確率論的地震ハザード分析

この記事を書いた理由は、日本と千島列島で今後30年間に最大40％の確率で発生する可能性のある「最も強力な」地震の予測について、多くのメディアから配布された情報です。 ジャーナリストは日本の科学者に言及した。 どうやら情報が取得された場所から、元の記事を見つけることができました。 12月20日にJapan Newsで公開され、現在は有料のアーカイブにありますが、すばらしいウェイバックマシンリソースがあります。

以下では、元のソースが実際に何であるかを明らかにし、数学の大自然と地震ハザードの確率論的分析の基礎に突入します。 一言で言えば、日本の地震学者は千島列島の巨大地震の予報を出さなかったが、今後30年間の地震ゾーニングマップを建物と構造物の寿命とともに編集する際に考慮される震源のモデル特性を説明した。 計算してみましょう。 スーパーコンピューターなし...

したがって、地震ゾーニングの主なタスクは、最も可能性の高い地震の影響を判断することです。 以下で「ほとんど」という用語を解読します。 まず、簡単な数学を書き、確率論と数学的統計に多少なりとも精通しているほとんどの読者が理解できるいくつかの用語を紹介します。 明確にするために、地震の影響は加速度の物理的パラメーターで測定されます。 地上の最大加速度0.7g （ g=9.81 /^2は重力加速度）は、IXポイント周辺の揺れの強さに対応し、IXポイントは災害です。

各地震には独自のマグニチュードMがあります。これは、震源の強度（ギャップの大きさ、エネルギーなど）を特徴付ける値です。 スコアと混同しないでください！ スコアはすでに表面の揺れ、つまり感性の現れです。 震源に近づくほど、地球表面の変動が激しくなり、地震効果のレベルが高くなり、震源から遠ざかると、地震信号が減衰します。 これは、連続媒体のすべての信号に固有の基本的なプロパティです。 これを地震の影響の減衰の法則と呼びます。 明らかに、建物を破壊するのはマグニチュードではなく、設計と建設中に定められた特定の制限レベルを超える最大地上加速度です（図1）。


図1. 2007年のネベルスキー地震の結果

ピーク地上加速度減衰モデルは、関数g(m,r)によって指定されます。関数g(m,r)は、ピーク地上加速度ln⁡ PGAの平均（自然）対数の、大きさmイベントと距離rでの依存性を決定します。 この関数は、加速度計のネットワークを使用して取得された加速度図の地域ベースに基づいて構築された回帰関係（図2）で表されます。 通常、形式は次のとおりです。

$$

$$g（m、r）= ln \オーバーライン{PGA}（m、r）= c_1 + c_2m +c_3ln⁡（r + c_4）-c_5 r + c_6 F + c_7 S +σ、（1）$$

ここで、 c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, c_6, c_7は回帰係数であり、 FとSはそれぞれ、断層のタイプ（断層）と土壌特性（土壌）への依存性を表します。


図2.マグニチュードM = 5.8の地震の距離に対するピーク土壌加速度の減衰曲線：1-測定値、2-地域回帰、3-信頼区間±σ、4-距離10 kmでのピーク加速度の自然対数の標準正規分布の密度関数ソースから、5-ピーク加速度のレベル0.7g。

強いln ⁡PGA(m,r)に関するデータで観測された変動性（イベントからイベント、およびポイントからポイント）は、ゼロ平均と標準誤差σによる各ポイント(m,r)での量ln ⁡PGA(m,r)の正規分布によって記述されます（図。2）。 それにもかかわらず、それを仮定として扱う価値はありますが、それは非常に効果的です[Cornell、1968]。

次に、土壌のピーク加速度の対数正規分布に関する上記の仮定から、考慮中のポイントから距離r発生するマグニチュードmすべてのイベントの、加速度aを超える地震効果を引き起こさないイベントの割合に従う

$$

$$F（\ frac {lna-g（m、r）} \ sigma）、（2）$$

ここで、 は標準正規値の分布関数です。 付録には、正規分布の数値を含む表が含まれています。 [Baker、2008]から借りました。

したがって、距離rでマグニチュードm地震イベントから指定されたレベルの地震の影響aを超えない確率は、標準正規値の分布関数によって完全に決定されます。 この確率をPr(A≤a│m,r)として表します。 次に、定義（2）に従って、次のように記述できます。

$$

$$Pr（A≤a│m、r）= \ int \ limits _ {-\ infty} ^ a \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} \ exp（-\ frac {1} {2 }（\ frac {lnx-g（m、r）} {\ sigma}）^ 2）dx。 （3）$$

式（1）〜（3）のグラフィカルな解釈を図に示します。 2.回帰は、ピーク土壌加速度の測定値を表していることがわかります。 すべてのポイントは1つの地震を指します。 より正確には、回帰自体はさまざまな地震から得られた多数の経験的データに基づいて構築されていますが、説明を簡単にするために、マグニチュードM=5.8地震のグラフを示します。 たとえば、ネベルスク付近（図1）では、一連の地震がM〜6に近い規模で発生し、都市に被害をもたらしました。

図 σ=0.783 2は、（1）から標準誤差σ=0.783を決定するピーク加速度値のばらつきを示しています。 ポイントm=5.8およびr=10 のピーク地上加速度の自然対数は、 g(m,r)=4.868 (PGA=125 /^2)です。 最大加速度0.7g (687 /^2)地震衝撃は、 0.7g (687 /^2) ln⁡ a=6.532対応します。 その場合、距離r=10 でマグニチュードm=5.8地震によって引き起こされる地震の影響Aが0.7g （IXポイント）を超えない0.7gは等しくなります（付録を参照）。

$$

$$Pr（A≤0.7g│m= 5.8、r = 10）=（\ frac {6.532-4.868} {0.783}）= 0.983$$

建物は無限の稼働時間のために建てられたものではありません。 すべてに独自の耐用年数があり、時間Tによって決定されますT


図3.震源の概略図。

その場合、震源がポイントk （図3）にあるマグニチュードM_i地震の影響は、次の期間Tにわたって加速度aの指定値を超えませんか？ このような長い質問に対する最初の答えは明白です。考慮された時間間隔中に単一の地震が発生しない場合。 2番目のケースはそれほど明白ではありません。1つの地震が発生しても、（1）で定義された減衰則に従って、予想される地震の影響は発生しません。 一般に、時間T間に少なくとも2つの地震または3つまたはNs地震が発生する可能性がありますT 確率の観点から言われたことを言い換えます。

特定のポイントが1つのマグニチュードのみの地震を生成する単純化されたモデルを見てみましょう。 テーブルを見てみましょう。 1.地震の影響を超えないさまざまな結果を示します。単一の地震イベント（0）、1（1）、2（1 + 1）、3（1 + 1 + 1）などではありません。 時間T間に1つのイベントが発生する確率は、それぞれp1ではなく、 p1 、 p2に2、 p3に3などに等しくなります。 当然、考慮された結果のセットは完全です。 他のオプションはありません：

$$

$$p0 + p1 + p2 + p3 + \ドット= 1。 （4）$$

与えられたマグニチュードの地震からの振動が与えられたポイントで与えられた地震効果を超えない確率は、 Prで示され、（3）で完全に指定されます。 その場合、2つの地震の振動が指定された地震の影響を超えない確率は、 Pr*Pr 、3- Pr*Pr*Prなどです。 地震がない場合、超過しない確率は1であることは明らかです。 したがって、時間T間に与えられたポイントでT地震の影響が超えられない合計確率P ：

$$

$$P = p0 \ ast（1）+ p1 \ ast（Pr）+ p2 \ ast（Pr \ ast Pr）+ p3 \ ast（Pr \ ast Pr \ ast Pr）+ \ドット（5）$$

表1.特定の地点における特定のマグニチュードの地震源の確率モデル。

結果（イベントの数）	発生確率	超えない確率
0	p0	1
1	p1	Pr
1 + 1	p2	Pr * Pr
1 + 1 + 1	p3	Pr * Pr * Pr
...	...	...

式（5）が完全に消化された後、一般的なケースを検討します。 これを行うには、次にT sイベントが発生する確率を設定する必要があります。 s=0,1,2,…,Nsです。 後続の時間Tある点kでマグニチュードM_iのsイベントの発生確率をP_k(s,M_i,T)ます。

次に、次の時間間隔Tでポイントk （図3）でマグニチュードM_i地震イベントから指定されたレベルの地震衝撃aを超えない確率は、（5）との類推によって設定されます。

$$

$$P（A \ leq a \ mid M_i、T、k）= \ sum_ {s = 0} ^ {N_s} P_k（s、M_i、T）[Pr（A \ leq a \ mid M_i、R_k）] ^ S、（6）$$

ここで、 R_kは、ポイントk地震源から地震の影響が予想されるポイントまでの距離です。

さらに簡単です。 大きさM_i独立した実装を考慮する必要があります。 もちろん、大きな地震学には例外があります。 たとえば、強い地震が一連の余震を引き起こした場合（または、言い換えれば、大きさのある繰り返しイベントはメインイベントよりもわずかに少ない）。 しかし、このために、いわゆる地震カタログのクラスタ化解除が実行されます。 余震やその他の依存イベントの除去。

（6）からのマグニチュードの独立性の条件を考慮して、次の時間間隔Tポイントkでの一連の地震から、与えられたレベルの地震衝撃aを超えない確率を取得します。

$$$$表示$$ P（A≤a│T、k）= \ prod_ {i = 1} ^ {N_m} Pr（A≤a│M_i、T、k）。 （7）$$表示$$

震源は独立しており、それぞれが独自の生活を送っていると想定するのは合理的です。 繰り返しますが、大規模な地震学では、一方の断層の構造的活動が他方の地震活動の活性化を引き起こす場合があります。 それでも、 N震源のセットが独立しているという仮定から、次の期間T 「待機」ポイントで、指定されたレベルの地震影響aを超えない確率を取得します。

$$$$表示$$ P（A≤a│T）= \ prod_ {i = 1} ^ {N} \ prod_ {i = 1} ^ {N_m} Pr（A≤a│T、k）。 （8）$$表示$$

（8）の超過しない確率から超過する確率に渡します。

$$

$$P（A>a│T）= 1-P（A≤a│T）。 （9）$$

式（9）は、地震ハザードの確率的分析における地震ゾーニングマップの作成の基礎です。

地震P_k (s,M_i )発生確率を簡単にP_k (s,M_i )ます。 地震ゾーニングでは、指数ポアソンモデルがよく使用されます。つまり、次のT年にsの地震が発生する確率は次と等しくなります。

$$

$$P_k（s、M_i、T）= \ frac {[λ_k（M_i）T] ^ s exp [-λ_k（M_i）T]} {s！}、（10）$$

ここで、 λ_k (M_i )は、ポイントkでマグニチュードM_iの地震の発生頻度です。 予想どおり、ゼロから無限大までのすべてs合計（10）は1です。

日本の科学者は、古地震に関するデータに基づいて歴史的な地震を再現しました。 ご存知のように、津波は非常に強い地震イベントによって引き起こされ、それらの爆発は海岸の地質学的および形態学的歴史に保存されています。 日本の推定によると、千島列島南部の地域で発生する可能性のある最大地震の大きさは、 M=8.8以上である可能性があります。 彼らによると、問題のイベントは偶然ではなく、定期的に発生します。 地震間間隔は340〜380年の範囲にあります。 平均再発期間は360年です。 地震の頻度λは、 1/360 ^-1と推定されます。

震源の単純化されたモデルを考えてみましょう-与えられたマグニチュードの与えられたポイントで（図3）。 標準の時間間隔はT=30 です。 そして、 λT << 1あることは明らかです。 これは、式（10）で、「最初の」確率p0およびp1制限できることを意味します。

$$$$表示$$ p0 =exp⁡（-λT）、p1 =λTexp⁡（-λT）。 （11）$$表示$$

（11）から、各時点で、地震の発生は同様に発生する可能性があります。 たとえば、このモデルによると、センセーショナルな「最も強力な」地震は、今後30年間に0.083確率で発生します。

式（5）によって指定された地震の影響を超えない確率は、次のように推定されます。

$$$$表示$$ P = p0 + p1 * Pr =exp⁡（-λT）+Pr⁡*λT*exp⁡（-λT）、（12）$$表示$$

（9）および（12）による超過の望ましい確率は、

$$$$表示$$ Q = 1-P =1-exp⁡（-λT）-Pr⁡*λT*exp⁡（-λT）。 （13）$$表示$$

（13）をλTべき乗で展開し、展開の最初の項のみを残すと、次のようになります。

$$$$表示$$ Q（A>a│T）=λT*（1-Pr（A≤a│m、r））。 （14）$$表示$$

したがって、特定の仮定の下で、確率論的手法による規範的な地震の影響を評価するための簡単な式を取得しました。 最後の詳細は残ります。 これは、千島列島の強い地動の減衰の法則です。

千島列島では、日本の近隣地域は地質学的および構造的条件に近い。 ここでは、カリフォルニアのように、地上加速度の減衰の方程式が最新レベルで開発されています。 地震活動の沈み込みと地殻タイプへの分離を考慮した最も統一されたモデルは、ShiとMidorikawaの基本モデルです[Si、Midorikawa、1999]。 このモデルのその後の修正は、2011年の東北の巨大地震の地震効果の詳細な分析（Mw 9.0）後の係数の改良に大きく関連しています。

$$$$表示$$ \ begin {cases}log⁡A=b-log⁡（X + c）-kX、D≤30km \\log⁡A= b + 0.6log⁡（1.7D + c）-1.6 log X（X + c）-kX、D> 30 km、（15）\ end {cases} $$表示$$

どこで

$$

$$b =αMw+ hD + \ sum d_i S_i + e、（16）$$

Aは/^2の最大加速度です。 Dは、km単位のギャップ平面の「平均」深さ（重心の深さ）です。 Xは、ギャップまでの最短距離（ です。 Mwモーメントの大きさ;


地殻地震の場合、 S_1=1, S_2=0, S_3=0; プレート間地震の場合、 S_1=0, S_2=1, S_3=0; プレート内S_1=0, S_2=0, S_3=1.


図4.千島列島南部の震源のモデル（震源）

「私たちの」巨大地震は、2つのプレートの接合部で予想されます。 地震タイプ-プレート間。 福島原子力発電所の悲劇で知られる2011年の東北地方の巨大地震は、深さ約11 kmで発生した。 したがって、私たちの場合、焦点深度D=11 、大きさMw=8.8 （日本人が示唆しているように）も取ります。 図 図4は、千島列島で予想される巨大地震の空間モデルを示しています。 だから、例えば、について。 しこたん千島列島に向かって急降下している断層から島の中心までの最短距離は約40 kmであるため、 X=40 ます。 すべての入力パラメーターが決定されたので、減衰則（15）に従って（14）から確率Pr(A≤a│m=8.8,r=40)を決定します。 これを行うには、少し手を加える必要があります。式（15）は自然対数などにつながります。 その結果、 g(m,r)=7.22 、 σ_ln⁡ PGA =0.62ます。 下の表。 2、計算された確率値が表示されます。



この分析の目的は、土壌の移動レベルを超える確率を評価することであり、主な結果は、移動のレベルに対する超過確率の依存性を決定することであり、これはハザード曲線と呼ばれます。 ハザード曲線を図に図で示します。 テーブルからのデータに応じて5。 2.図から 5今後30年間で0.06を超える確率は、約0.9gの地震レベルに対応することがわかります。 これは9ポイント以上です。 このような千島列島の評価は、1994年にシコタンスキーと呼ばれる大地震があったことを思い出すと、自然で予想される波です。 構造物の破壊、人命の損失、津波、多数の地滑りを伴いました。 震えの強さについて。 Shikotanは、MSK-64スケールでVIIIからIXポイントの範囲でした。




図5. Fr.のハザード曲線 この震源によると、千島列島南部の震源のモデルによると、しこたん。

ポアソンモデルに加えて、以前の地震活動の履歴を考慮した「記憶」を伴う地震の発生のモデルがあります。 これらには、ブラウンモデル（ブラウン通過時間）が含まれます。 これは、よく研究された地域の地震ゾーニングマップの構築に日本人の同僚によって使用されています。 彼らの推定によると、南千島列島での今後30年間の巨大地震の確率は0.07から0.4の範囲でした（図4）。

最大の地震が厳密に定期的に発生することを想像してください-1000年に1回。 そして、それは、例えば、20年前に起こりました。そして、私たちは、この場所に次の50年続く住宅を建てるつもりです。 この期間中、強い出来事は起きたばかりであり、次の出来事は980年後より早く起こらないでしょう。 このような周期性の事実が確立された場合、ブラウンモデルが使用されます。 次に、計算された地震衝撃強度の値が低い地震ゾーニングのマップを取得します。これにより、出力での建設コストが削減されます。 どのモデルを選択するかは、1人の専門家ではなく、専門家グループが決定します。

ブラウンモデルに従ってハザード曲線を計算するには、より多くの時間と材料が必要です。 しかし、簡単にするために、日本の同僚の報告によると、次の30年間の1つの地震の確率は既知であり、p1に等しいと想定しています。 その後、今後30年間にイベントが発生しない確率は、p0 = 1-p1になります。 最後に、 超過の確率は次のように設定されます。

$$$$表示$$ Q（A>a│T）= 1-P =1-p0-Pr⁡* p1 = p1 *（1-Pr（A≤a│m、r）） （17）$$表示$$

0.4メガ地震の最大確率について、ハザード曲線を作成しました（図5）。 これは、設計上の地震の影響の超越値を示しています（図5）。Xポイントを超えています。 現実には、地面の状態、巨大地震による地震の影響の減衰の性質などに関する多くの点を考慮していませんでした。マグニチュードのMw=9.0大きい地震による地震の影響は、イベントpによって引き起こされるものよりもそれほど大きくないことが知られていますMw=8.3。そしてこれは、式（15）に従って地震の影響を明らかに過大評価したことを意味します。それでも、提示された計算により、問題の規模を感じることができます。

最後の1つ。なぜ日本の地震学者は、今後30年間、震源の確率モデルを提供したのですか？日本の基準では、建物と構造物の運用寿命は30年と50年であり、ロシアの建築規制では50年です。世界中の地震ゾーニング技術（わが国を含む）は、30年または50年にわたって一定の確率で超える地震の影響を評価することになります。通常の責任のあるオブジェクト（およびこれらは私たちのアパートやオフィスです）については、建築基準により50年間で0.1を超える確率が設定されています。 30年間、確率は0.06に設定されます（これらは日本と他のいくつかの国です）。

このように、日本の地震学者は、地震モデルの保守的な評価を採用しました。これは、地震ゾーニングマップの更新に使用されます。これは、日本の科学者による地震調査の高い責任と文化を強調しています。これはまた、地球は境界を知らないことを示唆しており、自然現象の研究にはさまざまな国の科学者の協力が必要です。

分析は、LLC GEOFIZTECHの研究担当副部長であるAlexey Konovalov（a.konovalov@geophystech.ru）が実施しました。