信号分析のためのフーリエ変換の実用化。 初心者向けイントロ

1.フーリエ変換と信号スペクトル

多くの場合、信号のスペクトルを取得（計算）するタスクは次のとおりです。 ADCがあり、サンプリング周波数Fdで、時間Tの間に入力に供給される連続信号をデジタルサンプル-N個に変換します。 次に、サンプルの配列は、数値のN / 2を生成する特定のプログラムに送られます（ インターネットからプルしたプログラマーは、フーリエ変換を行うと主張するプログラムを作成しました）。

プログラムが正しく機能するかどうかを確認するために、2つの正弦波sin（10 * 2 * pi * x）+ 0.5 * sin（5 * 2 * pi * x）の合計としてサンプルの配列を作成し、プログラムをスリップします。 プログラムは次のことを引き出しました。


図1信号の時間関数のグラフ


図2信号スペクトルのグラフ

スペクトルグラフには、振幅が0.5 Vと10 Hzの5 Hzの2つのスティック（高調波）があります-振幅が1 Vで、すべて元の信号式と同じです。 すべて順調で、よくできたプログラマーです！ プログラムは正常に動作しています。

つまり、2つの正弦波の混合物からの実信号をADC入力に適用すると、2つの高調波で構成される同様のスペクトルが得られます。

ADCによってデジタル化された、つまり離散サンプルで表される、 5秒間続く 実際の測定信号の合計は、 離散的な非周期的なスペクトルを持ちます。

数学的な観点から-このフレーズにはいくつのエラーがありますか？

当局は 、5秒は長すぎると判断したので、0.5秒で信号を測定しましょう。


図3測定期間0.5秒にわたる関数sin（10 * 2 * pi * x）+ 0.5 * sin（5 * 2 * pi * x）のグラフ


図4関数スペクトル

何か、それは！ 通常、10 Hzの高調波が描画され、5 Hzのスティックの代わりに、いくつかの奇妙な高調波が現れました。 私たちはインターネットを見て、そうそう...

で、彼らはサンプルの終わりにゼロを追加する必要があると言い、スペクトルは通常に描かれます。


図5 5秒までのゼロの終了


図6スペクトルを得た

すべて同じで、5秒ではありませんでした。 理論に対処する必要があります。 ウィキペディアに行きます-知識の源です。

2.連続関数とフーリエ級数によるその表現

数学的には、T秒の持続時間を持つ信号は、セグメント{0、T}で定義された関数f（x）です（この場合のXは時間です）。 このような関数は、常に次の形式の調和関数（サインまたはコサイン）の合計として表すことができます。

（1）ここで：

k-三角関数の数（高調波成分の数、高調波の数）
Tは、関数が定義されているセグメントです（信号持続時間）
Akは、k番目の高調波成分の振幅です。
θkはk次高調波成分の初期位相です

「関数をシリーズの合計として表す」とはどういう意味ですか？ つまり、各ポイントでフーリエ級数の高調波成分の値を加算すると、このポイントで関数の値が得られます。

（より厳密には、関数f（x）からの級数の標準偏差はゼロになる傾向がありますが、平均二乗収束にもかかわらず、関数のフーリエ級数は一般的に、点ごとに収束する必要はありません。https： //ru.wikipedia.org/を参照してくださいwiki /フーリエ級数 。）

このシリーズは、次のように書くこともできます。

（2）
どこで 、k番目の複素振幅。

または

（3）

係数（1）と（3）の関係は、次の式で表されます。



そして



フーリエ級数のこれら3つの表現はすべて完全に同等であることに注意してください。 フーリエ級数で作業する場合、正弦および余弦の代わりに虚数引数の指数を使用する、つまり複素形式のフーリエ変換を使用する方が便利な場合があります。 しかし、フーリエ級数が対応する振幅と位相を持つ余弦波の合計として表される式（1）を使用すると便利です。 いずれにせよ、実際の信号のフーリエ変換の結果が高調波の複素振幅になると言うのは間違っています。 Wikiが正しく述べているように、「フーリエ変換（ℱ）は、実変数の1つの関数を別の関数、実変数にもマッピングする操作です。」

合計：
信号のスペクトル分析の数学的基礎は、フーリエ変換です。

フーリエ変換を使用すると、間隔{0、T}で定義された連続関数f（x）（信号）を、特定の振幅と位相をもつ三角関数（正弦波および\または余弦波）の無限数（無限級数）の合計として定義できます。 {0、T}。 このシリーズはフーリエ級数と呼ばれます。

また、フーリエ変換を信号解析に正しく適用するために理解が必要ないくつかの点にも注意してください。 X軸全体のフーリエ級数（正弦波の合計）を考慮すると、間隔{0、T}の外側で、フーリエ級数で表される関数が周期的に関数を繰り返すことがわかります。

たとえば、図7のグラフでは、初期関数はセグメント{-T \ 2、+ T \ 2}で定義され、フーリエ級数はx軸全体で定義された周期関数を表します。

これは、正弦波自体がそれぞれ周期関数であり、それらの合計が周期関数になるためです。


図7フーリエ級数による非周期的な初期関数の表現

このように：

最初の関数は、長さTの特定のセグメントで定義された連続的で非周期的です。
この関数のスペクトルは離散的です。つまり、高調波成分の無限級数-フーリエ級数の形で表されます。
実際、フーリエ級数は、間隔{0、T}の周期関数と一致する特定の周期関数を定義しますが、この周期性は重要ではありません。

次。

高調波成分の周期は、セグメント{0、T}の値の倍数であり、初期関数f（x）が決定されます。 言い換えると、高調波の周期は信号測定の持続時間の倍数です。 たとえば、フーリエ級数の第1高調波の周期は、関数f（x）が定義される間隔Tに等しくなります。 フーリエ級数の第2高調波の周期は、間隔T / 2に等しくなります。 など（図8を参照）。


図8フーリエ級数の高調波成分の周期（周波数）（ここではT =2π）

したがって、高調波成分の周波数は1 / Tの倍数です。 つまり、高調波成分Fkの周波数はFk = k \ Tです。ここで、kは0〜∞の値を通ります。たとえば、k = 0 F0 = 0です。 k = 1 F1 = 1 \ T; k = 2 F2 = 2 \ T; k = 3 F3 = 3 \ T; ... Fk = k \ T（ゼロ周波数では定数成分）。

初期関数をT = 1秒の間に記録された信号とします。 その場合、最初の高調波の周期は信号の持続時間T1 = T = 1秒に等しくなり、高調波周波数は1 Hzになります。 2次高調波の周期は、信号持続時間を2で除算したものに等しくなり（T2 = T / 2 = 0.5秒）、周波数は2 Hzです。 3次高調波の場合、T3 = T / 3秒で、周波数は3 Hzです。 などなど。

この場合の高調波間のステップは1 Hzです。

したがって、1秒間続く信号は、1 Hzの周波数分解能で（スペクトルを取得するために）高調波成分に分解できます。
分解能を2倍にして0.5 Hzに上げるには、測定時間を2倍に増やす必要があります-最大2秒。 10秒間続く信号は、0.1 Hzの周波数分解能で（スペクトルを得るために）高調波成分に分解できます。 周波数の解像度を上げる他の方法はありません。

サンプルの配列にゼロを追加することにより、信号の持続時間を人為的に増加させる方法があります。 しかし、彼は周波数の実際の解像度を上げません。

3.離散信号と離散フーリエ変換

デジタル技術の発展に伴い、測定データ（信号）の保存方法が変わりました。 以前に信号をテープレコーダーに録音し、アナログ形式でテープに保存できる場合、信号はデジタル化され、一連の数値（サンプル）としてコンピューターのメモリ内のファイルに保存されます。

信号を測定およびデジタル化するための通常のスキームは次のとおりです。


図9測定チャンネルのスキーム

測定トランスデューサからの信号は、期間Tの間にADCに到達します。時間T（サンプリング）の間に取得された信号サンプルは、コンピュータに送信され、メモリに保存されます。


図10デジタル化された信号-時間Tの間に受信されたN個のサンプル

信号のデジタル化の要件は何ですか？ アナログ入力信号を離散コード（デジタル信号）に変換するデバイスは、アナログ-デジタルコンバーター（ADC）（Wiki）と呼ばれます。

ADCの主なパラメーターの1つは、最大サンプリング周波数（またはサンプリング周波数、英語サンプルレート）-サンプリング中の連続連続信号のサンプリング周波数です。 ヘルツで測定。 （（Wiki））

コテルニコフの定理によれば、連続信号が周波数Fmaxによって制限されたスペクトルを持つ場合、時間間隔で取得された離散サンプルから完全かつ明確に再構築できます。 、つまり Fd≥2 * Fmaxの周波数で、Fdはサンプリング周波数です。 Fmaxは、信号スペクトルの最大周波数です。 つまり、信号サンプリング周波数（ADCサンプリング周波数）は、測定する最大信号周波数の少なくとも2倍でなければなりません。

そして、コテルニコフの定理が必要とするよりも低い頻度でサンプルを採取するとどうなりますか？

この場合、「エイリアシング」の効果が発生し（ストローブ効果、モアレ効果）、デジタル化後の高周波信号は実際には存在しない低周波信号になります。 図 11赤い高周波正弦波は実際の信号です。 低い周波数の青い正弦波はダミー信号であり、その結果として、サンプルを採取する時間中に、高周波信号の周期の半分よりも通過する時間が長くなります。


図 11.サンプリングレートが十分に高くない場合の低周波の偽信号の出現

エイリアシングの影響を回避するために、ADCの前に特別なアンチエイリアシングフィルターが配置されます。ローパスフィルター（ローパスフィルター）は、ADCのサンプリング周波数の半分以下の周波数を通過させ、より高い周波数を除去します。

離散サンプルから信号スペクトルを計算するために、離散フーリエ変換（DFT）が使用されます。 「定義による」離散信号のスペクトルは、サンプリング周波数Fdの半分未満の周波数Fmaxによって制限されることに再度注意してください。 したがって、離散信号のスペクトルは、連続信号のフーリエ級数の無限和とは対照的に、有限数の高調波の合計で表すことができ、そのスペクトルは無制限にすることができます。 コテルニコフの定理によれば、最大高調波周波数は少なくとも2つのサンプルを持つようにする必要があるため、高調波の数は離散信号のサンプル数の半分に等しくなります。 つまり、サンプルにN個のサンプルがある場合、スペクトル内の高調波の数はN / 2になります。

ここで、離散フーリエ変換（DFT）を検討します。



フーリエ級数との比較



DFTの時間が本質的に離散的であり、高調波の数がサンプル数の半分であるN / 2によって制限されていることを除いて、それらが一致することがわかります。

DFTの式は、無次元の整数変数k、sで記述されます。ここで、kは信号のサンプル数、sはスペクトル成分の数です。
sの値は、周期T（信号測定の持続時間）における総高調波の数を示します。 離散フーリエ変換を使用して、数値法、すなわち 「コンピューター上」

最初に取得した結果に戻ります。 上記のように、非周期関数（信号）をフーリエ級数に展開すると、結果のフーリエ級数は周期Tの周期関数に実際に対応します（図12）。


図12周期T0、測定周期T> T0の周期関数f（x）

図12からわかるように、関数f（x）は周期T0で周期的です。 ただし、測定サンプルTの期間が関数T0の周期と一致しないという事実により、フーリエ級数として取得される関数にはポイントTにギャップがあります。その結果、この関数のスペクトルには多数の高周波高調波が含まれます。 測定サンプルTの期間が関数T0の周期と一致した場合、関数f（x）は正弦波であるため、フーリエ変換後に得られるスペクトルには第1高調波（周期がサンプルの期間に等しい正弦波）のみが含まれます。

言い換えれば、DFTプログラムは、私たちの信号が「正弦波の一部」であることを「知らない」が、正弦波の個々の断片の不整合によるギャップがあるシリーズの形で周期関数を提示しようとしている。

その結果、スペクトルに高調波が現れ、この不連続性を含む関数の形状を要約する必要があります。

したがって、異なる周期のいくつかの正弦波の合計である信号の「正しい」スペクトルを取得するには、各正弦波の周期の整数個が信号測定周期に収まる必要があります。 実際には、この条件は信号測定の十分に長い期間で満たすことができます。


図13ギアボックスの運動学的エラー信号の機能とスペクトルの例

短い期間では、画像は「悪化」します。


図14ローター振動信号の機能とスペクトルの例

実際には、「実際のコンポーネント」がどこにあり、「アーティファクト」がコンポーネントの複数の周期と信号サンプリングの持続時間または波形の「ジャンプとギャップ」によって引き起こされる場所を理解することは困難です。 もちろん、「実際のコンポーネント」と「アーティファクト」という言葉は無駄に引用されていません。 多くの高調波のスペクトルのグラフ上に存在することは、実際に私たちの信号が「それらからなる」ことを意味しません。 これは、数字の7が数字の3と4で「構成される」と考えるのと同じです。数字の7は、数字の3と4の合計として表すことができます-これは正しいです。

私たちの信号もそうですが、「私たちの信号」ではなく、信号（サンプル）を繰り返して構成される周期関数は、特定の振幅と位相を持つ高調波（正弦波）の合計として表すことができます。 しかし、実際に重要な多くの場合（上記の図を参照）、スペクトルで得られた高調波を、実際には周期的な実際のプロセスに接続し、信号形状に大きく貢献することが実際に可能です。

いくつかの結果

1. ADCによってデジタル化された実際の測定信号、持続時間T secは、一連の離散サンプル（N個）で表され、一連の高調波（N / 2個）で表される離散的な非周期スペクトルを持ちます。

2.信号は実数値のセットで表され、そのスペクトルは実数値のセットで表されます。 高調波周波数は正です。 負の周波数を使用して、数学者がスペクトルを複雑な形式で表示する方が便利であるという事実は、「正しい」および「これを行うことが常に必要」という意味ではありません。

3.時間間隔Tで測定された信号は、時間間隔Tでのみ決定されます。信号の測定を開始する前に何が起こったのか、そしてその後に何が起こるのかは、科学的には不明です。 そして、私たちの場合、それは面白くありません。 時間制限された信号のDFTは、特定の条件下でコンポーネントの振幅と周波数を計算できるという意味で、その「実際の」スペクトルを提供します。

使用済み材料およびその他の有用な材料。

FourierScopeは、無線信号とそのスペクトル分析を構築するためのプログラムです。
Graphは、数学的なグラフを作成するために設計されたオープンソースプログラムです。
FOURIERディスクリート変換-その方法
離散フーリエ変換（DFT）