妥協としての条件

彼らは私に説明しました：「あなたはオレンジを持っていますよね？ 次に、このオレンジを有限個のスライスにカットし、それらをオレンジに戻すと、太陽と同じ大きさになります。 本当ですか？」
「ピース間にスペースはありませんか？」 -いいえ。
-不可能！ それはできません。
-ハ！ ガッチャ！ ここにすべて来て！ これは計り知れない測度に関するトーゴの定理です！
そして、彼らが私を捕まえたように思われるとき、私は彼らに思い出させます：「しかし、あなたはオレンジを言った！ また、オレンジの皮は原子よりも薄い部分にカットすることはできません。」
-しかし、私たちには継続性の条件があります。 無限に切れます！
「いいえ、あなたはオレンジを言ったので、私はあなたが本当のオレンジを意味することを受け入れました。」
だから私はいつも勝ちました。 私が推測した場合、素晴らしい。 彼が推測しなかった場合、彼は常に彼らの単純化で彼らが見落としていた何かを見つけることができました。

リチャード・ファインマン 「もちろん、冗談だよ、ファインマンさん！」

プロローグ

子供の頃から面白い仕事が好きでした。 私はおもしろいことをせずにはできませんでしたが、私は原則としてそれらをよく、そして迅速に解決しました。 たとえば、6年生のときに得た7年生の数学オリンピアードでは、課題がありました。そのような特性を持つ三角形でそのような角度を見つけることです。 当時、幾何学の分野での私の知識は非常に断片的でしたが、まだ何かに十分なものがありました。 考え直すことなく、コンパスと定規を使用してノートブックにこの三角形を作成し、分度器で所望の角度を測定しました。 学生が「ここにいる！」といううれしそうな叫び声で指で「x」という文字を突き刺したときの「find X」というジョークのようなものでした。

もう1つの興味深いケースは、2年目で代数のいくつかのクラスを続けて見逃していたため、最終的にそれらに戻ることにしました。 教科書と要約を注意深く研究した結果、私は講師以上の知識を持っているという確信を思いつきました。 そして、講師は定理の声明をボードに書きますが、定理が一般的に間違っていることにすぐに気付きます。

一般的な代数に精通している場合、特性2のリングのようなものを覚えておく必要があります。知らない人のために：これらは、それ自体に追加された数字がゼロになる数体系です。 このため、ネイティブ整数/有理数/実数で使用される一連のプロパティは満たされていません。 たとえば、2つの数値の2乗とそれらの合計の2乗がわかれば、ab =（（a + b） ² -a ² -b ² ）/ 2の公式では積を求められなくなります。 これは、（a + b） ² = a ² +（ab + ab）+ b ² = a ² + b ² 、および2 = 1 + 1 = 0であるという事実によるものです。

だから、ボードに書かれた定理は明らかにリングの特性が2で間違っているのがわかります。そして、私の観察を講師と共有することを急いでいます。 しかし、講師は恥ずかしくて言葉遣いを修正する代わりに、重度の髄膜炎から回復し、まだ精神調子が完全に回復していない人のように、私を見下します。 数レッスン前に、彼らはこのセクションのすべての定理が2以外の特性を持つ環について証明され、簡潔にするためにそれらの定式化の対応する予約が単に省略されることをグループに同意したことがわかります。

これらのエピソードからどのような結論を導き出すことができますか？ 問題の記述では、多くの場合（おそらく常に）書かれている以上の意味があります。 タスクは、「ゼロから」ではなく、何らかの制約を課して作成されます。 これは、私たちが使用している世界のオブジェクトや概念が定式化に使用されている場合に特に顕著ですが、その下では純粋に数学的な抽象化が隠されています。

構造上の問題では、通常のコンパスではなく数学的なコンパスと定規のペアのみを使用できます。 任意の大きな半径の円を作成できますが、実際のコンパスでは当然許可されません。 ただし、定規のエッジは1つしかないため、平行線を作成して、他の鉛筆の周りに鉛筆を描くことはできません。 輸血作業では、ビーカーの店に運転したり、容量がわかっている以前に隠されたフラスコを使用したりすることはできません。 一方で、それらの水は蒸発せず、こぼれず、温度に応じてその体積を変化させません-一般に、実世界での正確な測定を複雑にする多くの陰湿なことを行いません。

タスクの条件は、著者が言いたかったことと、読者が痛みを感じずに知覚する準備ができていることの間の脆弱な妥協です。 壊れやすいものすべてと同様に、簡単に壊れることがあります。 私は、囚人、チェス盤、コインの問題の 「ソルバー」に触発され、コインを回す、コインを縁に置くなど、トピック外の解決策を提供し始めました。 これがいかに機知に富んでいるかという質問はさておき、これについて考えてみましょう。タスクの文言が完全に厳格だったらどうなるでしょうか？

パルプ

例として、非常に簡潔な記述を伴う1つの単純な問題を考えます。 彼女を選んだのは、かつて彼女が「ソルバー」からも得たからです。 だからここにある：

正確に2層の1x12テープのエッジ1でキューブをラップすることは可能ですか？

• テープを正方形に分割すると可能です。
• オプションとして：テープをスレッドに巻き戻します。
• テープには厚さがあり、2番目の層にはさらに厚さが必要なので、不可能です。
• どのように巻き付けても、ギャップが残るため、不可能です。
• 不可能です。テープの曲げ部分には2層ではなく、1/2のパイがあります。
• これらは私が覚えているオプションです。

さて、形式化を始めましょう。



キューブとは何かから始めましょう。 まず、これは3次元のユークリッド空間E ³の点の集合です。 問題のコンテキストでのキューブの内部はあまり興味がないので、その表面を見てみましょう。 表面は6つの面で構成されていますが、今後はこの重要なステートメントが必要になります。 それらをA ₁ ... A _6で表し、 閉じた面を考慮することを指定します。つまり、 対応するrib骨を含む。 立方体の表面全体をSと呼びます。この場合、 S = A 1∪A 2∪A 3∪A 4∪A 5∪A ₆です。

テープは、2次元のユークリッド空間E ^2のサブセットです。 余分なスペースを作成しないために、上記のスペースE ^3に埋め込むことができます。 方程式とその点の座標に関連する不等式を使用して、ユークリッド空間のサブセットを定義すると便利です。 空間にデカルト座標系を導入し、ポイントの座標をトリプル（x、y、z）で示すことに同意します。 この場合、テープは次の方程式と不等式で指定できます。

0≤x≤1
0≤y≤12
z = 0

テープを文字Lと呼びます。キューブはどうですか。 リボンを非常に正確に定義したので、キューブとその面を同じ精度で決定するのがいいでしょう。 さて、次のシステムで面が記述されているユニットキューブとします。

A ₁ = {P（x、y、z）∈E ³ | 0≤x≤1、0≤y≤1、z = 0}
A ₂ = {P（x、y、z）∈E ³ | 0≤x≤1、0≤y≤1、z = 1}
A ₃ = {P（x、y、z）∈E ³ | 0≤x≤1、0≤z≤1、y = 0}
A ₄ = {P（x、y、z）∈E ³ | 0≤x≤1、0≤z≤1、y = 1}
A ₅ = {P（x、y、z）∈E ³ | 0≤y≤1、0≤z≤1、x = 0}
A ₆ = {P（x、y、z）∈E ³ | 0≤y≤1、0≤z≤1、x = 1}

いいね そのような概念を「ラッピング」および「2つ​​のレイヤー」として定義することは残っています。 ラッピングとは何ですか？ 最初はマッピングです。 各ポイントLに特定のポイントSを関連付けます。ただし、そのような定義に限定する場合。 テープが正方形に分割され、各面に2つの正方形が表示されます。 このハッキングを禁止するには、マッピングが同相であることを要求できます。 連続的。 この場合、大まかに言えば、テープの無限に近い点は立方体の無限に近い点に移動します（イプシロンデルタ言語で事前に読者を退屈させたくありません）。 ただし、この要件はあまりにも弱くなります。無限に伸縮可能なゴムバンドについて説明し、そのようなものを手に持つと、何でも何層でもラップできます。 テープの「非ゴム」を反映した要件が必要です。

微分幾何学には、「曲げ」や「内部幾何学」などの弁証法的に相互接続された概念があります。 要するに、曲げとは、その上にあるすべての曲線の長さを保持するような表面の変形であり、内部ジオメトリは曲げ中に変化しない表面特性です。 次の3つの状況ではない場合、それらを使用できます。

1. 微分幾何学は滑らかな多様体を扱い、滑らかでない立方体の上にテープを引っ張ります。
2. このタスクは7年生から8年生の生徒を対象としており、これらのいたずら好きな人々がユークリッド空間について耳を傾け、理論を設定できる場合、彼らは間違いなく「微分幾何学」という言葉をわいせつと認識します。
3. 2つのレイヤーでラップすることについて話しているため、マッピングは単射ではなく、リボンの2つの異なるポイントをキューブ内の同じポイントに表示できます（そして、これは明らかに破壊的な方法で内部ジオメトリに影響します）。

幸いなことに、より単純な概念でうまくいく方法があります。 テープを取り、注意深く調べて、すべてのポイントのペア間の距離を覚えておいてください（良い思い出があればいいのですが）。 同時に、内部ジオメトリのフレームワーク内ではなく、通常E ^3で測定される距離を測定します。 直接の初期状態のテープの場合、これら2つの測定方法では同じ結果が得られます。 今、私たちはテープを疑って、自分自身に尋ねます：どのポイントのペアのためにそれらの間の距離が変化しましたか？

微分幾何学のコースからわかるように（心配しないで、条件を作成する段階でのみ必要になります）、曲げるとき、オイラー曲率は保持されます。 ただし、テープを曲げるのではなく、テープを押しつぶします -テープの表面が滑らかでなくなる「折り目」を形成することができます。 ただし、オイラー曲率が保存されているため、これらの折り目間のテープの滑らかな部分は、完全に予測可能な形状（平坦または円筒形）になります。 通常、キューブには丸い部分がないため、最後のオプションは表示されません。

おそらく問題の声明はこれを明示的に示唆するものではありませんが、少なくとも容赦なく追加の制限を受け入れる必要があります。折り畳みの数は有限でなければなりません。 この場合、テープはこれらの折り目によっていくつかのポリゴンに分割されます。 同じポリゴン内にあるポイントのペア間の距離は、リボンに折り目が付けられても変わりません。 この場合、ベンド上のポイントは特に便利な位置にあります。これらのポイントでは、隣接するすべてのポリゴンからのポイントまでの距離が保存されます。 ただし、いくつかのポイントに他のポイントよりも不当な利点を与えたくないので、両方のタイプのポイントに共通のプロパティを導出してみましょう。

ポリゴン内の各ポイントについて、このポリゴン内に完全にある近傍を選択できます。 境界上の各ポイントについて、完全に内側にあり、隣接するポリゴンの境界にある近傍を選択できます。 このように

各ポイントPのテープLの所定の折り目に対して、近傍Ωを選択して、この近傍からの任意のポイントQに対して、折り目中にPとQの間の距離が変わらないようにすることができます。

このプロパティを折り目の定義として使用します。 ただし、数学者はすでにこのクラスのマッピングの名前を考え出しているため、定式化のボリュームと複雑さを人為的に増やす必要はありません。それらはローカルアイソメトリックと呼ばれます。 ポイントの各ペアの距離を保持する単純なアイソメトリックマッピングとは対照的に、ローカルのアイソメトリックマッピングは、ポイントの一部の近隣の「マイクロスケール」でのみ距離を保持します。

それでは、問題の正確な声明を作成してみましょう。 キューブSとテープLがあります。LのSへのローカルなアイソメトリックマップはありますか？...「2層ラップ」を作成する方法は？ 明らかな答えは、各点SがLに正確に2つの逆イメージを持っている場合です。しかし、「ソルバー」の1つがエッジについて、もう1つが折り畳みについて言及しているため、それはそれほど単純ではありません。 これらは私たちのタスクの問題領域です。そのため、この文言では解決策がないことを示しています。 この事実の厳密な証明は、細心の注意を払った読者に委ねます。ここでは、テープの折り目は何とか処理できますが、エッジは乗り越えられない障害物を作ります-テープのエッジが何度も通過する特別なポイントです。 もちろん、閉じたテープの代わりに開いたテープを使用できます。セットLを定義する不等式のシステムでは、すべての「≤」を「<」に置き換えます。 ただし、この場合、レイヤーの特定のポイントにテープポイントが少なすぎます。 Lに境界点を含めることも、含めないこともできます。 でも、すみません、もう少しゴミになります。

もっと簡単にしましょう。立方体の表面にある少数の点を無視する権利を私たち自身に与えてください。 実際、このアプローチはほとんどの切断作業で暗示されています。 「正方形を4つの部分に切り取り、そこから正三角形を作ることができます」と誰かが言うとき、彼が最後に考えるのは、悲惨な少数の境界点で何が起こるかです。 しかし、なぜこの一握りは悲惨なのでしょうか？ 正方形にはゼロ以外の面積（または、より一般的な用語ではヨルダンの尺度）があり、測定可能な図形の境界点のセットにはゼロに等しい尺度（面積）があります。 数学者は、自分自身がそのような「小さな」集合を無視する権利があると考える場合があります。そのような場合、通常、文言の最後に「メジャー0の集合を除き」という魔法のフレーズを追加します。

このようなフレーズを言うには、Sでメジャーを定義する必要があります。もちろん、空間E ³でジョーダンメジャーがすでに定義されていますが、これは悪いことです-彼女の観点から、セットS全体はゼロメジャーです。正方形ではありません。 そのため、フラットな測定を行い、何らかの方法でそれをキューブの表面に拡張する必要があります。 実際、これを行うのは難しくありません。キューブの各面について、この面にあるセットのその部分をフラットに測定し、それらをすべて追加する必要があります。

まとめ

これで、条件の厳密なステートメントを提供する準備ができました。

デカルト座標系を空間E ^3で与えます。 このスペースで次のセットを検討してください。

A ₁ = {P（x、y、z）∈E ³ | 0≤x≤1、0≤y≤1、z = 0}
A ₂ = {P（x、y、z）∈E ³ | 0≤x≤1、0≤y≤1、z = 1}
A ₃ = {P（x、y、z）∈E ³ | 0≤x≤1、0≤z≤1、y = 0}
A ₄ = {P（x、y、z）∈E ³ | 0≤x≤1、0≤z≤1、y = 1}
A ₅ = {P（x、y、z）∈E ³ | 0≤y≤1、0≤z≤1、x = 0}
A ₆ = {P（x、y、z）∈E ³ | 0≤y≤1、0≤z≤1、x = 1}

S = A 1∪A 2∪A 3∪A 4∪A 5∪A ₆

L = {P（x、y、z）∈E ³ | 0≤x≤1、0≤y≤12、z = 0}

セットSで、メジャーm _Sを次のように定義します。

∀T⊂S m _S （T）= ∑ _{i = 1 ... 6} m ₂ （T⋂A _i ）、ここでm ₂はフラットジョーダン測度です。

局所的に等尺性のマップF：L→Sがあり、m _S （{P∈S|（| {Q∈L | F（Q）= P} |≠2）}）= 0ですか？

もちろん、最後の式は言葉で簡単に表現できます（2つの逆像を持たない立方体の表面上の点の集合は0である）が、この恐ろしい形でそれを書く喜びを否定することはできませんでした。

閉会の挨拶の時が来ました。 古いカントが言ったように：「あなたの意志の最大値が普遍的な法律になるようにそうしてください。」 正直に言って、私は彼がこれで言いたいことを完全には理解していませんでしたが、私は次のように自分のためにそれを再定式化しました。カオスと地獄の闇に突入しました。 したがって、仲間：記事の冒頭で説明したように、いつか誰もが問題を「解決」し始めた場合、ある日はそれほど天気の良い日ではなく、タスクの文言はすべて記事の終わりのようになります。 しないでください。

すべての人、平和、愛、クッキーに平和を。