☸️ 🙎🏼 ❓ 複素積分をとる手法 😭 🤞🏼 🙌🏾

積分、さらに何ができますか？まあ、それはすべての人にとって可能ではありませんが、それでも、私はそのようなことはしていません。この投稿では、「複雑な」部品の取り方について説明します。この投稿は、読者が学校で勉強し、実用的なアプローチ（たとえば、部品による統合）を知っていることを意味します。それまでの間、ラマンの積分のみを議論し、ルベーグ・スティルテカ、伊藤、スピードダーなどの積分については議論しません（残りについては同意したいと思いますが）。

この投稿は、製材所に持ち込んで使用できるレシピまたは「パターン」の小さな選択です。オーバーシャドウを防ぐために、高DIディスプレイで読むことをお勧めします。私は警告しました。

極座標への接続

まず、ちょっとした方法で-極座標への移行。極座標への移行は、標準座標について話すことが一般に含まれていない場合でも使用できることは注目に値します。たとえば、不定ガウス積分 $\ textstyle \ int e ^ {-x ^ 2} {\ mathrm d} x$ 分析的な解決策はありません。 $\ textstyle \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} e ^ {-x ^ 2} {\ mathrm d} x = \ sqrt {\ pi}$ 。

これは次のように証明できます。最初に、変換を適用するために、2つの交互の統合を導入します $\ textstyle x$ そして $\ textstyle y$ だから何

$I = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} e ^ {-x ^ 2} {\ mathrm d} x = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} e ^ {-y ^ 2} { \ mathrm d} y$

デカント座標は極座標で表現できます $\ textstyle（r、\ theta）$ ここにそう：

$\ begin {align *} x＆amp; = r \ cos \ theta \\ y＆amp; = r \ sin \ theta \\ r ^ 2＆amp; = x ^ 2 + y ^ 2 \ end {align *}$

からの統合 $\ textstyle-\ infty$ 前に $\ textstyle \ infty$ デスクトップシステムで-これは統合と同じです $\テキストスタイルr$ から $\ textstyle 0$ 前に $\ textstyle \ infty$ そして $\ textstyle \ theta$ から $\ textstyle 0$ 前に $\ textstyle 2 \ pi$ 。

その結果、次のものが得られます。

$\ begin {aligned} I \ cdot I＆amp; = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} e ^ {-x ^ 2} {\ mathrm d} x \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} e ^ {-y ^ 2} {\ mathrm d} y \\＆amp; = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} e ^ {-x ^ 2 -y ^ 2} \; {\ mathrm d} x \; {\ mathrm d} y \\＆amp; = \ int_ {0} ^ {2 \ pi} {\ mathrm d} \ theta \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {-r ^ 2} r \; {\ mathrm d} r \\＆amp; = 2 \ pi \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {-r ^ 2} r \; {\ mathrm d} r \\＆amp; = \ pi \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {-r ^ 2} \; {\ mathrm d} r ^ 2 = \ pi \\ \ end {aligned}$

$\したがって、I = \ sqrt {\ pi}$

このアプローチは、球面座標を使用して3次元でも使用できます。 $\テキストスタイル（x、y、z）\右矢印（r、\ theta、\ phi）$ 。

幾何学的解釈

一般に、「家に転がる」ことは時々実を結ぶでしょう。たとえば、数えましょう

$\ int_0 ^ \ infty \ frac {{\ mathrm d} x} {1 + x ^ 2}$

この積分には分析的な解決策があることをご存じの方が多いと思います。 $\ textstyle \ tan ^ {-1} x$ 、したがって、特定の積分を数えることは労働を構成しません。しかし実際、この積分は、この知識がなくてもカウントできます。

ラジオでサークルを提供する $\テキストスタイルr$ 中心で $\ textstyle（0,0）$ 。中心角を持つこの円の弧の長さ $\ textstyle \ theta$ pa $\ textstyle L = r \シータ$ 、ユニットが単一の場合-単純に $\ textstyle \ theta$ 。それから

$L = \ theta = \ int_0 ^ {\ theta} \; {\ mathrm d} t$

どこで $\テキストスタイルt$ -これは可変変数の統合です。

この場合、被積分関数は等しい $\ textstyle 1$ しかし、例えば複雑にすることができます

$\ begin {align *} L＆amp; = \ int_0 ^ {\ theta} 1 \; {\ mathrm d} t \\＆amp; = \ int_0 ^ {\ theta} \ frac {\ frac {1} {\ cos ^ 2t}} {\ frac {1} {\ cos ^ 2t}} \; {\ mathrm d} t \\＆amp; = \ int_0 ^ {\ theta} \ frac {\ frac {1} {\ cos ^ 2t} } {\ frac {\ cos ^ 2t + \ sin ^ 2t} {\ cos ^ 2t}} \; {\ mathrm d} t \\＆amp; = \ int_0 ^ {\ theta} \ frac {\ frac {1} { \ cos ^ 2t}} {1+ \ tan ^ 2t} \; {\ mathrm d} t \\ \ end {align *}$

次に、配信を行います

$x = \ tan t \右矢印{\ mathrm d} x = \ frac {{\ mathrm d} t} {\ cos ^ 2 t}$

同じことが当てはまります。

$L = \ int_0 ^ {\ tan \ theta} \ frac {{\ mathrm d} x} {1 + x ^ 2}$

それを言ってみましょう $\ textstyle \ theta = \ frac {\ pi} {2}$ 。それから $\ textstyle \ tan \ theta = \ tan \ frac {\ pi} {2} = \ infty$ 、以来 $\ textstyle \ frac {\ pi} {2}$ 円の最初の4分の1をマークします（1つの円全体の長さ $\ textstyle 2 \ pi$ ）、すぐに結果が得られます

$\ frac {\ pi} {2} = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {{\ mathrm d} x} {1 + x ^ 2}$

この結果との類推により、別のカット数で円を分割することができます。たとえば、

$\ begin {align *} \ frac {\ pi} {4}＆amp; = \ int_0 ^ 1 \ frac {{\ mathrm d} x} {1 + x ^ 2} \\ \ frac {\ pi} {3} ＆amp; = \ int_0 ^ {\ sqrt {3}} \ frac {{\ mathrm d} x} {1 + x ^ 2} \\ \ end {align *}$

などなど。

統合範囲の内訳

数えましょう

$\ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ ln x} {1 + x ^ 2} \; {\ mathrm d} x$

これを統合するために、統合の範囲を2つに分けましょう。 $\ textstyle \ int_0 ^ {\ infty} = \ int_0 ^ 1 + \ int_1 ^ {\ infty}$ 。

最初の積分、つまり $\ textstyle \ int_0 ^ 1$ 。配達しましょう $\ textstyle t = 1 / x \右矢印{\ mathrm d} x =-{\ mathrm d} t / t ^ 2$ 。得ます

$\ begin {align *} \ int_0 ^ 1 \ frac {\ ln x} {1 + x ^ 2} \; {\ mathrm d} x＆amp; = \ int _ {\ infty} ^ 1 \ frac {\ ln（1 / t）} {1 + 1 /（t ^ 2）} \左（-\ frac {1} {t ^ 2} \; {\ mathrm d} t \右）\\＆amp; =-\ int _ {\ infty} ^ 1 \ frac {\ ln（1 / t）} {t ^ 2 + 1} \; {\ mathrm d} t \\＆amp; = \ int_1 ^ {\ infty} \ frac {\ ln（1 / t）} {t ^ 2 + 1} \; {\ mathrm d} t \\＆amp; =-\ int_1 ^ {\ infty} \ frac {\ ln t} {t ^ 2 + 1} \; {\ mathrm d} t \ end {align *}$

除外するために、配達が可変であることに明確に同意します $\テキストスタイルt$ と同じ機能を実行します $\ textstyle x$ 。言い換えれば、 $\ textstyle \ int_0 ^ 1 =-\ int_1 ^ {\ infty}$ これは、積分の値を自動的に取得することを意味します。

$\ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ ln x} {1 + x ^ 2} \; {\ mathrm d} x = 0$

偶数と奇数への分割

たとえば、カウントする必要があります

$\ int _ {-1} ^ {1} \ frac {\ cos x} {e ^ {1 / x} +1} \; {\ mathrm d} x$

いくつかの置き換えをしましょう。

$\ begin {align *} f（x）＆amp ;: = e ^ {1 / x} \\ g（x）＆amp ;: = \ frac {\ cos x} {f（x）+1} \ end {align *}$

今、私たちは数える必要があります $\ textstyle \ int _ {-1} ^ {1} g（x）\; {\ mathrm d} x$ 、そしてここからが最も興味深いものです。書き直す $\テキストスタイルg（x）$ 偶数関数と奇数関数の合計として：

$g（x）= g_e（x）+ g_o（x）$

多くの人が「だから一般的には可能ですか」と尋ねるでしょう-はい、はい、それが理由です。上記の指示を読み、それに従ってください。 $\ textstyle -x$ 代わりに $\ textstyle x$ 。受け取ります

$g（-x）= g_e（-x）+ g_o（-x）= g_e（x）-g_o（x）$

偶数および奇数関数のプロパティのおかげ。したがって、関数の偶数側と奇数側を次のように表現できます。

$g_e（x）= \ frac {g（x）+ g（-x）} {2}$

そして

$g_o（x）= \ frac {g（x）-g（-x）} {2}$

それで。したがって、統合は次のように書き直すことができます。

$\ int _ {-1} ^ {1} g（x）\; {\ mathrm d} x = \ int _ {-1} ^ {1} g_e（x）\; {\ mathrm d} x + \ int _ {- 1} ^ {1} g_o（x）\; {\ mathrm d} x = \ int _ {-1} ^ {1} g_e（x）\; {\ mathrm d} x$

上記からわかるように、奇数関数は完全性を失い、偶数側のみにとどまっています。

$\ int _ {-1} ^ {1} g_o（x）\; {\ mathrm d} x = 0$

さて、おそらくこの例の本質を待つ必要があります。ここに式があります $\ textstyle g_e（x）= \ frac {g（x）+ g（-x）} {2}$ この式に入りましょう $\テキストスタイルg（x）$ 。取得します

$g_e（x）= \ frac {1} {2} \ left（\ frac {\ cos x} {f（x）+1} + \ frac {\ cos（-x）} {f（-x）+1 } \右）$

しかし、私たちはそれを知っています $\ textstyle \ cos x$ -偶数機能、したがって $\ textstyle g_e（x）$ として記録できます

$\ begin {align *} g_e（x）＆amp; = \ frac {\ cos x} {2} \ left（\ frac {1} {f（x）+1} + \ frac {1} {f（-x ）+1} \ right）\\＆amp; = \ frac {\ cos x} {2} \ left（\ frac {f（-x）+ 1 + f（x）+1} {f（x）f（ -x）+ f（x）+ f（-x）+1} \ right）\\＆amp; = \ frac {\ cos x} {2} \ left（\ frac {2 + f（-x）+ f （x）} {f（x）f（-x）+ f（x）+ f（-x）+1} \右）\\ \ end {align *}$

これはちょっとした混乱であり、それをどうするかは明確ではありません。一方、Hoは、たとえば次の式を参照してください。 $\テキストスタイルf（x）f（-x）$ 。覚えておきましょう $\ textstyle f（x）= e ^ {1 / x}$ そして、我々は取得します

$f（x）f（-x）= e ^ {1 / x} e ^ {-1 / x} = e ^ 0 = 1$

さて、それだけです-上記のひどい善はすでに絶対にひどいものではありません分子と分母は等しく、これはつまり

$g_e（x）= \ frac {\ cos x} {2}$

数えるのは簡単です：

$\ begin {align *} \ int _ {-1} ^ {1} \ frac {\ cos x} {e ^ {1 / x} +1} \; {\ mathrm d} x＆amp; = \ int _ {-1 } ^ {1} \ frac {\ cos x} {2} \; {\ mathrm d} x = \ sin（1）= 0.841 ... \ end {align *}$

もっと欲しいですか？

あるサイズで十分だと本当に理解しました。そのように書かれていなかったにもかかわらず、用語が害を及ぼす可能性があるように、私はゼロの資料や書籍などを無料で読みました。

雑多なトリックがまだありますので、興味深いことに、もし対応する文献を見ることをお勧めします。頑張って！ ■

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