料が少量で配布されています。 この新しい有望な方向性が興味深いと思う人のために、Habréでの私の仕事の内容に精通する機会があります。 定義の新しい概念には、（左および右）奇数のクラス、等高線、限界等高線、半等高線、LDP間隔、それらの長さ、番号付け、境界、数値のf不変量、複合奇数の間隔および番号付けモデル[3、 4]、これらのオブジェクトの特性を計算するための式。 これらの新しい概念と表記法の導入は、自然数に関して定式化された新しい範囲の問題の解決策を提供します。その主なものは、数値の因数分解です。

今日、自然数または整数に関する一見単純な質問には、答えを見つける場所がありません。 質問の例には次のものがあります。
Nを最初に因数分解せずに、SNPS Nを法とする有限数値剰余環の自明でない畳み込みおよびべき等性を決定する方法は？ 要素の合計列挙なしで、そのようなリングでモジュロ比較の根を見つける方法は？ Nを因数分解せずに単一の正方形によって値が生成される二次剰余の四重項を見つける方法 著者はこれらの質問や他の質問に対する回答を個別に見つけなければなりません。 私は、興味のある読者から、定式化された質問の内容やその他の可能性についてのフィードバックを待っています。 質問の本質を明らかにするには他の初等数学が必要ですが、今のところ、ここで触れることは明らかに時期尚早です。

アプローチの根拠

スナップショットNの間隔の極端な等高線の番号の表記を導入します。小さい番号s-開始、大きい番号f-終了。 明らかに、左（N _l interval3（mod4））の奇数を表すマルチループ間隔の左境界は、より小さいs-thループの左境界（s）=（2s-1） ²と一致し、このマルチループ間隔の右境界は右多数のfを持つ輪郭の左半円の境界、つまり R _n （f）=（2f） ² 。

右（N≡1（mod4））の奇数Nを表すマルチループ間隔の左境界は、小さい方のs番目の回路 （s）=（2s） ²の右半円の左境界と一致し、Nの間隔の右境界は番号fの大きい輪郭の右境界、つまり R _n （f）=（2f + 1） ² 。 受け入れられる指定はややかさばりますが、意味的に正当化され、理解と記憶に便利です。

自然な奇数の合成数Nの番号付けモデルの以前の作業（ ここ ）で、つまり 制限回路の半円では、輪郭の長さからk _d / 2 +Σt _i k _iの形式の数値に切り替えて、数値の合計を取得します。ここで、t = m-1、i = 1（1）tです。

定理1 （複合奇数の不変量。単一間隔）。 長さNが数値軸の連続した輪郭で構成され、間隔の境界が自然数の2乗であるLFDの任意の間隔は、合計k _d / 2 +Σt _i k _i = k _p （N）/ 2に対応します。ここで、t = m- 1、i = 1（1）t、等高線の間隔を形成する数、およびNの制限等高線（f不変式）の数の半分に等しいk _d / 2を補う半等高線の数の半分

証明：自然な奇数の右N _pと左N _lの合成数に対して別々に実行します。 証明の考え方は次のとおりです。 一方では、数Nは、最も一般的な形式の平方差（区間の境界点）として表されることが示されています。 一方、等高線と半回路の数の合計が計算されます。これは、合成数N = N _pまたはN = N _lの限界等高線の数の半分に等しくすることにより、その後の境界の変換も数Nに等しい合計の極値要素の境界点の差を減らします。

正しい数N = N _pから始めます。 番号付けモデルの合計の奇数の合成数のモデルで以前に導入された極端な輪郭の数を表記法sとfに置き換えます。 [2、p。160]にあるNRFセグメントの要素の合計の式を使用します。
s / 2 +（s + 1）+（s + 2）+ ... + f => 1/2（f + s +1）（fs-1 + 1）+ s / 2 => 1/2（ f ² + sf + f -sf -s ² -s）+ s / 2 = 1/2（f ² + fs ² ）。
最終式を、学習した数N _pの区間の境界の差に対応する形式、つまり（2f + 1） ^2- （2s） ^2に変換します。 これは、見つかった式を数N _pの制限輪郭の数の半分、つまりk _p （N）/ 2 =（N _p -1）/ 8 = 1/2（f ² + fs ² ）と同等にすることで実現されます。
等式の中央および右側は、間隔の数を表す境界の差の形式に変換されます
N _p = 4f ² + 4f + 1-4s ² =（2f +1） ^2- （2s） ² 。
これで、ケースN = Nnの証明が完了しました。

ここで、N = N _Lの場合の証明を実行します_。 以前のように、番号付けモデルの合計の極端な輪郭の数を表記法sとfに置き換えます。 この場合、次のものがあります。
s +（s + 1）+（s + 2）+ ... +（f-1）+ f / 2 => 1/2（f-1 + s）（fs）+ f / 2 => 1/2 （f ² + sf-f-sf-s ² + s）+ f / 2 = 1/2（f ² -s ² + s）
最終式の変換を実行し、調査した数N = N _lの境界の差の形式、つまり（2f） ^2- （2s-1） ²の形式に変換します。 これは、見つかった式を、数値N _lの極限輪郭の数の半分、つまりk _p （N）/ 2 =（N _l + 1）/ 8 = 1/2（f ² + s-s ² ）と同等にすることで実現されます。
等式の中央および右側は、間隔の数を表す境界の差の形式に変換されます
N _l = 4f 2-4s-1-4s ² =（2f） ^2- （2s-1） ² 。
これでケースN = Nの証明が完了し、定理が完全に証明されました。

証明の基礎は、マルチサーキット間隔の境界の計算であり、任意の間隔でのそのような境界の差は、長さがNに等しい間隔で同じ結果になることを示しています。定理を証明する別の方法は、数k _p （N）/ 2 （k _ij +1 = k _{i（j + 1）} ）の形式でパーティションの各部分に制限されている部分m _iの数。 このアプローチでは、分割数の役割は、数値Nのf不変量k _p （N）/ 2によって果たされます。実際、分割N自体はいくつかの方法で部分（輪郭）に分割できますが、分割の部分は課せられた要件（値の制限）を満たします。

定理2 （複合奇数の不変量。多くの間隔）。 一定の長さNと現在の数値i = 1（1）...を持つすべてのマルチコンター間隔は、数値軸の異なる領域にある複合奇数自然数Nを表し、異なるパリティの自然数の正方形を境界として_、項の異なる数m _iの合計に対応します（数k _ijの ）連続して次々と続く輪郭（k _ij +1 = k _{i（j + 1）} ）と、合計の値が一定で数Nのみに依存するような1つの極端な半輪郭
k _di / 2 +Σt _j k _ij = k _p （N）/ 2、ここでt = m _i -1、j = 1（1）t、i = 1（1）...
定理1を使用して、そのような合計を直接構成することにより、証明が実行されます。

定理は、いくつかの事実に関する記述を定式化します。
-まず、SNCH Nには、（i> 1）NRFのさまざまな部分のSNL N間隔を表す1つ以上があります。
-第二に、これらの間隔のそれぞれは、回路の連続シーケンス（番号k _ij ）に対応し、その数の合計と半_回路番号k _di / 2は、異なる数m _iと他の間隔の合計からの項の構成を含みます;
-第三に、すべての区間の境界は、異なるパリティの自然数の異なる平方のペアです。
-4番目に、間隔を表すすべての長さは同じで、Nに等しく、対応する回路番号の合計も一定であり、LFの間隔の位置ではなく、数Nのf不変量の値によってのみ決定されます。
-5番目に、異なる量のすべての項（極端な半ループ数を除く）はNRFセグメントを表し、小さな項から次の大きな項へと単調に増加します（k _ij +1 = k _{i（j + 1）} ）。

言い換えると、輪郭の数とSNCH Nの追加の半回路の数の合計の値は、項の数、つまりLFDの間隔の位置に対して不変です。 間隔の境界の値、合計の項の値。

例1 SNCH N = N _l = 231の場合、右側の極端な半回路。 数値231は、制限輪郭の数k _p （N = 231）= 58に対応します。sncのf不変量はk _p （N）/ 2 = 29です。 制限ループ数の半分。 f不変量の部分の制限に従って、29番のパーティションを形成する必要があります。
最初に、等高線数の合計によってsn関数のsn不変量Nの表現を書き出します。 そのような量は3つあります。
29 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8/2;
29 = 7 + 8 + 9 + 10/2;
29 = 19 + 20/2。
次々と続く輪郭の数と、大きな数の輪郭の左半円に対応する極値輪郭の数の半分が合計されるため、表現される数Nは、互いに隣接する輪郭と半円の長さの合計として簡単に決定されます：
-最初のパーティションの場合、N = 8•3 + 8•4 + 8•5 + 8•6 + 8•7 + 8•8/2 -1 = 24 +32 +40 +48 +56 +32 -1 = 231;
-2番目のパーティションの場合、N = 8•7 + 8•8 + 8•9 + 8•10/2-1 = 56 + 64 + 72 + 40-1 = 231;
-3番目のパーティションの場合、N = 8•19 + 8•20/2-1 = 152 + 80-1 = 231。
このような計算は、数値231がLFDで2つのマルチ輪郭間隔によって表現可能であり、3番目の間隔が1つの完全な輪郭と、右側に隣接する制限輪郭の1つの半分の輪郭で構成されることを示しています。 各区間の長さは、その境界の差（i）-（i）に等しく、すなわち、数Nは3の差（i = 1（1）3）の異なる正方形のペア（区間の境界）で表されます。

さらに、等高線と半回路の境界が完全な正方形であり、等高線と半回路の境界の式を使用して、各代表区間の境界要素の値を決定します。
最初の間隔では、29 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8/2になります。 G _p1 （8/2）=（2•8） ² = 256; ₁ （3）=（2•3-1） ² = 25; および （i = 1） _- （i = 1）=（16） ^2- （5） ² = 256-25 = 231 =（16 + 5）（16-5）= 21•11 = 231

2番目の間隔では、29 = 7 + 8 + 9 + 10/2です。 G _n2 （10/2）=（2•10） ² = 400; ₂ （7）=（2• _7-1 ） ² = 169; および （i = 2） _- （i = 2）=（20） ^2- （13） ² = 400-169 = 231 =（20 + 13）（20-13）= 33•7 = 231

3番目の間隔では、29 = 19 + 20/2です。 G _p3 （20/2）=（2•20） ² = 1600; ₃ （19）=（2• _19-1 ） ² = 1369; （i = 3） _- （i = 3）=（40） ^2- （37） ² = 1600-1369 = 231 =（40 + 37）（40-37）= 77•3 = 231 。
1つのsnc Nの3つの区間のそれぞれに境界（正方形のペア）があるため、Nの異なる因数分解を簡単に取得できます。

ボーダーのあるもう1つの間隔があります-正方形、その間に複合奇数N = 231があります。そのボーダー-番号231の限界輪郭の境界は非常に単純です：左₄ （k = 58）=（（ _231-1 ）/ 2） ² =（115） ² = 13225、右₄ （k = 58）=（（231 + 1）/ 2） ² =（116） ² = 13456、制限回路の半回路間隔の長さは
N = ₄ （k = 58） _-4 （k = 58）=（（231 + 1）/ 2） ² -（（231-1）/ 2） ² =（116） ^2- （115） ² = 13456-13225 = 231。

おわりに

考慮される材料は、NRFおよびSNCH Nをモデル化するための既存の従来のアプローチとは異なる新規性です。 数値の例は、オプションの列挙を排除する機能を備えたアルゴリズムに簡単に変換できるフローチャートを示しています。 質問を閉じて（プログラムを作成して）必要なのは、特別なパーティション（または）f不変量の唯一の特別なパーティションを取得することだけです。 この問題を解決する方法が提案されています（ ここ ）。

文学
[1] Vaulin A.E.、Pilkevich S.V. 「自然数列の基本構造」-インテリジェントシステム。 第7回国際シンポジウムの議事録。 エド。 K.A. Pupkova。-M .: RUSAKI、2006.-p。384-387
[2] Bronstein I.N.、Semendyaev K.A. VTUZ._Mのエンジニアおよび学生向け数学ハンドブック：GITTL、1954。-608s
[3] Hall M. Combinatorics。 -M。：ミール、1970 .-- 424 p。
[4] Andrews G.パーティション理論。 -M。：Science GRFML、1982年。 -256秒