量子回路とゲート-入門コース

量子論文のサイクルを続けます。 今日、私たちは式を掘り下げて、量子ビット（基本計算単位）を操作する方法を理解します。 さらに、チェーンとアルゴリズムの原則を考慮します。 詳細はこちら！

サイクルからの記事：

1. 量子コンピューティングと初心者向けQ＃
2. 量子コンピューティングの紹介
3. 量子回路とゲート-入門コース
4. 量子コンピューティングの基礎：純粋状態と混合状態
5. Q＃量子テレポーテーション
6. 量子コンピューティング：リファレンス

はじめに

この記事の目的は、量子ゲートの基本原理をすばやく理解し、これらのゲートが量子アルゴリズムを明確に表すチェーンにどのように結合されるかを理解することです（一部は後続の出版物で説明します）。

便宜上、このシリーズの記事から最も重要なすべてのゲート、回路要素などに関する要約情報をチートシートの形式で公開します（必要な情報を長期間探す必要がないように）。 今後の記事では、「Quantum Computing：A Brief Reference」と呼びます。

基本：量子状態

基本から始めましょう-後で操作するいくつかの一般的な量子状態の表記法から：



それらはすべて純粋な1キュービット状態であるため、ブロッホ球上の点として表すことができます。



現在、ベルには4つの状態があります（アインシュタイン、ポドルスキー、ローゼンに敬意を表して、EPRペアとも呼ばれます-ベルが後に開発したアイデアの著者です）。 これらは、2つのキュービットの量子エンタングルメントの最も単純な例です。



そして最後に、いわゆるGHC（Greenberg – Horn – Zeilinger）状態を使用します。 一般的な形式（nキュービットの場合）と最も単純な形式（3キュービットの場合）は次のとおりです。



ベルとGHCの状態は非常に重要です。これらのシステムの動作は、そのようなシステムのもつれのレベルのために古典理論の予測とは根本的に異なるためです（「最大もつれ」のこの原理は、今後の出版物で検討されます）。

理論：ラジアン

量子計算理論の回転角はラジアンで測定されます。 完全な円（360°）は2πラジアンに対応します。 角度は反時計回りに測定されます。 最も重要な角度の値を度とラジアンで以下に示します。

基本：量子回路図

量子ゲートの研究を掘り下げる前に、量子回路図の構築の基礎を研究する必要があります（これにはそれほど時間はかかりません）。

• 量子図の時間は左から右に移動します。
• 各キュービットは、単一の水平線に対応しています。
• 通常、バルブは四角で示されます。 ゲートのタイプは、この正方形内の文字または他の記号で示されます（この規則には例外があります。通常、これらは古典的なアナログを持つキュービットゲート（たとえば、NOTゲート）です。
• 一部のゲートは、ダイアグラムのいくつかの要素に対応する場合があります（たとえば、NOTゲート）。
• 量子ビットを測定した結果、すべての重ね合わせが崩壊し、量子ビットの量子特性が消滅し、通常のビットに変わります。 したがって、測定要素（以下に示す）がキュービットを受信し、古典的なビットを与えると想定できます。 Q＃言語でのこの操作は、ベースZのMeasureコマンド（bases：Pauli []、qubits：Qubit []）またはM（qubit：Qubit）に対応しています。

最も重要な要素の指定は次のとおりです。



より詳細な情報は、 こちらのドキュメントとM. NielsenとI. Changの本「量子情報と量子コンピューティング」に記載されています。

シングルクォートバルブ

1キュービットバルブは自然に最も単純なので、それらから始めます。 任意の1キュービットバルブによって実行される操作は、キュービットの状態を特徴付けるベクトルの回転としてブロッホ球の別のポイントとして表すことができます（以下を参照）。

最も基本的な1キュービットバルブは、Pauli X、Y、およびZバルブです。

お名前	行列表現	指定	Q＃での提出
パウリゲートX、X、NOT、ビットスイッチ、			X（qubit：Qubit）
パウリ弁Y、Y、			Y（qubit：Qubit）
パウリ弁Z、Z、相切り替え、			Z（qubit：Qubit）

ゲートXは、古典的なNOTゲートと非常によく似ています：| 0〉を| 1〉に、そして| 1〉を| 0〉に変換します。 この操作は、ブロッホ球上のベクトルをx軸を中心にπラジアン（または180°）回転させることに相当します。

ゲートYは、y軸を中心とするベクトルのπラジアンの回転に対応すると予想されます。 このような操作の結果、ベクトル| 0〉はi | 1〉に変わり、| 1〉-は-i | 0〉になります。

ゲートZは、位相シフトバルブの特殊なケースです。 （下記参照）phi =π= 180°で。 これは、zラジアンによるz軸周りのベクトルの回転に対応します。 ベクトル| 0〉は変更されずに残され、| 1〉は-| 1〉に変換されます。

これらの変換の動作を、ブロッホ球を使用して以下に示します（それぞれの場合の回転軸は赤で強調表示されます。画像をクリックすると拡大できます）。



同じパウリゲートをキュービットに2回適用すると、初期状態に戻ることに注意することが重要です（ベクトルが任意の軸を中心に2πラジアンまたは360度回転した後、初期位置に移動します）。 結果として



以来 など

ここで、IIは単位行列の指定です。 。 単位行列は、任意の行列M（II）による乗算が行列Mと等しい行列です。MII= IIM =M。単位行列は、量子状態を変更しない量子演算に対応します。 ブロッホ球では、次のようになります。



この関係を考慮して、パウリ行列は単位行列に等しいと言われています。
以下は、他のいくつかの重要なシングルキュービットバルブの説明です。

お名前	行列表現	指定	Q＃での提出
アダマールバルブ、H			H（qubit：Qubit）
位相シフト			R1（シータ：ダブル、キュービット：キュービット） より一般的な場合 R（ポーリ：パウリ、シータ：ダブル、キュービット：キュービット）
位相シフト 、S			S（qubit：Qubit）
、T			T（qubit：Qubit）

アダマール弁は、状態| 0〉と| 1〉の重ね合わせを作成するために使用できるため、特に重要です。 この操作は、ブロッホ球を使用してx軸を中心にπラジアン（180°）回転し、続いてy軸を中心に回転（時計回り）π/ 2ラジアン（90°）することで最も簡単に視覚化できます。



相転移弁はかなり一般的な操作であり、多くの有用な用途があります。 最も一般的なバリエーションは、π/ 4、π/ 8による位相シフトゲートと、それぞれphiパラメータがπ/ 2、π/ 4およびπであるパウリゲートZです。 位相シフトの例 ブロッホ球で：

マルチバルブ

マルチキュービットバルブは、2つ以上のキュービットに対して操作を実行します。 最も単純な例の1つはSWAPゲートです。

お名前	行列表現	指定	Q＃での提出
スワップ			SWAP（qubit1：Qubit、qubit2：Qubit）

SWAPゲートは、2つの入力キュービットを交換します。 たとえば、SWAP | 0〉 | 1〉 = | 1〉 | 0〉、およびSWAP | 0〉 | 0〉 = | 0〉 | 0〉（完全な真理値表はチェーンのチートシートに記載されています）。

マルチキュービットバルブの別のクラスは、いわゆる制御バルブです。 少なくとも1つの制御と1つの制御キュービットが制御バルブの入力に供給され、制御キュービットが特定の状態にある場合にのみ、バルブは制御キュービットに対して操作を実行します。

制御キュービット| 1〉で操作を実行するゲートは、制御キュービットのワイヤ上の塗りつぶされた円で示されます。 | 0〉に等しい制御キュービットで操作を実行するバルブは、以下に示すように空の円で示されます。



制御バルブのマトリックスを構成するには、目的のバルブのマトリックスの左上隅に単一のマトリックスを追加し、他のすべてのセルにゼロを入力する必要があります。 以下に例を示します。



Q＃の通常のゲートは、ここで説明するように（ページ下部の「制御」セクションで）Controlledキーワードを使用して制御に変換できます。 たとえば、CNOTバルブ（NOTバルブはPauli Xバルブと同等であることを思い出してください）は、次のコマンドで取得できます。

(Controlled X)([control], (target)) 

ここで、[control]は入力制御キュービットの配列です。

他の一般的な制御ゲートについては、以下で説明します（上記のように、アイデンティティマトリックスを赤で、ソースゲートマトリックスを青で強調表示しています）。

お名前	行列表現	指定	Q＃での提出
CNOT			CNOT（コントロール：Qubit、ターゲット：Qubit） または （制御されたX）（[control]、（target））;
CCNOT、トフォリ弁			CCNOT（control1：Qubit、control2：Qubit、ターゲット：Qubit） または （制御X）（[control1; control2]、ターゲット）;
CSWAP、フレドキンバルブ			（Controlled SWAP）（[control]、（target））;

ユニバーサルセット

前の出版物で述べたように、量子コンピューターをシミュレートするために使用する物理システムに関係なく、「ユニバーサルセット」のゲートを実装することは可能です。 つまり、システム内の有効な計算操作は、既知のゲートの有限シーケンスに変換可能でなければなりません。 このような汎用性の高いセットの例を次に示します。アダマールバルブ、位相シフトバルブ、CNOTバルブ、π⁄8バルブ。

普遍性の性質は、一見すると思われるよりもはるかに興味深いものです。 量子コンピューターに普遍的なゲートのセットが存在する場合、それを使用して、量子物理学の法則によって許可される変換を実装できます。 つまり、ユニバーサルセットを使用すると、量子プログラムを実行できるだけでなく、物理現象をシミュレートできます。 したがって、普遍性の性質により、量子コンピューターを使用して、分子、超伝導体、および奇妙で美しい量子システムをモデル化できます。 量子コンピューターのこの機能を使用すると、物理現象をシミュレートできます。これにより、将来、量子システムが最も強力なスーパーコンピューターの可能性を超えることができます。 すでに退屈していませんか？

私たちは多くの興味深いものを待っています！

これらの（および他の）クリティカルゲートを使用して、完全に機能する量子回路をすでに作成できます。 次の出版物では、この新たに獲得した知識の助けを借りて、量子フーリエ変換を実現する方法について説明します。量子フーリエ変換は、非常に多くの実用的な用途を持つ非常に重要な操作です。

追加のリソース

• マイクロソフトクォンタム
• Microsoft Quantum開発キット
• Microsoft Quantumブログ