偉大な数学者カール・フリードリヒ・ガウスの歴史的レビュー

カール・フリードリヒ・ガウス

数学者および数学者の歴史家ジェレミー・グレイは、ガウスと彼の科学への多大な貢献、二次形式の理論、セレスの発見、および非ユークリッド幾何学について語っています*

ゲッティンゲン天文台のテラスでのガウス・エデュアルド・リトミュラーの肖像//カール・フリードリヒ・ガウス：科学の巨人G.ウォルド・ダニングトン、ジェレミー・グレイ、フリッツ・エグバート・ドーエ

カール・フリードリヒ・ガウスはドイツの数学者であり天文学者でした。 彼は1777年にブラウンシュヴァイクの貧しい両親に生まれ、1855年にドイツのゲッティンゲンで亡くなり、その時までに彼を知っていた人は誰でも彼を史上最高の数学者の一人とみなした。

ガウス研究

カール・フリードリヒ・ガウスをどのように研究しますか？ まあ、彼の初期の人生になると、彼が有名になったときに母親が共有した家族の物語に頼らなければなりません。 もちろん、これらの物語は誇張される傾向がありますが、ガウスが10代前半だったときでさえ、彼の驚くべき才能は顕著でした。 それ以来、彼の人生についての記録が増えています。
ガウスが成長して気づかれたとき、彼を知っている人々からの手紙や、さまざまな種類の公式レポートが現れ始めました。 また、ガウスの人生の終わりに彼らが交わした会話に基づいて、彼の友人の長い伝記を持っています。 彼の出版物があり、他の人への彼の手紙がたくさんあり、彼は多くの資料を書きましたが、決して出版しませんでした。 そして最後に、死亡記事があります。

幼少期と数学への道

ガウスの父親はさまざまな問題に従事し、労働者、建設現場の監督、商人のアシスタントでした。 彼の母親はsmart明でしたが、ほとんど読み書きができず、97歳で死ぬまでガウスに全力を尽くしました。 ガウスは11歳のときに学校で才能のある生徒と見なされていたようで、父親は彼を仕事に行かせるのではなく、地元の大学に行かせるよう説得されたようです。 当時、ブラウンシュヴァイク公爵は彼の公国を近代化しようとし、これを手伝ってくれる有能な人々を集めました。 ガウスが15歳のとき、公爵は彼を高等教育のためにカロリヌム大学に連れて行きましたが、それまでにガウスはすでにラテン語と数学を高校レベルで勉強していました。 18歳で彼はゲッティンゲン大学に入学し、21歳ですでに博士論文を書いた。

ガウスはもともと、当時ドイツで優先されていた言語学を研究するつもりでしたが、正多角形の代数的構築に関する広範な研究も行いました。 N辺からの正多角形の頂点は、方程式を解くことによって与えられるという事実のために $$$x ^ {（n-1）} = 0$（数値的に等しい $$$e ^ {（2ki \ pi / 17）} = cos（2k \ pi / 17）+ i sin（2k \ pi / 17）、k = 0、1。 。 。 16）$。 ガウスは、n = 17の場合、定規とコンパスを使用してのみ正則17面ポリゴンを構築できるように方程式が因数分解されることを発見しました。 これはまったく新しい結果であり、ギリシャの幾何学者はこれに気づかず、発見はわずかな感覚を引き起こしました-これに関するニュースは市の新聞にも掲載されました。 この成功は、彼がわずか19歳のときにもたらされたもので、数学を学ぶことにしました。

しかし、彼を有名にしたのは、1801年の2つのまったく異なる現象でした。 最初は算数推論と題された彼の本の出版であり、それは完全に数論を書き直し、それを数学の中心的な主題の1つに、そして今もそうさせた。 これには、非常に独創的であると同時に容易に認識されるx ^ n-1形式の方程式の理論、および2次形式理論と呼ばれるはるかに複雑な理論が含まれます。 これはすでに、2人の主要なフランスの数学者、ジョセフ・ルイス・ラグランジュとエイドリアン・マリー・ルジャンドルの注目を集めました。彼らは、ガウスが彼らがやっていることをはるかに超えたことを認めました。

2番目の重要なイベントは、ガウスによる最初の既知の小惑星の再発見でした。 1800年にイタリアの天文学者ジュゼッペ・ピアッツィによって発見され、ローマの農業の女神にちなんでセレスと名付けられました。 彼は彼女が太陽の後ろに姿を消す前に41夜彼女を見ました。 それは非常にエキサイティングな発見であり、天文学者は本当にそれが再び現れる場所を知りたいと思っていました。 これを正確に計算したのはガウスだけでしたが、専門家は誰もそれをしなかったため、天文学者としての彼の名前を作りました。

晩年と家族

ガウスの最初の作品はゲッティンゲンの数学者でしたが、セレスと他の小惑星の発見後、彼は徐々に天文学に興味を移し、1815年にゲッティンゲン天文台のディレクターになり、彼の死までほとんどこの地位を保持しました。 彼はゲッティンゲン大学で数学の教授でもありましたが、これは多くの教育を必要としないようであり、若い世代との彼の接触の記録はかなり取るに足りないものでした。 実際、彼は疎外された人物であり、天文学者や彼の人生で数少ない優秀な数学者とより快適で社交的だったようです。

1820年代に、彼はドイツ北部とデンマーク南部の大規模な研究を主導し、その間に表面幾何学または微分幾何学の理論を書き直しました。

ガウスは2回結婚しましたが、初めて幸福になりましたが、1809年に妻のジョアンナが出産したとき、再びミンナヴァルデックと結婚しましたが、この結婚はあまり成功しませんでした。 彼女は1831年に亡くなりました。 彼には3人の息子がいましたが、そのうち2人は米国に移住しましたが、おそらく父親との関係が問題だったためです。 その結果、ガウスの子孫であるアメリカの人々の活発なグループがあります。 彼はまた、それぞれの結婚から1人ずつ、2人の娘がいました。

数学への最大の貢献

この分野でのガウスの貢献を考慮して、統計の最小二乗法から始めて、ピアッツィのデータを理解し、セレスの小惑星を見つけるために彼が発明しました。 これは、最も信頼性の高い情報を取得するために、すべてがわずかに不正確だった多数の観測値を平均化する際の突破口となりました。 数字の理論については、非常に長い間語られていますが、彼は二次形式で表現できる数字について顕著な発見をしました。 $$$3x ^ 2 + 5xy + 6y ^ 2$。 これは重要なように思えるかもしれませんが、ガウスは異なる結果の集合であるものを体系的な理論に変え、多くの単純で自然な仮説が数学一般の他のセクションのように見えるものにある証拠を持っていることを示しました。 彼が発明した手法のいくつかは数学の他の分野で重要であることが判明しましたが、ガウスはこれらの分岐が正しく研究される前でさえそれらを発見しました。グループ理論は例です。

形の方程式に関する彼の研究 $$$x ^ {（n-1）} = 0$さらに驚くべきことに、二次形式の理論の深い特徴により、彼女は、たとえば整数の結果を証明するために複素数の使用を発見しました。 これは、対象の表面下で多くのことが起こったことを示唆しています。

その後、1820年代に彼は、表面の不可欠な部分である表面湾曲の概念があることを発見しました。 これは、紙では地球の正確な地図を作成できないため、変換せずに一部の表面を他の表面に正確にコピーできない理由を説明しています。 これにより、表面の研究が固体の研究から解放されました。リンゴを下に置く必要なく、リンゴの皮を剥がすことができます。

負の曲率を持つサーフェス。三角形の角度の合計が平面内の三角形の角度の合計よりも小さい//ソース：Wikipedia

1840年代、英国の数学者ジョージグリーンに関係なく、彼は潜在的な理論の主題を発明しました。これは、いくつかの変数の関数の計算の巨大な拡張です。 重力と電磁気学の研究に適した数学であり、その後、応用数学の多くの分野で使用されています。

また、ガウスが発見したが、あまり多くは公開しなかったことも覚えておく必要があります。 なぜ彼がそんなに自分のためにしたのかは誰にもわかりませんが、1つの理論は、彼が念頭に置いた新しいアイデアの流れがさらに刺激的だったということです。 彼は、ユークリッド幾何学は必ずしも真実ではなく、少なくとも1つの他の幾何学が論理的に可能であると確信しました。 この発見の栄光は、ルーマニア-ハンガリーのボヤイとロシアのロバチェフスキーの2人の数学者に与えられましたが、その死後初めて-それは当時非常に物議を醸していました。 そして、彼はいわゆる楕円関数で多くの仕事をしました-それらは正弦関数と余弦三角関数の一般化と考えることができますが、より正確には、それらは複雑な変数の複雑な関数であり、ガウスはそれらの理論全体を発明しました。 10年後、アベルとヤコビは同じことをすることで有名になりましたが、ガウスがすでにやったことを知りませんでした。

他の分野で働く

最初の小惑星の再開後、ガウスは他の小惑星を見つけて軌道を計算するために一生懸命働いた。 プレコンピューター時代には困難な仕事でしたが、彼は才能に目を向け、この仕事によって王子と彼に教育を与えた社会への負債を支払うことができると感じたようです。

さらに、北ドイツでの撮影中に、彼は正確な撮影のためにヘリオトロープを発明し、1840年代に最初の電気電信の作成と構築を支援しました。 もし彼がアンプについても考えていたら、彼はこれに注目することができました。

永続的なレガシー

カール・フリードリッヒ・ガウスが今日でも非常に重要な理由はたくさんあります。 まず、数論は非常に複雑であるという評判を持つ巨大な主題になりました。 それ以来、最高の数学者の何人かが彼に引き寄せられ、ガウスは彼に近づく方法を彼らに与えました。 当然、彼が解決できなかったいくつかの問題が注目を集めたため、彼は研究分野全体を作ったと言えるでしょう。 また、楕円関数の理論と深い関係があることがわかります。

さらに、曲率の内部概念の彼の発見は、表面の研究全体を豊かにし、長年の仕事のために次の世代に影響を与えました。 進取の気性に満ちた現代建築家から数学者に至るまで、表面を研究する人は誰でも彼に感謝しています。

サーフェスの内部ジオメトリは、3次元空間や4次元時空などの高次オブジェクトの内部ジオメトリの概念にまで及びます。

アインシュタインの一般相対性理論とブラックホールの研究を含むすべての現代宇宙論は、ガウスがこのブレークスルーを行ったという事実により可能になりました。 非ユークリッド幾何学のアイデアは当時衝撃的だったため、多くの種類の厳密な数学が存在する可能性があることを人々に認識させました。

非ユークリッド幾何//ソース：Numberphile

伝説の背後にある男

ガウスの人生は多くの物語やジョークを生み出しました。 たとえば、どんなに驚くべきことでも、母親はガウスに算術の基礎を教えた人は誰もいなかったと言っていましたが、彼は仕事で父親の話を聞いて自分でそれを扱っていました。 間違いなく、彼は精神的な算数に並外れた能力を持つ数少ない数学者の一人であり、頭の中で長時間の計算を迅速かつ正確に実行することができました。 また、彼の息子たちは、「ガウスの名前を二流の仕事に関連付けたくないので、科学のキャリアを追求することを思いとどまらせた」と述べたと報告されました。

同じように、彼は人々に今発見したことをすでに知っていることを伝えるという恐ろしい習慣がありました。 最も有名なケースは、彼の古い大学の友人Farkash Boyaiが非ユークリッド幾何学の息子ヤノスの発見のコピーを同封して彼に手紙を書いたとき、ガウスは彼がその仕事を賞賛することはできないと答えた。 これは、ガウスが1831年に知っていたことを誇張しただけでなく、若いボヤが彼の作品の認知を得るのを助けるために何もしませんでした。

ただし、ガウスは不快な人物であるという印象を持たないでください。 彼は原理主義者であり、女性が高等教育から追放された時期にソフィー・ジャーマンを真面目な数学者として受け入れることを喜んでおり、常に彼の才能を生産的な使用に努めました。 しかし、彼の並外れた才能、そして私たちが彼らを喜ぶことしかできないけれども、ラダクトロストロイは彼を非常に孤独にしました。

ジェレミー・グレイ、オープン大学、数学史名誉教授。

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* 不正確な翻訳。