一連の距離から座標系を決定するための偏差の変換とその使用

はじめに

応用数学は、実際に発生する特定の問題を解決できるツールのセットと考えることができます。 この記事では、そのようなツールの1つであるユークリッド距離行列の分析に適用される偏差変換について検討します。 結果のマトリックスのスペクトルにより、ソースデータの次元を判断し、ソースポイントの座標を自身の座標中心に対して計算できます。

n > 2ポイントがあり、それらの間のすべての距離がわかっているとします。 空間の潜在的な次元はn-1です。 与えられたポイントがどの次元の空間に属しているか、この空間内のポイントの座標を決定する必要があります。
点間の距離に基づいて空間の次元を決定する間接的な方法の1つは、 Cayley-Menger行列式（CM）を計算することです。 ただし、この方法は、大きな次元の空間の分析にはほとんど役に立ちません。

1.偏差の変換

したがって、入力には、トレースがゼロの次元Nの特定の対称行列Mがあります（主対角要素はゼロに等しくなります）。 新しい行列Uへの変換を定義する必要があります。 この場合、元の行列の値は、距離の追加規則に従って新しい行列から計算する必要があります。



次に、行列Mの値は、固有ベクトルの成分の二乗の差の加重和として、スペクトルUで表すことができます。



ここに 行列Uの固有値のセットであり、 -固有値に対応する固有ベクトルの行列。 ベクトルの長さは1に正規化されます。
条件（1.1）を満たす行列Uの一般形式は次の式です。



ここに 任意のベクトルであり、 任意の定数です。 これらの値を決定するには、追加の条件を指定する必要があります。 このような条件は、 ラプラシアンのような行列Uの要件です。 ラプラシアン行列では、主対角線の要素は、対応する列（行）の要素と反対符号の合計に等しくなります。



Mの対称性を考慮して、（1.3）を（1.4）に代入すると、恒等式が得られます。



ここから、ベクトルと定数に必要な式を決定します。




したがって、（1.3）のベクトルは、元の行列の行（列）の平均値のベクトルであり（グラフの観点から、グラフの頂点の平均濃度/次数）、定数は行列全体の平均値（グラフ全体の頂点の平均次数）です：



変換（1.3 '）は、偏差変換と呼ばれます。これは、元のマトリックスの値の平均値からの偏差（偏差）を反映しているためです。 変換の結果は偏差行列と呼ばれます。

2.偏差行列のプロパティ

行列は縮退しています（ゼロ行列式と固有値の1つ）-ラプラシアンの要件の結果です。
主偏差対角線の要素は、元の行列の平均値を反映します。



偏差トレースは元の行列の平均値に関連付けられており、固有値の合計に関して表現できます。



固有値の積は、偏差ポテンシャル 、行列の非ゼロのマイナーに比例します。



偏差は可逆的です。 偏差行列に基づいて、元を復元できます。



偏差変換は抽象的であり、メトリックマトリックスとは特に関係していないことに注意してください。 そのため、 抵抗距離の行列に偏差変換を適用すると、導電率行列からラプラシアンの逆行列を取得できます。 つまり、最終的に、抵抗距離の行列から導電率行列を復元します。

次に、偏差変換のメトリック行列（ユークリッド距離）への適用を検討します。

3.距離偏差、独自の座標系

それで、入り口に、それらの間に与えられた距離で多くのポイントがあるとしましょう。 すべての距離は既知です-任意のペア間-距離グラフは完成です。 ここで直接的な問題を考えます-この空間内の点と座標が属する空間の次元を決定する必要があります。

距離の初期セットは、ポイント間の距離の平方の対称マトリックスとして表すことができます。 この行列をD2として表します。2は正方形を表します。 距離の平方の行列に偏差演算を適用すると、距離Gの偏差の行列が得られます。



このマトリックスとそのスペクトルには、注目すべき特性があります。 すなわち：

• 非ゼロの固有値の数（行列ランク）は、開始点が位置する空間の次元と一致します。
• 固有ベクトルの値は、新しい空間内のポイントの座標です。
• 固有値の対称性は、ポイントの相対位置の対称性を反映しています。

したがって、距離偏差行列のスペクトルは、ポイントの初期セットの独自の座標系を決定します。 各座標の重みは、スペクトルの値（固有値）によって決まります。 新しい座標系の中心は、 重心と呼ばれます。 偏差行列の主な対角線には、重心から頂点までの距離の2乗があります。



そのようなすべての距離の合計（偏差のトレース）は、セットR2の平均半径を決定します。 この半径は、スペクトル値の合計に等しく、式（2.2）に従って元の距離行列の平均値に関連付けられます。



設定重心は、平均設定半径を最小化します。 つまり、他の重心位置では、平均設定半径がより重要になります。 新しいセットの重心は古いセットの重心と一致するため、重心自体を元のポイントのセットに追加してもスペクトルは変わりません。

4.いくつかのセットのスペクトル

3つのピーク（三角形）のスペクトル

そのため、ハンマーが手に現れました。 爪を探しています。
1/2ポイントの場合、偏差行列はあまり意味がありません。 2つの同一でない点は、常に1つの直線、つまり1次元空間に属します。
しかし、3つのポイントにはすでにオプションが表示されます。 最も単純なケースは、正三角形の頂点です。 辺の長さが1の場合、偏差行列 次のようになります。



この行列のトレースは1で、ポテンシャルは（1/3）^ 2-（1/6）^ 2 = 1/9-1/36 = 1/12です。
スペクトルを考慮します（括弧内は、ポイント間の距離の2乗です）：



ここでは、スペクトルの固有値が左側に示され、それらに対応するベクトル（座標）の値が右側に示されています。
次のことがわかります。

• スペクトルには2つの意味があります。 これは理解できます-非縮退三角形は常に2次元空間（平面）に属します。
• 両方の固有値は等しいです。 これは、正三角形の対称性の結果です。

スペクトルの特性を確認しましょう。固有値の合計は1、積は1/2 * 1/2 = 1/4 = 1/12 * 3です。そうです。

ちなみに、3つの頂点のスペクトルは、それらによって形成される三角形の面積に関連していることに注意してください（ヘロンの公式のバリエーション）。



したがって、等辺1三角形の面積の2乗は3/4 * 1/4 = 3/16です。

続けて。 ポイントが1つのラインに属している場合、スペクトルには1つの値のみが含まれている必要があります。
セグメントの3つのポイント（エッジに2つ、中央に1つ）のスペクトル値を計算します 。 取得するもの：



実際、スペクトルには1つの成分しか含まれていません。 予想どおり、重心は行の中央にあります。

今、私たちはトリッキーな質問をします-不可能な三角形はどの空間に属しますか、つまり、三角形の不等式が破られているのですか？


スペクトルに負の値が含まれている場合、これはユークリッド空間ではそのような特性を持つ点の集合を実現できないことを意味します。点の座標は虚数になります。 このスペクトルプロパティを使用して、距離行列の有効性を確認できます。

休息

立ち止まって辺りを見回します。 偏差変換を定義し、距離の平方マトリックスに適用しました。 結果の距離偏差行列は、元のポイントセットの空間プロパティを反映します。

記述された小さな行列のプロパティを数値的に検証するために、スプレッドシートとwolframalphaサービスをインタラクティブに使用して固有値/ベクトルを計算できます。

大きな異論がない場合、次の記事では、幾何学的な点のいくつかの標準セットのスペクトル特性を検討し続けます-ラティス、シェイプ、ライン、そしてシェイプのセットのスペクトルも見てください。

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