フリッカーノイズの謎を解決

むかしむかし、ダイオードがまだ真空のとき、J。W.ジョンソンは電子管の電流にフリッカーまたはフリッカーノイズと呼ばれるフリッカー効果を最初に観察しました。 それからちょうど90年が経過し、半導体デバイスから河川流出、物理学から社会学まで、さまざまなシステムでフリッカーノイズが検出され続けていますが、その起源の性質を説明することはできませんでした。

ソビエト映画でさえ、フリッカーノイズに関するものです。

物理学者は、この現象の性質を説明しようとして、プロセスの物理学で自然にそれを探しますが、フリッカーノイズを異常と呼びます。 私たちが大学院で「科学の歴史と哲学」のコースで教えていることを思い出してください：異常（フリッカーノイズ）は、科学パラダイムが既存の事実を説明できないという根本的な不能の結果です。

この場合の理論はスペクトル法です。 これらの方法に対処してみましょう、多分何かが間違っていますか？

定義上、フリッカーノイズは、パワースペクトル密度（または単にパワースペクトル）が次の式で表される信号です。

ここで、Kは次元定数、γは無次元定数であり、ほとんどの場合、1に近い値です （記事では、γ= 1のフリッカーノイズのみを考慮します）。

フリッカーノイズのパワースペクトルを見て、その中の何かを見てみましょう。

1 Hzから無限大までの周波数帯域のパワーは、0から1 Hzまでのパワーに等しいことがわかります。 これら2つの周波数帯域の何が特別で、同じパワーを持っていますか？ 2つのバンドは、それらの境界が相互の逆数であるという事実によって接続されています。つまり、0は1 /無限、1は1/1です。 そして、周波数の逆数は何ですか？ これが期間です。

スペクトル分析で周波数にパワースペクトル密度のみが使用されるのはなぜかと思いますが、周期ごとにパワースペクトル密度を見つけようとする必要があるかもしれません。 この時点で、誰もが言います-「ある期間から見つける必要があるのに、これから何も変わらない」 写真を見てください。

図は、同じ周波数帯域が異なる周波数帯域に対応することを示しています。 これは、その期間のパワースペクトルが完全に異なる形状であることを意味します。 周波数と周期のスペクトルパワー密度の関係を見つけます。 電力の基本的な増加は次と等しくなります。

ここで、S _f （f）は周波数スペクトルパワー密度（f-PSD）、S _T （f）は周期スペクトルパワー密度（T-PSD）、Tは周期です。
式（2）の右側のマイナス記号は、周波数の正の増分が期間の負の増分に対応することを意味します。
式（2）から以下を取得します。

フリッカーノイズはどのようになりますか？ 再び同じ：

フリッカーノイズは、周波数と周期の両方でパワースペクトルが同じに見える唯一の信号です。 たとえば、ホワイトノイズを使用する場合、そのT-PSDは期間全体にわたって均一ではありません。

これはブラウンノイズであり、そのT-PSDとf-PSDはそれぞれ次の式で決定されます。

ブラウンノイズが高調波の合計として表される場合、フーリエ級数ではなく、周期全体で均一なステップを持つ級数を使用する方が便利です。

ここで、A _nはn次高調波の振幅、T ₁は基本高調波の周期、φnはn次高調波の位相です。
高調波の合計を使用してアニメーションを作成することもできます。

長期間にわたってパワースペクトル密度を試すことができますが、先に進みます。
式（4）に基づいて、周波数と周期が等しく均一であり、ゼロに等しい信号のみが存在する可能性があります。 均一なスペクトルを持つ信号と見なされるノイズは何ですか？ 均一なスペクトルを持ち、周波数や周期のステップに縛られない信号を想像してみましょう。

プラントが固定周波数と固定電力の正弦波電圧発生器を生産すると想像してください。 生成されたすべてのジェネレーターは、生成された信号のパワーに関して絶対的な再現性があり、このパワーはP _0に等しくなり_ます 。 ただし、周波数の再現性は完全にありません。各ジェネレーターの周波数は、ゼロから無限大までの任意の値に等しくすることができます（少なくともpHz、少なくともTHz）。 ここで、非常に多数のこのようなジェネレーターを取得し、それらの出力から加算器に信号を適用します。

明らかに、加算器の出力の信号は均一なスペクトルを持たなければなりません。 彼のパワースペクトルはどうなりますか？
スペクトル分析の基本に精通している人なら誰でもすぐに答えを出すでしょう-「これはホワイトノイズです。定義により、それは均一なスペクトルを持つ信号です」。 見てみましょう。

まず、何らかの方法で各発電機の電力をその周波数に接続する必要があります。 この時点で、「周波数に依存しない場合に接続するものは何ですか？」という疑問が生じる場合があります。その後、反論的な質問は-期間にも依存しませんか？ そのようなリンクとして、正弦波の1周期のエネルギーを使用できます。

発電機の電力は次と等しくなります。

ここで、ジェネレーターのパワーの周波数依存性を示す関数を見つけます。

周波数帯域ごとの電力dfは次のようになります。

式（2）および（14）を見ると、次のことがわかります。

驚くべきことに、今式（12）からパワースペクトルを見つけます。

加算器の出力の信号はフリッカーノイズです。 このノイズの色はピンクです（私にとっては、白です）。

そして今、90年前の質問への答え：
フリッカーノイズの発生メカニズムは非常に簡単です。オブジェクトがP _0のパワーで任意の周波数の高調波信号を放出する場合、そのようなオブジェクトの多くはフリッカーノイズスペクトルの信号を放出します。

均一なスペクトルを持つ真の信号は、フリッカーノイズです。 ちらつきノイズが均一に見えるのは、これがどのようなスペクトル座標なのか不思議です。

生成された正弦波の周波数とパワーが異なると仮定すると、式（16）は次のように記述できます。

ここで、P（f）は周波数fの実装パワーです。
均一なスペクトルP（f）= P _0のプロセスの場合、P（f）をある量Φ（Φ-SPM）のスペクトルパワー密度と考えると便利です。

定義により、パワースペクトル密度は、スペクトル座標の次元で除算されたパワー次元を持つ必要があります。 この場合、Φ-PSDにはパワーの次元があるため、そのスペクトル座標Φは無次元でなければなりません。 したがって、Φ-PSDは、スペクトルパワー密度と発電機パワーの周波数依存性の両方になります。 周波数帯域dfの電力は、帯域dΦの電力と等しくなければなりません。

式（17）、（18）、および（19）から、以下を取得します。

Φは次の式で決定されます。

次元量の対数を除外するには、次のようにします。

ここで、f ₀は1 Hzに等しい周波数です。
その後：

物理学者の対数次元の次元が致命的なエラーを引き起こすという事実のために、私は完全に無意味な定数f ₀を導入しなければなり_ませんでした。
そして今、フリッカーノイズは同じ振幅の高調波の合計として想像できます。

ここで、A _nはn次高調波の振幅、Φ1は基本高調波のΦ、φnはn次高調波の位相です。

アニメーションを作成しましょう：

同じ初期段階でアニメーションを行うこともできます。

式（4）、（17）、（18）を組み合わせると、美しい表現が得られます。

量子力学について少し説明します。

スペクトルパワー密度に加えて、スペクトルエネルギー密度（SPE）もあります。 それらの違いは、SPEは有限エネルギーのプロセスに使用され、SPMは無限エネルギーのプロセスに使用されることです。 SPEは、単位周波数帯域あたりのエネルギーを特徴付けます。 そして、有限のエネルギーを持つプロセスに対して同じことをすることを妨げるものは何ですか？ 異なるスペクトル座標のFETは、同様の式で関連付けられます。

ここで、W _f （f）は周波数のスペクトルエネルギー密度（f-SPE）、 _W （）はΦのスペクトルエネルギー密度（Φ-SPE）、W _T （T）は周期のスペクトルエネルギー密度（T-SPE）です。 ）

式（26）の左側は何も思い出させませんか？ この式は、量子エネルギーの式に簡単に変換できます。

上記のジェネレーターが任意の周波数と任意のパワーの信号を生成しますが、これらの信号のエネルギーは有限であると想像してみましょう。 自然界では、このようなジェネレーターは、控えめに言っても非常に一般的です-それらは電子であり、生成する信号はエネルギー量子です。

特定の周波数でのΦ-SPEはエネルギーに等しい：

プランク定数に等しいf-SPEを使用すると、式（29）は量子エネルギーの式（28）に変換されます。
Planck定数は周波数に依存しないため、均一なf-SPEプロセスと見なすことができ、その各実装は、任意の周波数を持つ1つのエネルギー量子の電子の放出に対応します。
電磁波のf-SPEをプランク定数で割ると、波数の数の周波数依存性が得られます。 など...

結論：フリッカーノイズは、スペクトルがフーリエ変換によって歪んだ均一なスペクトルを持つ信号です。

私はこの記事に対する批判を喜んでいるでしょう。

付録A

プロセスが関数P（f）およびET（f）で表される場合：

そのようなプロセスのパワースペクトルは、周波数のP（f）の導関数として見つけることができます。

基本増分は、次の式によって決定されます。

この場合、周波数の周期（次元J / Hz）に対するエネルギーの依存性の導関数に等しい関数が表示されます。
次のET（f）を使用したプロセスを検討してください。

γ= 1の場合、検討中のプロセスは均一な連続スペクトルを持ちます（式（A.1）に従って）。
式（A.3）によって、式（A.5）に対応するプロセスのパワースペクトルを定義します。

注：

式（1）を取得します。

γが1に近いほど、スペクトルはより均一になりますが、Kは減少します。 γ= 1の限界では、K = 0のフリッカーノイズのパワースペクトルが取得されます。
期間にわたるパワースペクトルについて、同様の結果が得られます。
γ= 0の場合、パワースペクトルはホワイトノイズに対応します。 式（A.5）および（A.1）から、γ= 0（ホワイトノイズ）のプロセスには均一なスペクトルがないことがわかります。

付録B

ゼロになる傾向がある均一なピッチの周波数グリッドを考えてみましょう。 周波数ステップはゼロになる傾向があるため、このような周波数のグリッドにはすべての可能な周波数が含まれ、それらはポイントn * dfで決定されます。


また、ゼロになる傾向がある均一なステップを持つ周期のグリッドも考慮します。 周期ステップはゼロになる傾向があるため、そのような周期のグリッドにはすべての可能な周期が含まれ、それらは点n * dTで定義されます。


周波数グリッドと周期のグリッドを比較すると、周波数の比較が不可能な期間があることがわかります（n * dfから（n + 1）* dfの間隔にある）、またはその逆です。


頻度を期間と一致させることができない場合、および期間を頻度と一致させることができない場合、それらは存在しないため、対応するグリッドから削除する必要があります。 つまり、各グリッドには追加の周波数と周期が含まれます。 周期と周波数を比較することが不可能なすべての周波数と周期を削除すると、不均一な周期ステップに等しい新しい不均一な周波数ステップが得られます。 そのようなステップは、周波数の対数に沿った均一なステップに対応し、絶対値は周期の対数に沿った均一なステップに等しい。 周波数対数が均一なスペクトルを持つプロセスは、フリッカーノイズです。

付録B

デルタ関数のスペクトルは均一であることが知られています。 周波数と周期によってパワースペクトル密度を決定します。

複素数形式のフーリエ級数の係数は、式によって決定されます。

ここで、ω1は基本周波数です。
s（t）がデルタ関数の場合、kに関係なくすべての係数Ckは同じ値を取り、基本周波数の値は任意です。

しかし、整数のシーケンスの代わりに他のシーケンスを使用することを妨げるものはありません。 たとえば、整数の逆数である一連の数字を使用する場合：

次に、式（B.1）は次の形式を取ります。

ここで、T1はメイン期間です。
そして、その期間にわたって均一なステップで離散スペクトルが取得されます。 この場合、デルタ関数の場合、係数Ckの値も同じ値を取り、基本周期の値も任意になります。

周波数と周期で連続したパワースペクトルに移動すると、両方のパワースペクトルが引数から独立した関数であることがわかります。これは式（4）と矛盾します。 デルタ関数のパワースペクトルは、その決定方法に依存することがわかります。

一般的に可能な頻度と周期の値を決定してみましょう。 頻度と周期は、次の2つの理由で0から無限大までの任意の値を取ることができます。
1）時間軸は連続的です-周波数はそれぞれ無限に増やすことができ、周期は無限に減らすことができます。
2）時間軸は無限です-周波数はそれぞれ無限に減らすことができ、周期は無限に増やすことができます。

最初に、時間制限付きの定期的に拡張された時間離散デルタ関数のスペクトルを定義します。 次に、サンプリングステップをゼロにし、デルタ関数の繰り返し周期を無限にします。その結果、デルタ関数の連続スペクトルが得られます。

時間領域で周期的な信号には離散スペクトルがあることが知られています。 このような信号のスペクトルは、f0 = 1 /（信号周期）に等しい周波数に整数を掛けることによって得られる周波数のグリッドとして表されます。 デルタ関数の場合、同じ振幅の均一な周波数ステップを持つ高調波のセットを取得します。

時間領域で離散的な信号には周期的なスペクトルがあることが知られています。 周波数の可能な値に制限はありません（スペクトル内の周波数が再構成のためにナイキスト周波数よりも小さくなければならないという条件を除く）。

周期的な離散信号を考慮してください。
a）信号が離散的である場合、特定のポイントでのみ決定されます：tn = n *Δt、ここでnは整数、Δtはサンプリングステップです。
b）信号が周期的である場合、その値はすべて一定期間後に繰り返されます：s（t）= s（t + T）、ここでTは信号の周期です。
c）信号が離散的で周期的である場合、そのすべての値はサンプリングステップs（tn）= s（tn + Td）の倍数の期間後に繰り返されます。ここで、Tdは整数Δtの合計である信号周期です。 これは、小数部Δtからなる周期を持つ信号は、存在しない時間に落ちるため、周期後にその値を繰り返さないという事実によって説明されます。 可能な周波数にはまだ制限があることがわかります。

たとえば、1.5 Hzの周波数の高調波信号が10 Hzのサンプリング周波数でデジタル化される場合、0.5 Hzの周波数の周期信号が取得されます。

したがって、時間離散信号は、サンプリングステップΔtの倍数の周期でのみ周期的であり、そのような信号のスペクトルは周期Tn = n *Δtのみで構成されます（nは整数）。 デルタ関数の場合、同じ振幅の周期にわたって均一なステップを持つ高調波のセットを取得します。

ここで、時間制限された定期的に拡張された時間離散デルタ関数のスペクトルを定義します。 このようなスペクトルは、周波数fnのf0の倍数と周期TnのΔtの倍数のみで構成できます。 周波数fnのいずれかが1 / Tnのいずれとも一致しない場合、これは周波数fnではなく、セット1 / Tnのその他のものです。 したがって、周波数fnがセットTnのどの周期とも一致しない場合、そのような周波数の信号は特定のサンプリングステップで実現できないため、セットfnから削除する必要があります。 周期に関連付けることができないすべての周波数を周波数グリッドから削除すると、周波数が不均一で周期の不均一なステップに等しい新しいステップが得られます。 このような不均一なステップは、周波数の対数に沿った均一なステップです。 周波数対数が均一なスペクトルを持つ信号は、フリッカーノイズです。 サンプリングステップがゼロになる傾向があり、デルタ関数の繰り返し周期が無限になると、フリッカーノイズのスペクトルと一致するデルタ関数の連続スペクトルが得られます。