内容
- テンソルとは何ですか、なぜ必要ですか？
- ベクトル演算とテンソル演算。 テンソルランク
- 曲線座標
- テンソル博覧会のポイントのダイナミクス
- テンソルのアクションとその他の理論的な質問
- 自由固体の運動学。 角速度の性質
- ソリッドの最終回転。 回転テンソルのプロパティとその計算方法
- Levi-Civitaテンソルの畳み込みについて
- 最終回転のパラメーターによる角速度テンソルの導出。 頭とマキシマを適用
- 角速度ベクトルを取得します。 欠点に取り組む
- 自由な動きでの体のポイントの加速。 ソリッドの角加速度
- 固体運動学におけるロドリゲハミルトンパラメーター
- テンソル式の変換の問題におけるSKA Maxima。 ロドリゲ・ハミルトンのパラメーターにおける角速度と加速度
- 剛体のダイナミクスの非標準的な紹介
- 非自由な固体運動
- 固体の慣性テンソルの特性
- ナットジャニベコバのスケッチ
- ヤニベコフ効果の数学的モデリング
はじめに
今日は、自由剛体の運動学を記述するテンソル関係の構築を完了します。 かなりの数の記事で、理論力学の基本コースの一部を再構築したことがありました。 これらの構造は、ある程度の抽象性にもかかわらず、方法論の観点と力学に適用されるものの観点の両方から有用です。角速度、角加速度。 これは今日の角加速度についてです。
私たちは数学的マトリックスの深みを増しています...
1.自由な動きをする体のポイントの加速。 角加速度がシーンに入ります
剛体の運動学のテンソル記述に関する記事では、結合座標系で自由運動を行う体の点の速度成分は、次の関係によって決定されることがわかりました。
%7D%20%3D%20%20v_%7B%5C%2C{O_1 i}%7D%5E%7B(1)%7D%20%2B%20%5COmega_%7B%5C%2Cij%7D%5E%7B(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)j%7D%20%5Cquad%20(1))
どこで
%7D)
-結合座標系の極速度ベクトルの成分。
%7D)
-角速度テンソル。 括弧内の上付き文字は、このテンソルのコンポーネントがリンクされた座標系で表されることを意味します。
加速を得るために、最初に基本座標系に進みます-その区別ははるかに簡単です。 ただし、ここではベクトルの反変成分について回転変換が指定されているため、まず、（1）のインデックスを上げます
%7D%20%3D%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20v_%7BO_1%5C%2Ci%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%2B%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%5C%5C%0A%26v_%7BM%7D%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cj%7D%20%3D%20v_%7BO_1%7D%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cj%7D%20%2B%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%5Cquad%20(2)%0A%5Cend%7Balign*%7D)
それから、（2）直接回転変換に適用します
%5C%2Cj%7D%20%3D%20B_j%5E%7B%5C%2Ck%7D%20%5C%2C%20v_%7BO_1%7D%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cj%7D%20%2B%20B_j%5E%7B%5C%2Ck%7D%20%5C%2C%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%5C%5C%0A%26v_%7BM%7D%5E%7B%5C%2C(0)%5C%2Ck%7D%20%3D%20v_%7BO_1%7D%5E%7B%5C%2C(0)%5C%2Ck%7D%20%2B%20B_j%5E%7B%5C%2Ck%7D%20%5C%2C%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%5Cquad%20(3)%0A%5Cend%7Balign*%7D)
そして今、（3）時間に関して微分し、身体点の反変加速度成分の表現を取得します。
%5C%2Ck%7D%20%3D%20a_%7BO_1%7D%5E%7B%5C%2C(0)%5C%2Ck%7D%20%2B%20%5Cdot%20B_j%5E%7B%5C%2Ck%7D%20%5C%2C%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%2B%20B_j%5E%7B%5C%2Ck%7D%20%5C%2C%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%5Cquad%20(4))
どこで
%5C%2Ck%7D)
-ベース座標系の極の加速度の反変成分
結果を解釈するために、パスを開始した場所に接続します-接続された座標系と共変成分へ
%5C%2Ck%7D%20%3D%20B_k%5E%7B'%5C%2Cp%7D%20%5C%2C%20a_%7BO_1%7D%5E%7B%5C%2C(0)%5C%2Ck%7D%20%2B%20B_k%5E%7B'%5C%2Cp%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20B_j%5E%7B%5C%2Ck%7D%20%5C%2C%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%2B%20B_k%5E%7B'%5C%2Cp%7D%20%5C%2C%20B_j%5E%7B%5C%2Ck%7D%20%5C%2C%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%5C%5C%0A%26a_%7BM%7D%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cp%7D%20%3D%20%20a_%7BO_1%7D%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cp%7D%20%2B%20B_k%5E%7B'%5C%2Cp%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20B_j%5E%7B%5C%2Ck%7D%20%5C%2C%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%2B%20%5Cdelta_j%5E%7B%5C%2Cp%7D%20%5C%2C%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%5C%5C%0A%26a_%7BM%7D%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cp%7D%20%3D%20%20a_%7BO_1%7D%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cp%7D%20%2B%20B_k%5E%7B'%5C%2Cp%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20B_j%5E%7B%5C%2Ck%7D%20%5C%2C%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%2B%20g%5E%7B%5C%2Cpi%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%5C%5C%0A%26a_%7BM%5C%2Cr%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%3D%20%20a_%7BO_1%5C%2Cr%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%2B%20g_%7B%5C%2Crp%7D%20%5C%2C%20B_k%5E%7B'%5C%2Cp%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20B_j%5E%7B%5C%2Ck%7D%20%5C%2C%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%2B%20g_%7B%5C%2Crp%7D%20%5C%2C%20g%5E%7B%5C%2Cpi%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%5C%5C%0A%26a_%7BM%5C%2Cr%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%3D%20%20a_%7BO_1%5C%2Cr%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%2B%20g_%7B%5C%2Crp%7D%20%5C%2C%20B_k%5E%7B'%5C%2Cp%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20B_j%5E%7B%5C%2Ck%7D%20%5C%2C%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%2B%20%5Cdot%20%5COmega_%7B%5C%2Crl%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%0A%5Cend%7Balign*%7D)
変換チェーンの最後の式に因子が含まれています
%7D)
したがって、角速度テンソルです
%7D%20%3D%20%20a_%7BO_1%5C%2Cr%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%2B%20%5COmega_%7B%5C%2Crj%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%2B%20%5Cdot%20%5COmega_%7B%5C%2Crl%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%5Cquad(5))
自由運動
する剛体の点
Mの加速度の不変成分です。 次に、加速コンポーネントの意味を理解しようとします（5）。 最初に、最後の項である角速度テンソルを考えます。角速度テンソルでは、角速度擬似ベクトルを使用してペイントできます。
%20%3D%20%5Cvarepsilon_%7B%5C%2Crjl%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20%5Comega%5E%7B%5C%2Cj%7D%20%3D%20%5Cvarepsilon_%7B%5C%2Crjl%7D%20%5C%2C%20%5Cepsilon%5E%7B%5C%2Cj%7D%20%5Cquad%20(6))
そして、角速度テンソルの導関数が何らかの擬似ベクトルで表されることは明らかです
角速度擬似ベクトルの時間微分に等しい
)
理論力学の過程から、角速度の導関数は物体の角加速度と呼ばれることが知られています。 したがって、（7）は角加速度です。 通常、角加速度は通常、LaTeX表記では
\varepsilonと表記される別の文字で表されます。 しかし、この指定はLevi-Civitaテンソルによって「引きずり落とされた」ので、非常に印象的ではない
\epsilon記号を使用しますが、このような些細な問題のために表記法を変更しませんか？
上記に基づいて、角速度
テンソルの時間微分は
非対称角加速度テンソルであると結論付けます。
)
\varepsilon連想させる、文字
\xiどちらを使用するかを示します。 （8）に基づいて、（5）の最後の用語は同等です
または、ベクトル形式で
どこで
ボディポイントの回転加速度と呼ばれます。
次に、第2項（5）に移ります。 その中に、擬似ベクトルを通して角速度テンソルを書きます
%7D%20%5C%2C%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%3D%20%0A%5Cvarepsilon_%7B%5C%2Crpj%7D%20%5C%2C%20%5Comega%5E%7B%5C%2Cp%7D%20%5C%2C%20g%5E%7B%5C%2Cji%7D%20%5C%2C%20%5Cvarepsilon_%7B%5C%2Ciql%7D%20%5C%2C%20%5Comega%5E%7B%5C%2Cq%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D)
ここに、二重ベクトル積があります。 確かに、結局のところ
%5C%2Cl%7D%20%3D%20u%5E%7B%5C%2Cj%7D)
極に対する点
Mの速度ベクトルの反変表現。これは、左の角速度による後続のベクトル乗算に関与します。 つまり、第2項は、
ボディポイントの激しい加速です。%20%3D%20%5Cvec%20a_%7B%5C%2CM%7D%5E%7B%5C%2Caxis%7D)
理論力学の過程から既知の公式を得た
自由運動中の体のポイントの加速度は、ポールの加速度、ポールの周りのポイントの回転加速度、およびポールの周りのポイントの船尾加速度の幾何学的合計に等しい
%20%3D%20%5Cvec%20a_%7B%5C%2CO_1%7D%20%2B%20%5Cvec%20a_%7B%5C%2CM%7D%5E%7B%5C%2Crot%7D%20%2B%20%5Cvec%20a_%7B%5C%2CM%7D%5E%7B%5C%2Caxis%7D)
最後に、（5）の最初の項
は、物質点の運動学と動力学に関する記事で行われたように、極の曲線座標によって説明できます。
%7D%20%3D%20g_%7B%5C%2Crk%7D%20%5Cleft(%20%5Cddot%7Bq%7D%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Ck%7D%20%2B%20%5CGamma_%7Bji%7D%5E%7Bk%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%7Bq%7D%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cj%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%7Bq%7D%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Ci%7D%20%5Cright)%20%5Cquad%20(9))
そして、最も一般的な形で、自由な動きで体のポイントの加速を取得します
%7D%20%3D%20g_%7B%5C%2Crk%7D%20%5Cleft(%20%5Cddot%7Bq%7D%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Ck%7D%20%2B%20%5CGamma_%7Bji%7D%5E%7Bk%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%7Bq%7D%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cj%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%7Bq%7D%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Ci%7D%20%5Cright)%20%20%2B%20%5COmega_%7B%5C%2Crj%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20g%5E%7Bji%7D%20%5C%2C%20%5COmega_%7B%5C%2Cil%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%2B%20%5Cxi_%7B%5C%2Crl%7D%5E%7B%5C%2C(1)%7D%20%5C%2C%20%5Crho%5E%7B%5C%2C(1)%5C%2Cl%7D%20%5Cquad%20(10))
加速度（10）は、独自の（身体に関連付けられた）座標系で表されます。 この表現は最も一般的な性質のものであり、私たちがこのアプローチを採用したアプローチにより、私たちにとって馴染みのある運動の運動学的パラメーター間の真の性質と関係を見つけることができます。 これは理論値です（10）。
得られた式の実用的な値は、一般化された座標で剛体の運動方程式を取得するのに一歩近づきます。
2.回転テンソルを介して角加速度を計算するための形式式
まず、角加速度テンソルを計算します
%20%3D%20g_%7B%5C%2Cip%7D%20%5C%2C%20%5Cleft(%20%5Cdot%20B_%7Bl%7D%5E%7B'%5C%2Cp%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20B_k%5E%7B%5C%2Cl%7D%20%2B%20B_%7Bl%7D%5E%7B'%5C%2Cp%7D%20%5C%2C%20%5Cddot%20B_k%5E%7B%5C%2Cl%7D%20%5Cright)%20%5Cquad%20(11))
したがって、角加速度テンソルも回転テンソルの2次導関数によって決定されます。 一方、角加速度テンソル（6）の定義を使用して、角加速度の擬似ベクトルの式を取得できます。
%0A%5Cend%7Balign*%7D)
さて、（11）に（12）を代入すると、最終的に
%20%5Cquad%20(13))
式（13）は見た目が素晴らしく、たとえば、固体の方向角（オイラー、クリロバ、飛行機の角度など）を介して、自身の軸に角加速度の投影を表現するために使用できます。 しかし、ほとんどの場合、それは本質的に理論的です-はい、見てください、角加速度が回転行列にどのように関係しているか。
（13）を使用して最終回転のパラメーターから角加速度の擬似ベクトルを取得しようとすると、このパスは最適とは言えません。
角速度テンソルでどれだけ運んだか覚えてい
ますか？ それだけです！ そして、ここでは、原則として、
SKAがなくても
かまいません。式（7）と
角速度の擬似ベクトルに関する記事の素材を
参照するだけで十分です。
3.最終回転のパラメーターにおける角加速度の擬似ベクトル
（7）によれば、角速度の擬似ベクトルを微分するだけでよく、これは次のように最終的な回転パラメーターに関して表現されます。
%20%5C%2C%20%5Cvarepsilon%5E%7B%5C%2Cimr%7D%20u_%7B%5C%2Ci%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20u_%7B%5C%2Cm%7D%20%2B%20%5Cdot%20u%5E%7B%5C%2Cr%7D%20%5C%2C%20%5Csin%5Cvarphi%20%2B%20u%5E%7B%5C%2Cr%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%5Cvarphi%20%5Cquad%20(14))
角加速度を取得します。 これも手動で行うことができます。
%20%5C%2C%20%5Cvarepsilon%5E%7B%5C%2Cimr%7D%20%5Cdot%20u_%7B%5C%2Ci%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20u_%7B%5C%2Cm%7D%20%2B%20%20%5Cleft(1%20-%20%5Ccos%5Cvarphi%20%5Cright%20)%20%5C%2C%20%5Cvarepsilon%5E%7B%5C%2Cimr%7D%20u_%7B%5C%2Ci%7D%20%5C%2C%20%5Cddot%20u_%7B%5C%2Cm%7D%20%2B%20%5C%5C%0A%26%20%2B%20%5Cddot%20u%5E%7B%5C%2Cr%7D%20%5C%2C%20%5Csin%5Cvarphi%20%2B%20%5Cdot%20u%5E%7B%5C%2Cr%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%5Cvarphi%20%5Ccos%5Cvarphi%20%2B%20%5Cdot%20u%5E%7B%5C%2Cr%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%5Cvarphi%20%2B%20u%5E%7B%5C%2Cr%7D%20%5C%2C%20%5Cddot%5Cvarphi%20%5Cquad%20(15)%0A%5Cend%7Balign*%7D)
式（15）は少し単純化できます。 まず、2番目の項はゼロに等しい。これは、Levi-Civitaテンソルと2つのインデックス上の同じベクトルの畳み込みが含まれているためです。
。 第二に、同様の用語を与えることができ、最終的な表現が得られます
%20%5C%2C%20%5Cvarepsilon%5E%7B%5C%2Cimr%7D%20u_%7B%5C%2Ci%7D%20%5C%2C%20%5Cddot%20u_%7B%5C%2Cm%7D%20%2B%20%5Cdot%5Cvarphi%20%5Cleft(1%20%2B%20%5Ccos%5Cvarphi%20%5Cright)%20%5C%2C%20%5Cdot%20u%5E%7B%5C%2Cr%7D%20%2B%20%5Cdot%5Cvarphi%20%5Csin%5Cvarphi%20%5C%2C%20%5Cvarepsilon%5E%7B%5C%2Cimr%7D%20u_%7B%5C%2Ci%7D%20%5C%2C%20%5Cdot%20u_%7B%5C%2Cm%7D%20%2B%20%5Cddot%20u%5E%7B%5C%2Cr%7D%20%5C%2C%20%5Csin%5Cvarphi%20%2B%20u%5E%7B%5C%2Cr%7D%20%5C%2C%20%5Cddot%5Cvarphi%20%5Cquad%20(16))
ここで、（16）から（8）を使用して、角加速度テンソルにも渡すことができますが、これは行いません。 実行する必要のあるアクションは簡単であり、結果の表現はかなり面倒です。 実用的には、式（16）で十分です。
回転軸の方向が変わらない場合、回転軸の単位ベクトルの導関数は消えます。 これは、固定軸を中心に平面平行運動で回転する場合に可能です。 角加速度ベクトルは些細なように見えます
これは、定理の教師（私を含む）が生徒を扱う角加速度ベクトルの定義を示します。 さらに、最後の式から、このベクトルの方向は座標系の基底の方向に直接依存しているため、正の回転方向に明確に依存していることがわかります。 これは、角加速度ベクトルが擬似ベクトルであるという事実によってよく示されています。
結論
式（10）、（14）、および（16）は、任意の座標での固体の運動学の構築を閉じる最後の関係です。 私たちは長い道のりを歩んできました-テンソル計算の装置を使用して、固体のすべての運動学を再構築しました。
しかし、私たちは主なものには触れませんでした-空間内の体の位置、どのパラメータを選択するのが便利ですか？ これらのパラメーターを剛体の運動の運動学的特性に関連付ける方法は？
最終ターンのパラメーターは何ですか？ それらは、回転角がゼロのときに縮退するという点で悪いです。 回転テンソルの定義方法を思い出してください
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この式で回転角度をゼロ化すると、式に到達します
回転テンソルは単位行列で表されることがわかりました。 これの何が問題なのでしょうか？ 悪いことは、そのような回転テンソルから回転軸の単位ベクトルの成分を取得できないことです。 運動の動的方程式を統合するとき、そのような焦点は数値手順の崩壊につながります。
モデリングシステムを構築するには、縮退を受けないパラメーターを使用する必要があります。 これらには回転テンソル自体のコンポーネントが含まれますが、そのうちの9つがあります。 プラス3極座標。 合計-空間内の身体の位置を特徴付ける12のパラメーター。 そして、ソリッドの自由度の数は6です。 したがって、回転テンソルの6つの成分は依存量であり、運動方程式系の次数を正確に2回膨らませます。
この考慮に基づいて、最終ターンのパラメーターはより有利です-それらの4つがあります。 コミュニケーションの方程式は1つだけです
で変性していない場合
それらを使用できます。
ただし、空間内の剛体の向きを記述するために使用できる非縮退パラメーターは、最終回転のパラメーターに直接関連しています。 これらは、ロドリゲハミルトンのパラメーターです。これについては、次の記事で説明します。
謝辞
この記事の準備で
は、数式を入力するために 、ユーザー
parpalakによって作成さ
れたリソースを使用しました。 この点で、このような便利なサービスを作成してサポートしてくれたことに感謝します。
まあ、伝統的に、あなたの読者の注意をありがとう！
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