短い肩のマッチング

ジェームス・タントンは、ジョン・D・ロックフェラーがダイムを配ったのと同じ寛容さで数論でパズルをばらまきます。 私はすでにタントンの仕事の1つについて書きました 。 数週間後、階乗と平方に関するこのツイートは私の注意を引き付け、休息を与えませんでした。


「4！+1 = 25、数値の二乗。 5！+1 = 121、これも数値の二乗。 別の例を挙げていただけますか？ さらに2つの例？」

ペンと紙を使用すると、簡単にそれを示すことができます $$ 適切ではありません。 階乗 $$ あれですか $$$1 \回2 \回3 \回4 \回5 \回6 = 720$ ; 追加 $$$1$ 番号を取得します $$$721$ これは正方形ではありません。 （次のように因数分解されます $$$7 \回103$ 。）一方、 $$ 等しい $$$5,040$ そして追加 $$$1$ 私たちは得る $$$5,041$ 等しい $$$71 ^ 2$ 。 これにより、非常に良い方程式が得られます。

$$

さらに続けると、 $$ 、 $$ そして $$ 二乗数ではありません。 しかし、検索を続行するには、機械化された支援が必要です。 ここに、明らかな仕事をするジュリアの関数があります-連続した階乗を計算し、それらがオンかどうかをチェックします $$$1$ 正方形未満：

function search_fac_sqr(maxn) fac = big(1) #     n > 20 for n in 1:maxn fac *= n #   r = isqrt(fac + 1) #  sqrt    if r * r == fac + 1 println(n, "! + 1 = ", r, "^2 = ", r^2) end end println("  , !") end 

このツールを使用して、確認しましょう $$$n！ + 1$ すべてのために $$$n$ から $$$1$ 前に $$$100$ 。 プログラムが示すことは次のとおりです。

 search_fac_sqr(100) 4! + 1 = 5^2 = 25 5! + 1 = 11^2 = 121 7! + 1 = 71^2 = 5041   , ! 

これらは、ペンと紙ですでに発見した3つのケースと同じです。リストには他に何もありません。 言い換えれば、すべての意味の中で $$$n！ + 1$ まで $$$n = 100$ のみ $$$n = 4$ 、 $$$n = 5$ そして $$$n = 7$ 数の二乗を与える。 まで検索を続けたとき $$$n = 1000$ その後、まったく同じ結果が得られました。 同じことが起こった $$$n = 10000$ そして $$$n = $ 100,00$ 。 その階乗に言及する価値があります $$$100,000$ -非常に多くの $$$4,56574$ 小数点以下の桁。 検索のこの時点で、私は蒸気を使い果たし始めました。 さらに、私は希望を失い始めました。 いつ $$$99993$ 連続値 $$$n$ 正方形を1つも獲得できなかった場合、成功がすぐそこまで待っていることを期待し続けることは困難です。 しかし、私は固執し続けました。 に着いた $$$n = 500,000$ その階乗には $$$2,632,341$ 小数点以下の桁。 セット全体では、1つの正方形に出くわすことはありませんでした。

私たちはこの証拠から何を学ぶことができますか？ 4、5、および7のみが値です $$$n！$ どれに $$$1$ 二乗整数？ それとも、おそらく私の間隔の直後に、数直線上のどこかにありますか？ 無限にありますか？ もしそうなら、彼らはどこにいますか？ そうでない場合、なぜですか？

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私の好みでは、これらの問題を解決する最も満足できる方法は、数論の原理を見つけることです。 $$$n！ + 1 \ ne m ^ 2$ のために $$$n \ gt 7$ 。 私はそのような原則を見つけることができませんでしたが、私の夢では、その証拠がどのように見えるかを大まかに想像することができます。 式の一部を取り除くと仮定します " $$$+ 1$ 」、次のような整数の検索を開始します $$$n！ = m ^ 2$ 。 この方程式には1つの解しかありません。 $$$n = m = 1$ 。 より優れたソリューションを探すためにラップトップに負担をかけるべきではありません-それらが存在しないという簡単な証拠があります。 整数の任意の二乗では、すべての素因数が偶数回存在する必要があります。たとえば、 $$$36 = 2 \倍2 \倍3 \倍3$ 。 階乗では、少なくとも1つの単純な除数-最大-が常に1回だけ存在します。 （理由が分からない場合は、 バートランドの仮説/チェビシェフの定理を読んでください。）

もちろん、「 $$$+ 1$ 「式にすると、推論のチェーン全体がバラバラになります。一般的な場合、因数分解 $$$n！$ そして $$$n！ + 1$ まったく違う。 しかし、おそらく他のプロパティがあります $$$n！ + 1$ 直角度と矛盾しています。 それは何らかの形で合同クラスまたは正方形の残党と関連している可能性があります。 階乗の定義から、 $$$n！$ 以下のすべての正の整数で割り切れる $$$n$ 、つまり $$$n！ + 1$ これらの数値のいずれでも割り切れません （ただし、 $$$1$ ） この観察では、特定のタイプの正方形、つまり因数分解で小さな素数を持つ正方形は除外されます。 しかし、皆のために $$$n \ gt 4$ 平方根 $$$n！$ はるかに優れている $$$n$ 、したがって、より大きい除数のための十分な余地があります。 $$ 。

探索する価値のある別の方法を次に示します。 大きな階乗の10進表現は、次の行で終了します。 $$$0$ 作品として作成 $$$5$ そして $$$2$ 数の約数の中。 このように $$$n！ + 1$ のように見えるはずです

$$

$$XXXXX \ ldots XXXXX00000 \ ldots 00001$$

どこで $$$X$ 10進数を示し、次の行は $$$0$ 終了のみ $$$1$ 。 このような数が決して正方形ではないことを証明する方法を見つけることができますか？ さて、最後の数字が次と異なる場合 $$$1$ 、 $$$4$ または $$$9$ 、それから証明は簡単ですが、多くの正方形は $$$\ ldots 01$ 例えば $$$10201 = 101 ^ 2$$$$62001 = 249 ^ 2$ 。 それを示す代数的考察がある場合 $$$n！ + 1$ 正方形にすることはできません、それはより微妙です。

上記はすべて架空の数学です。 おいしい生地になるはずのいくつかの材料を混ぜましたが、パイを焼く方法がわかりません。 他の誰かがレシピを手伝ってくれるかもしれません。 それまでの間、私は対立仮説を楽しみたいと思っています。 $$$n！ + 1$ ありえないことに加えて、正方形になること。

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タスクで観察されたパターン $$$n！ + 1 = m ^ 2$ -シーケンスの最小要素間でのいくつかの一致、および数千の要素での単一一致ではない-階乗および平方に固有ではありません。 シーケンスの他のペアも同様の動作を示します。 で始まる三角数字 $$$1、3、6、10、15、21、\ ldots$ 式で与えられます $$$T（m）= m（m + 1）/ 2$ 。 三角形でもある階乗を探すと、 $$ それから $$ そして最後に $$ 。 これ以上の例はありません $$$n = $ 100,00$ 見つかりません。

オンになっている階乗はどうですか $$$1$ 方程式を満たす三角形の数より小さい $$$n！ + 1 = T（m）$ ？ 私はそのような唯一のケースを知っています： $$ 。 検索を少し広げると、 $$$n！ + 4$ 三角形の $$ そして再び一致するものはありません $$$100,000$ 。

別の実験では、数値の二乗に戻って階乗を放棄し、人気のフィボナッチ数列に置き換えます $$$1、1、2、3、5、8、13、\ ldots$ 再帰によって定義されます $$$F（n）= F（n-1）+ F（n-2）$ どこで $$$F（1）= F（2）= 1$ 。 1960年代以来、 $$$1$ そして $$$144$ フィボナッチ数と整数の2乗の両方である数の唯一の正の整数です。 オンになっているフィボナッチ数を探しています $$$1$ 正方形よりも小さいことがわかりました $$$F（4）+ 1 = 4$ そして $$$F（6）+ 1 = 9$ 、およびその他のケースはまで発生しません $$$F（500,000）$ 。

カタロニア語の番号でも同じことができますが、 $$$1、1、2、5、14、42、132 \ ldots$ 、巨大なファンクラブの隣。 カタロニアの数字の中には、他に正方形はないことがわかりました $$$1$ まで $$$n = $ 100,00$ ; 誰かが存在しないことを証明したかどうかはわかりません。 次のケースを検索します $$$C（n）+ 1 = m ^ 2$ 、結果も得られませんが、値が低いマッチがいくつかあります $$$C（n）+ k = m ^ 2$ で $$ 。

私の意見では、これらすべての異なるシーケンスで同様の動作を見つけると、タスクの複雑さが変わります。 不思議な特別な財産を発見したら $$$n！ + 1$ なぜ正方形に一致しないのかを説明する（大きな値の場合 $$$n$ ）、フィボナッチ数の別のメカニズムとカタロニア語数の別のメカニズムを再発明する必要がありますか？ これらすべての観察の背後にある唯一の一般的な理由は、より説得力がないように思えませんか？

しかし、この理由はあまり一般的ではありません。 これは、2つの数値シーケンスを取り、それらの交点で同じパターンを見ることができる場合には当てはまりません。 階乗と素数を考慮してください。 階乗の性質上、そのうちの1つは2ではありません！ = 2を素数にすることはできませんが、明白な理由はありません $$$n！ + 1$ 素数にすることはできません。 そして確かに、 $$$n \ le 100$ 9つの意味は簡単です $$$n！ + 1$ 。 検索の境界を $$$n \ le 1000$ 、さらに7つ見つけます。 これは既知の数字の完全なセットです。 $$$n！ + 1$ 簡単です：

$$

$$1、2、3、11、27、37、41、73、77、116、154、320、340、399、427、872、1477、\\ 6380、26951、110059、$ 150,20$$

増加とともに $$$n$ それらはますます少なくなっていますが、先に検討した場合のように、鋭い制限の兆候はありません。 このシリーズは無期限に続きますか？ これは論理的な仮説のようです。 （参考資料を含むこのシーケンスの詳細については、Chris Caldwellの階乗プライムページを参照してください。）

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私の質問はこれです。これらの奇妙なパターンを純粋な偶然と認識できますか？ 値 $$$n！ + 1$ すべての番号線に沿って分布する整数の無限のシーケンスを形成し、開始近くに密に配置されますが、増加するにつれて非常にまばらになります $$$n$ 。 値 $$$m ^ 2$ このような急激な減少ではありませんが、密度も減少する別の無限シーケンスを形成します。 階乗が最小整数の二乗と一致する可能性があります。これは、単にこれらの整数が「ワイルド」になるのに十分ではなく、それらのいくつかは二重の仕事をしなければならないからです。 しかし、広大なオープンスペースでは、数値の直接階乗は、正方形に会うことなく、何年も-おそらく永遠に-さまようことができます。

この考えをより明確に述べさせてください。 以来 $$$n！$ 正方形にすることはできません。2つの正方形の間のどこかにあることがわかります。 番号行の場所は次のようになります $$$（m-1）^ 2 \ lt n！ \ lt m ^ 2$ 。 この間隔のエンドポイント間の距離は $$$m ^ 2-（m-1）^ 2 = 2m-1$ 。 次に、間隔から乱数を選択します $$$k$ そしてそれが公正かどうか尋ねます $$$n！ + k = m ^ 2$ 。 正確に1つの値がこの条件を満たす必要があります。 $$$k$ 、つまり、偶然の確率は $$$1 /（2m-1）$ 、またはおよそ $$$1 /（2 \ sqrt {n！}）$ 。 以来 $$$\ sqrt {n！}$ 非常に速く成長し、この確率は増加するにつれて即座にゼロになる傾向があります $$$n$ 。 以下のチャートでは、これは紫色の線で示されています。 に注意してください $$$n = 100$ 紫色の曲線がほぼ到達 $$$10 ^ {-80}$ 。



緑の曲線は、フィボナッチ数と二乗が一致する確率を示しています。 フォームは似ていますが、少し後で「崖」から「飛び出します」。 フィボナッチ2乗曲線は負の指数関数にほぼ等しく、確率は比例します。 $$$\ phi ^ {-\ sqrt {F（n）}}$ どこで $$$\ phi =（\ sqrt {5} + 1）/ 2 \約1.618$ 。 階乗関数は超指数関数であるため、階乗平方曲線はさらに鋭くなります。 $$$n！$ より速く成長する $$$c ^ n$ 任意の定数で $$$c$ 。

階乗と素数の一致の確率を固定する青い曲線は、まったく異なる形をしています。 近所で $$$n！$ 連続する素数間の平均距離はほぼ等しい $$$\ log n！$ それはそれ自身より少し速く成長します $$$n$ そしてはるかに遅い $$$n！$ 。 階乗と素数が一致する確率はほぼ等しい $$$1 / \ log n！$ 。 連続した青い曲線は、この滑らかな近似に対応します。 線の隣に点在する青い点は、連続する素数間の実際の距離に基づく確率値です。

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これらの曲線で何ができますか？ これらの絶対決定的な数列に確率理論を適用することは許されますか？ よく分かりません。 この質問を直接提起する前に、私は数歩戻って、確率がすべての使用権を持つ単純なモデルを検討することを好みます。

有名なヤコブベルヌーイのurの1つを借りてみましょう。この、には、無限の数のピンポンボールを保管するのに十分なスペースがあります。 投票箱にある黒と白のボールから始めましょう。次に、ボールをランダムに引き出します。 明らかに、黒を選択する確率は $$$1/2$ 。 選択したボールを投票箱に戻し、別の白いボールを追加します。 現在、3つのボールがあり、そのうちの1つだけが黒なので、黒を引く確率は $$$1/3$ 。 4番目のボールを追加し、黒が落ちる確率を $$$1/4$ 。 同じように続けると、黒の確率は $$$n$ -th pullは等しくなければなりません $$$\ frac {1} {n + 1}$ 。

このプロセスを無期限に継続する場合-常にランダムなボールを選択し、それを戻して別の白いボールを追加する場合-少なくとも一度は黒いボールが表示される可能性はどれくらいですか？ この質問の結果に答えるのは簡単です-黒いボールを見ることのない確率を計算するために。 これは無限の仕事です $$$\ frac {1} {2} \ times \ frac {2} {3} \ times \ frac {3} {4} \ times \ frac {4} {5} \ ldots$ 、または：

$$

$$P（\ textrm {never black}）= \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} 1-\ frac {1} {n + 1}$$

もし $$$n$ 無限になる傾向があり、積はゼロになる傾向があります。 言い換えれば、無限の試みの中で、黒いボールを引き抜かない確率は $$$0$ ; これは、少なくとも1回黒人と出会う確率が $$$1$ 。 （「確率 $$$1$ 「「確実性」とまったく同じではないが、信じられないほど近い。）

ここで別の実験をしましょう。 もう一度、黒と白のボールを1つずつ始めますが、最初のプルバックサイクルの後に、2つの白いボール、4つの白いボールなどを追加します。これにより、ステージの投票箱のボールの総数が $$$n$ 等しい $$$2 ^ n$ ; このプロセス中、ボールの1つを除くすべてが白になります。 今、黒いボールを見ることのない確率は等しい $$$\ frac {1} {2} \ times \ frac {3} {4} \ times \ frac {7} {8} \ times \ frac {15} {16} \ ldots$ 、または：

$$

$$P（\ textrm {never black}）= \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} 1-\ frac {1} {2 ^ n} P（\ textrm {never black}）= \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} 1-\ frac {1} {2 ^ n}$$

この積は 、大きさに関係なく、ゼロになる傾向はありません $$$n$ 。 また、 $$$1$ 。 積は近似値で定数に収束します $$$0.288788095$ 。 これは奇妙ですよね？ 骨nからの引きの無限のシリーズでさえ、黒いボールが現れるかどうかはわかりません。

これらの2つのurn実験は、上記の一致するタスクのいずれにも直接関連していません。 それらは、可能な結果の範囲を単に示しています。 しかし、階乗と平方の問題への確率論的アプローチを模倣する骨withを持つプロセスを作成できます。 に $$$n$ thに含まれる-thステージ $$$1 + 2 \ sqrt {n！}$ ボールは1つだけが黒です。 無限の試行を行っても黒いボールが見えない確率は、

$$

$$\ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} 1-\ frac {1} {1 + 2 \ sqrt {n！}}$$

この式は、ほぼ等しい値に収束します $$$0.2921426977$ 。 その結果、黒いボールを少なくとも一度見る確率は $$$1-0.2921426977$ 、または $$$0.7078573023$ 。 （いいえ、この番号は $$$1 / \ sqrt {2}$ 、それに近いが。）

階乗と素数の問題に似た骨nを持つプロセスは、かなり異なる結果をもたらします。 ここで、段階での投票箱内のボールの数 $$$n$ 等しい $$$\ log n！$ この場合も、1つの黒いボールのみです。 総確率を支配する無限積は

$$

$$\ prod_ {n = 2} ^ {\ infty} 1-\ frac {1} {\ log n！}$$

数値的証明では、この式は次のようにゼロになる傾向があります。 $$$n$ 無限に（私はこれについて100％確信していませんが）。 本当に努力するなら $$$0$ 、遅かれ早かれ黒いボールが現れる追加の確率が等しくなるまで $$$1$ 。

これらの結果のいくつかは、私をだまされたと感じさせ、少しイライラさせました。 私は昔ながらの電話をかけることができますが、パターンが表示されるかどうかについての疑問を排除するには、無限の数のボーンロールで十分であると常に考えていました。 無限の残酷な光の中で、私はすべてが禁じられているか義務的であると言います。 いつ $$$n$ 無限大、確率、または $$$0$ 、または $$$1$ 。 しかし、明らかにそうではありません。 階乗骨modelモデルでは、黒いボールがまったく見られない確率は、 $$$0$ また $$$1$ 近くのどこかにあります $$$0.2921426977$ 。 これはどういう意味ですか？ 番号が正しいことを確認する方法、または最初の数桁を確認する方法を教えてください。 無限の試行を実行するだけでは十分ではありません。 無限の実験の統計的に有意なサンプルを収集する必要があります。 正確な結果を得るには、無限の無限の実験を行う必要があります。 ああ。

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urnモデルは、階乗二乗問題のランダムバージョンと自然に相関しています。 $$$n！ + k = m ^ 2$ ランダムを選択します $$$k$ 対応する値の範囲から。 元の問題はどうですか $$$n！ + 1 = m ^ 2$ ？ この場合、ランダム変数はないため、各値に対して多くの実験を実行することは意味がありません $$$n$ 。 システムは決定論的です。 それぞれについて $$$n$ 階乗 $$$n$ 正確な値を持ち、整数の2乗に近い、または近くありません。 「たぶん」はありません。

ただし、ここに確率を追加できる回避策があります。 これを行うには、階乗と二乗が一種のエルゴードシステムを構成していると仮定する必要があります。このシステムでは、イベントチェーンを長期間にわたって観察することは、多くの短いチェーンを観察することに似ています。 階乗と正方形が数直線上の位置に関係しないと仮定します。階乗が2つの正方形の間にある場合、より大きい正方形までの距離は確率変数と見なされ、各距離は同じ確率を持ちます。 この仮定を守れば、単一の値を考慮する代わりに $$$n！$ そして、多くのランダムな値をチェックします $$$k$ 単一の意味をとることができます $$$k$ （つまり $$$k = 1$ ）そして検討する $$$n！$ 多くの値に対して $$$n$ 。

そのようなエルゴード的な仮定は推論されますか？ そうでもない。 いくつかの距離が $$$n！$ そして $$$m ^ 2$ 他の人よりも可能性が高く、いくつかの距離はまったく不可能です。 しかし、経験的な証拠は、そのような逸脱は無視できるはずであることを示しています。 以下のグラフは、最初の階乗と次に大きい正方形の間の距離分布を示しています $$$100,000$ 値 $$$n！$ 。 距離は間隔で正規化されます $$$（0、1）$ に分類される $$$100$ 列。 変位の明らかな兆候は感知できません。 同じの平均と標準偏差の計算 $$$100,000$ 相対距離は、次の範囲内の値になります $$$1$ 均一なランダム分布で期待されるものの割合。 （期待値は等しい $$$\ mu = 1/2$ そして $$$\ sigma = 1/12$ ）



そのような確率論的アプローチを真剣にとらえることができれば、整数の二乗に隣接する大きな階乗を見つける見込みについて数値的判断を下すことができます。 上記のように、1つ以上の値が $$$n！ + 1$ 正方形に等しい、ほぼ等しい $$$0.7078573023$ 。 したがって、このような3つのケースがすでに知られていること、つまり、 $$$n = 4$ 、 $$$5$ そして $$$7$ 。 これで、同じ方法を適用して、少なくとも1つのケースを見つける確率を計算できます。 $$$n \ gt 7$ 。 質問をより一般的なものにしましょう。「最初の正方形の中に正方形があったかどうかに関係なく $$$C$ 値 $$n ！ + 1、その後それらを見る可能性はどのくらいですか？」この質問に答えるために、最初の$n！ + 1$$$無限の製品からの C要素：$C$

$$

$$\prod_{n = C+1}^{\infty} 1 - \frac{1}{1 + 2\sqrt{n!}}$$

で $$C = 7答えはほぼ等しい$C = 7$$$$0.0037$ 。 で $$C = 100はほぼ等しい$C = 100$$$$5.7 \times 10^{-80}$ 。紫色の曲線の急勾配を下っていきます。

実用的な観点から、階乗の別のペアのさらなる検索は、時間とプロセッササイクルを無駄にする有望な方法のようには見えません。成功の確率は、次のように途方もなく小さな数にすぐに減少します。$$$10^{-1000000}$ 。しかし、数学的な観点からは、確率は決して消えません。無限積の前面から有限数の項を削除しても、その収束特性は変更できません。元の製品がゼロ以外の値に収束した場合、短縮バージョンは同じように動作します。したがって、私たちは最大の失望の峡谷で自分自身を見つけました。そこでは報酬を見つける現実的な方法はありませんが、確率はまだそれが存在できることを教えてくれます。

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この厄介なエッセイを締めくくるには、さらに別の例（非常に高度な例）を見てください。確率論的推論を適用して、$$1平方未満。立方体と正方形の間の正確な対応を考慮すると、それらは非常に多くあります-これらは6度です：$1$$$$1, 64, 729, \ldots$ 。 しかし、方程式の完全な解決策 $$n 3 + 1 = m 2はそれほど頻繁ではありません。価値の低い例の1つは簡単に見つかります。$n^3 + 1 = m^2$$$2 3 + 1 = 3 2、ただしその後$2^3 + 1 = 3^2$$$$8$ そして $$9連続した立方体と正方形を見ることができますか？確率的アプローチは、楽観的な理由があることを示唆しています。階乗やフィボナッチ数と比較すると、キューブの成長はずっと遅くなります。それらの速度は多項式であり、指数関数的でも超指数関数的でもありません。その結果、正方形から特定の距離にある立方体を見つける確率は、次の場合よりも大幅に低下しません。$9$

$$$n!$ または $$$F(n)$ 。 下のチャートで $$P （n 3 + k = m 2）はオレンジの曲線です。$P(n^3 + k = m^2)$



オレンジ色の曲線が青の真下にあることに注意してください。これは、 $$n ！は素数の隣にあります。これら2つの曲線が近接していることは、2つの問題（素数に隣接する階乗、正方形に隣接する立方体）が同じクラスに属する可能性があることを示唆しています。私たちはすでに、階乗単純が何度も何度も、おそらく無限に生じることを知っています。この類推により、私たちは予感を抱きます。おそらく、立方体の偶然の一致も無限です。観察を続けると、さらに多くのことがわかりますが、$n!$$$$8$ そして $$$9$ 。

しかし、そのような推測は完全に間違っています。このタスクには非常に長い歴史があります。1844年、ユージンカタランは$$$8$ そして $$9は、整数の中で唯一の連続した電力値です。この仮定は、2004年にPreda Mihailescuによって最終的に証明されました。オイラーは、18世紀に正方形と立方体の特別なケースを決定しました。したがって、確率はそれとは何の関係もありません。$9$

この記事で検討されているすべての質問は、ディオファンチン分析のカテゴリーに属します。ディオファンチン分析は、解が整数でなければならない方程式の研究です。この数学の分野は、設定は簡単ですが解決が難しい問題で有名です。カタロニアの仮説は、フェルマーの偉大な定理とともに、最も有名な例の1つです。ディオファントス問題が最終的に解決されると、通常、証明は非常に素朴であり、数学の深い領域の洗練されたツールを使用します-フェルマーアンドリューウィルズとリチャードテイラーの偉大な定理の証明における代数幾何学、ミハイルスクのカタロニア仮説の証明における円形場私の知る限り、確率論はそのような証拠の中心的な役割を果たしていませんでした。

数週間前にこれらの問題に対処し始めたとき、具体的な解決策を見つけることは期待していませんでした。そして、私の期待は完全に満たされました！実際、私の頭の中では、状況は最初よりもさらに複雑になっています。実験のさえ無限級数は必ずしもいくつかの質問に答えを与えるという認識は、深く私を崩し、私は本当に確率論を理解してどのように良い1つの不思議になります。しかし、この状況は数学では珍しいことではありません。私はすでにそれに慣れる必要があると思います。

更新：Tantonからの別のヒントのおかげで、このタスクには長い歴史があり、その名前さえあることに気付きました。1876年と1885年に出版物を出版したHenri Brokarにちなんで名付けられたBrokarのタスクです。ラマヌジャンは1913年にそれについて言及しました。Erdösは、これ以上の解決策はないと提案しました。マリウス・オーバーホルトは、それをabc仮説に関連付けました。ブルース・ベルントとウィリアム・ゴールウェイは、以前に解決策がないことを発見しました$$$10^9$ 。これはすべて、WikipediaのBrokar問題に関する記事から学びました。この記事では、ソリューションはブラウン数と呼ばれることも述べています[約。transl .:名前の由来は不明であり、Robert Brownに関連しているかどうかは不明です。

だから、まだ読みたいことがある。