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ケンシェパードとラファユステに率いられたコロンビア大学の科学者たちは、100年のカウント定理（ナイキストシャノンの定理、ロシア語文学の離散化定理-コテルニコフの定理）をバイパスしたと述べました。 現在、アンチエイリアスフィルターはオプションになっています。これは、サンプリング後、スペクトルの重畳によるノイズを復元できるためです。 クレイジーに聞こえますか？ はい これが狂気ではないことを証明した最初の人に1,000ドルを提供します。 報酬を受け取るには、必ず最後まで読んでください。

「サンプリングの前にフィルターをかける！」

このマントラは、工学の学生の世代の頭の中で死に追いやられています。 ここで、「離散化」とは、時間の連続関数を一連の離散値に変換することです。 このようなプロセスは、コンピューターが実際のアナログの世界からの信号をデジタル化する場所で発生します。 「フィルター」とは、信号から高周波成分を除去することを意味します。 このプロセスはアナログの世界で行われるため、抵抗、コンデンサ、アンプの回路などの実際のアナログ機器が必要です。 たとえば、電子回路に十分なスペースがない場合、このような回路を作成するのは退屈で時間のかかるプロセスです。 シェパードの研究チームは、神経細胞からの信号を記録するデバイスのコンテキストでこの制限を検討しました 。

現在、著者は、「各チャネルのオーバーレイ保護用のフィルターを必要としないデータ収集パラダイムを発明したため、既存のシステムのスケーリングの制限を克服した」と主張しています。 実際、彼らは、ハードウェア回路の代わりに、サンプリング後にデジタル側で動作するソフトウェアを使用できると言っています。 「データ収集に対するこのアプローチのもう1つの利点は、信号処理（チャネルの分離と削除）のすべてのステップがデジタル形式で実装されることです」と科学研究は述べています。

もし本当なら、それは大きな発見になるでしょう。 それは、ほぼ一世紀にわたって開催されてきた一般に受け入れられている意見に反論するだけではありません。 はい、多くの機器が不要になっています。 オーバーレイフィルターは、一般に電子機器で使用されます。 お使いの携帯電話には、いくつかのデジタル無線チップとアナログからデジタルへのオーディオ信号コンバータがあり、それらの間にはそれらをオーバーラップから保護するための半ダースのフィルター超小型回路があります。 これらの電子部品をすべて数行のコードで置き換えることができれば、メーカーは喜んでそうします。 それで、これは潜在的に10億ドルの考えです。

残念ながら、これは大きな間違いです。 これらの文書は離散化定理とは無関係であることを示します。 処理をキャンセルしません。 また、デジタル化する前にアナログフィルターをキャンセルしないでください。 そして、ノイズから神経信号を抽出するための最良のシステムにさえ近づきません。

オーバーレイが悪い理由

[答えがわかっている場合は、この部分をスキップしてください]

連続信号が離散的な一連の数値に変わる場合、離散化はデータ収集の最も重要な段階です。 ほとんどの場合、連続信号は電圧信号です。 「アナログ-デジタルコンバーター」と呼ばれる電子回路によって定期的にサンプリングおよびデジタル化されます（図1）。 一見、サンプリングのために情報が失われます。 実際、連続的な電圧曲線には「無限に多くの」点がありますが、サンプリング後、それらの一部のみが残ります。 その結果、選択したポイント間の無限のポイントが失われます。 そして、ここで、離散化定理の最も重要な声明が聞こえます。 適切な条件下では、個々のサンプルには、それらを生成した連続電圧関数の理想的な復元に必要なすべての情報が含まれます 。 この場合、サンプリングによる情報の損失はありません。

これらの対応する条件は単純です。入力信号は、その形状が離散サンプルのシーケンスで十分に固定されるように十分ゆっくりと変化する必要があります。 特に、信号は、サンプリング周波数の半分に等しい、いわゆるナイキスト周波数よりも高い周波数で正弦波成分を持つべきではありません。

$$

$${{f} _ {\ text {Nyquist}}} = \ frac {1} {2} {{f} _ {\ text {Sample}}}$$

（1）

たとえば、ADCが1秒間に10,000回測定する場合、入力信号は5000 Hzの周波数を超えてはなりません。 入力信号がより速く変化するとどうなりますか？ これらの周波数成分は、その起源が完全に理解できないため、サンプルから再構築することはできません（図1）。


図 1.オーバーレイ。 2 kHzの正弦波（赤）は、10 kS / s（青い点）でサンプリングされます。 周波数8 kHzの別の正弦波は、まったく同じサンプルシーケンスを生成します。 したがって、サンプリング後、元の信号が2 kHzであったか8 kHzであったかを理解することは不可能です。

ナイキスト周波数より下の信号とナイキスト周波数より上の任意の数の可能な信号の両方から、同じサンプルのセットが取得されます。 この現象はエイリアシングと呼ばれ、離散化された形式の高周波信号を低周波信号としてマスクすることができます。 着信信号に制限がない場合、離散サンプルから元の信号を復元できなくなるため、オーバーレイにより情報が失われます。

重複を避ける方法は？ サンプリングする前に、アナログ信号からナイキスト周波数より上の周波数成分を除去するだけです。 ほとんどの場合、これは低周波数を通過させるが高周波数を遮断する電子ローパスフィルターで行われます。 このようなフィルターが広く使用されているおかげで、多くのエンジニアリング努力がフィルターの改善に費やされています。 その結果、データ収集システムを設計するための通常のアプローチは次のようになります（図2）。

1.登録する信号に必要な帯域幅、つまり、後で復元する必要がある最高周波数を決定します。 これはナイキスト周波数です $$${{f} _ {\ text {Nyquist}}}$あなたのシステムに。

2.上記のすべての周波数を遮断するローパスフィルターに信号を通します $$${{f} _ {\ text {Nyquist}}}$。

3.周波数のあるフィルターの後の信号のサンプリングを開始します $$${{f} _ {\ text {Sample}}} \ ge 2 {{f} _ {\ text {Nyquist}}}$。


図 2.従来のデータ収集とTsai et al。の科学研究に記載されている手順との比較左：科学研究の試験記録のように、ピークからピークまでの振幅が200μVの周波数1 kHzの正弦波。 1 MHzの帯域幅と21.7μVのrms振幅を持つホワイトガウスノイズを追加しました。 上記：カットオフ周波数が5 kHzの標準的なフィルタリング保護アプローチにより、ほとんどのノイズが除去され、信号対ノイズ比（SNR）が200倍向上します。 この信号は、10 kS / sでデジタル化されます。 下： Tsai et al。の科学的研究では、同じ低SNRを維持しながら信号が即座にサンプリングされます。 これに続いてデジタル処理が行われ、SNRがわずかに増加します。 すべてのデータと処理は、 このコードを使用してモデル化されます。

ツァイらが主張すること

次に、David Tsaiらの科学的研究からの特定の状況を考えます。彼らは、帯域幅を必要とするニューロンからの電気信号を記録したいと考えています。

$$

$${{f} _ {\ text {Nyquist}}} = \ text {5 kHz}$$

そこで、彼らは10 kS / sのサンプリングレートを選択しました。 残念ながら、記録の必然的な副産物である広帯域の熱雑音のために、必要な神経信号は歪んでいます。 ノイズスペクトルは1 MHzに達し、標準のrms振幅（rms）は21.7μVです。 著者は、ホワイトガウスノイズ、つまり1 MHzのカットオフまでの一定の電力密度を持つノイズとして近似しています。 （これらの図への参照： 最初の記事の p。5と図11、2 番目の記事の付録のp。2、5、9、および図2e）。

標準的な手順は、5 kHzを超えるカットオフ周波数との重複を防ぐために、アナログフィルターを介して信号とノイズを送信することです（図2）。 これにより、ノイズスペクトルが1 MHz帯域幅から5 kHzのみにカットされるため、神経信号はそのままになり、同時にノイズパワーが200倍減少します。 したがって、ナイキスト周波数以下の残りのノイズのrms振幅はわずか21.7μV/ $$$\ sqrt {200}$= 1.53μV。 このような量の熱ノイズは完全に無害です。 これは、実験の他のノイズ源よりも少ないです。 次に、信号は10 kS / sのサンプリングレートでサンプリングされます。

代わりに、 著者はフィルターを完全に除外し、広帯域信号+ノイズを直接サンプリングします 。 彼らの記事では、この記録方法におけるシリコンデバイスのスペース不足に関連する技術的制限について詳細に説明しており、フィルターが破棄されました。 しかし、最終的には、1 MHzまでのすべてのノイズパワーが、オーバーレイを介してサンプリングされた信号に到達します。 実際、各サンプルは21.7μVのrms振幅のガウスノイズで汚染されています。 これは許容できないノイズレベルです。これは、同じ振幅またはそれより小さい振幅のニューロン信号を区別するためです。 参考までに、複数の神経活動を記録するためのいくつかの一般的な システムでは、ノイズレベルは4μVを超えません。

ここで、ツァイと同僚は顕著な「革新」を示しています。彼らは、 サンプリング後にデータ変換のcなアルゴリズムを適用して元の広帯域ノイズを復元し、サンプリングしたデータからこのノイズを差し引くことができると述べています。 上記に加えて、関連する引用を以下に示します：「高周波熱ノイズからスペクトルの寄与をデジタル的に再構築し、スパースサンプリングでデータから除去することにより、各チャネルでアンチエイリアシングフィルターを使用せずにオーバーラップの影響を最小限に抑えることができます」 さらにもう1つ：「各チャネルでオーバーレイフィルターを使用しない多重化アーキテクチャを紹介します。 スパースデータは、統計的な再構築や粗いサンプリングステップによる熱ノイズの除去など、圧縮された読み出し戦略を使用して復元されます。

彼らはこの声明に対してどのような証拠を提供していますか？ 実際のデータを使用してノイズリダクションをチェックする実験は1つだけ実施されています。 著者は、ピークからピークまで200μVの振幅で1 kHzの周波数の正弦波テスト信号を記録しました。 次に、彼らは「熱雑音を除去する」ために彼らの処理スキームを適用しました。 出力信号は入力よりもきれいに見えます（ 記事の図2e。図2のシミュレーションも参照）。 定量的に、ノイズは21.7μVのrms振幅から10.02μVに減少しました。 これは、S / N比（SNR）の4.7倍のやや控えめな改善です（これについては以下で詳しく説明します）。 サンプリング前に適切なアンチエイリアシングフィルター、またはサンプリング後に宣言された重畳ノイズ除去システムにより、SNRが200倍になります。 （引用された結果へのリンクについては、 2番目の記事の図2e-fと最初の記事の図7を参照してください ）。

ツァイらのスキームが原理的に機能しない理由

これらの科学論文で提案されているデータ処理スキームの特定の分析に進む前に、なぜそれが原理的に機能しないのかを検討する価値があります。 最も重要なこと：それが機能する場合、これは工学部の学生の世代が研究所で研究したコテルニコフの定理を無効にします。 これらの実験のホワイトノイズ信号は、コテルニコフの定理を使用してこの信号を再構築できる周波数よりも200倍低い周波数でサンプリングされます。 それでは、なぜツァイと同僚は、サーキットが機能すると判断したのでしょうか？

著者は、重畳された高周波ノイズが特定の痕跡を保存し、それを削除できると主張しています：「上記の特性を使用して、高周波熱ノイズからスペクトルの寄与をデジタルで復元し、スパースサンプリングでデータから削除して、影響を最小限に抑えることができますオーバーレイ」。 これらの特性が何であるかを理解することは困難です。 タイムラインで評価するのが最も簡単です。 1 MHz帯域のホワイトガウスノイズは、毎秒200万サンプルの周波数を持つ同一のガウス分布からの独立したサンプルの時系列から再構築できます。 ここでこれらの時系列を取得し、1秒あたり1万サンプルのサブサンプルを作成します。 元のサンプルの200番目ごと。 再び、独立して均等に分布したサンプル、つまり10 kS / sのホワイトガウスノイズを取得します。 この一連のサンプルには、そのソースが高周波ノイズであることを示すものはありません。 よく離散化されています。


図 3.ホワイトガウスノイズのサンプル。 左： rms振幅が21.7μV、帯域幅が1 MHzのホワイトガウスノイズ（赤線）が、周波数10 kS / s（青い点）でサンプリングされます。 右：タイムラインが200倍に延長された離散化信号。 これもホワイトガウスノイズで、同じ振幅分布（グラフフィールド）ですが、帯域幅は5 kHzです。

著者はまた、ホワイトガウスノイズを再構築するためのアルゴリズムが「圧縮された読み取りコンセプトの使用により重複を回避する」と主張しています。 圧縮センシングの原理は、信号が既知のパターンを示す場合、ナイキスト周波数より低い周波数で損失なくサンプリングできることです。 特に、 このような信号は、特定の方向のデータ空間で希少な分布を示し、圧縮の可能性を開きます 。 これは、写真などの多くの自然な信号源に適用されます。 残念ながら、ホワイトガウスノイズはパターンのない絶対に非圧縮性の信号です。 この信号の確率分布は円形のガウス球であり、データ空間ではすべての側面から同じように見え、単に圧縮機能を提供しません。 もちろん、このノイズを介した神経信号には、いくつかの統計的パターンが含まれます（これについては以下で詳しく説明します）。 しかし、それらはノイズの復元には役立ちません。

Tsai et al。のスキームが実際にどのように失敗するか

Tsai et al。の科学研究で説明されているアルゴリズムのコードを書きました 。著者のテストのシミュレーション（ノイズが21.7μVの200μVの正弦波）を処理すると、ノイズが10.2μVの精製された正弦波が生成されます（図2） 10.02μVの科学的研究の結果に非常に近い。 そのため、回路を正しくエミュレートしました。

途中で、深刻な数学的エラーに似たものに出会いました。 これは、サンプリング手順が不十分なノイズがオーバーラップの結果として特定のシグネチャを保持するという著者の信念を指します。 ホワイトガウスノイズのフーリエ表現を参照して、彼らは次のように書いています（ セクションIII.G ）：「フーリエ空間では、熱ノイズ（無限の長さ）のベクトル角は平均がゼロの均一な分布を持っています。 繰り返しますが、有限の長さの信号におけるこの理想からの偏差は、コンテンツが最初のナイキストゾーンに追加されるときのスペクトルの重ね合わせによって平均化されます（その結果、角度はゼロに収束します）。 同様に、「熱雑音重畳の変形ではスペクトル角がゼロに収束します」（ p。9、左下 ）。 これは真実ではありません。 ここで説明するフーリエベクトルの位相角は、均一な円形分布です。 この分布には平均角度はありません。 これらのベクトルの一部の正規化による平均化の後、平均ベクトルの位相は再び均一な円形分布を取得します。 これはフーリエ空間で確認され、直接空間で評価する方が簡単です。ホワイトガウスノイズのサブサンプルでも、ホワイトガウスノイズが得られます（図3）。 Tsaiのアルゴリズムの理論的根拠は、位相角が何らかの方法でゼロに平均化されるというこの誤った概念に基づいています。

では、Tsaiアルゴリズムはどのようにして正弦波のテスト信号をクリアしますか？ これはそれほど難しくありません。 信号が純粋な正弦波であることがわかっている場合、振幅、位相、周波数の3つの未知数のみが残ります。 明らかに、毎秒取得する10,000個のノイズサンプルからこれら3つの未知数を抽出できます。 より効率的に行うことができます。サンプリングされたレコードで最大のフーリエ成分を見つけ、他のすべてをゼロにします。 これにより、ほぼ完全にノイズが除去されます（詳細については、 こちらをご覧ください ）。 ツァイのアルゴリズムは次のようなことを行います。ピーク変換よりもフーリエ変換でオフピーク周波数をより強く抑制し、正弦波と抑制ノイズの特定の合計を受け取ります（ 作品の図9も参照）。 後で見るように、主張された性能は現実的な信号には適用されません。

合理的な処理スキームは何ですか？

正弦波の例は、データの後処理に実際にアプローチする方法を示しています。 元のノイズを復元しようとする試みは、上記のすべての理由で絶望的です-あなたは、すべてのスペクトルの重複の結果であるノイズレベルに我慢する必要があります。 そして、強調したい信号のプロパティに焦点を当てます。 信号に統計パターンがある場合、この事実を利用できます。 当然、正弦波は非常に規則的です-つまり、ほぼ無限の精度でノイズから抽出されます。 通常、信号統計についてある程度の知識があります。 たとえば、エネルギースペクトルの形状。 神経活動電位には最大5 kHzまでの周波数成分がありますが、スペクトルは全範囲で平坦ではありません（図4）。


図 4.左： 15のマウス網膜神経節細胞の平均生体電位[ ソース ]。 右：エネルギースペクトル

信号のエネルギースペクトルがわかっていて、ノイズスペクトルとは異なると仮定します。信号を最適に再構成するために、サンプルデータをどのように処理するのでしょうか。 これは、信号処理コースで求められる古典的なタスクです。 平均二乗誤差を最小化して再構成するための最適な線形フィルターは、 ウィナーフィルターと呼ばれます 。 実際、ノイズが比較的大きい周波数成分を抑制します。 しかし、Tsaiのアルゴリズムは非線形演算であるため（詳細はこちらを参照）、理論的にはウィナーフィルターを超えることができます。 さらに、非線形性により、正弦波信号でのパフォーマンスにより、従来の信号でのアルゴリズムの有効性を予測することは不可能です（上記参照）。 したがって、スペクトルのさまざまな仮定を使用して、Tsaiアルゴリズムと従来のWienerフィルターを比較しました。 特に、信号は100 Hz〜5000 Hzの範囲でカットオフ周波数以下に制限されましたが、ノイズは5 kHz帯域で均一なスペクトルを持ちました。


図 5.図の計算で使用される信号（色付きの線）とノイズ（黒） のエネルギースペクトル 6.範囲全体のガウスノイズとホワイト。 信号は、カットオフ周波数が5000、2000、1000、500、200、100 Hzの単極ローパスフィルターを通過したガウスホワイトプロセスから取得されます。

これらの信号とノイズの組み合わせごとに、WienerフィルターとTsaiアルゴリズムを適用し、結果として信号対雑音比（SNR）を測定しました（図6）。


図 6. TsaiアルゴリズムとWienerフィルターがSNRを変更する方法。 各パネルは、信号の異なるエネルギースペクトルに対応しています（図5を参照）。 異なるSNRの信号とノイズは、水平軸に沿ってプロットされます。 混合信号とノイズは、WienerフィルターまたはTsaiアルゴリズムを通過し、出力信号のSNRが垂直軸に沿ってプロットされます。 赤-ウィナーフィルター; 緑-Tsaiアルゴリズム。 点線は元のものです。

予想どおり、Wienerフィルターは常にSNRを改善し（赤い曲線と点線のスクリプトを比較）、信号スペクトルとノイズスペクトルの差が大きくなるほど大きくなります（左上から右下のパネル）。 すべての場合において、WienerフィルターはSNRの改善においてTsaiのアルゴリズムを上回ります（赤と緑の曲線を比較）。 さらに、多くの場合、Tsaiのアルゴリズムは実際に SNRを低下させます（緑と破線の曲線を比較してください）。 アルゴリズムが数学的エラーに基づいていることを考えると、これは驚くことではありません。

Wienerフィルターよりも洗練されたノイズリダクションスキームがあります。 たとえば、対象の神経活動の記録は、インパルス状のイベント-生体電位-のオーバーレイであり、その波形はわずかなパラメーターで記述されていることがわかっています。 この統計モデルのフレームワーク内で、ノイズの中で各イベントの最適なピーク値を決定するアルゴリズムを開発することができます。 これは科学 研究の 活発 な 分野です。

神経科学にとってなぜ重要なのか

さまざまな神経科学の研究者は、同時に追跡されるニューロンの数を増やすことを積極的に求めています。 この分野では、指数関数的な進歩はかなり遅いですが、 7年ごとに倍増しています。 いくつかの プロジェクトは 、数千の密集した電極とマルチプレクサの配列を持つ大規模なCMOSチップを作成することにより、 このプロセス を加速 する ことを目的としています[Tsaiの仕事を含む-注。 トランス。]。 これは高価な研究です。 電極アレイをプロトタイプ段階に持ち込むには、何百万もの投資が必要です。 そのようなデバイスの成功が、重複の誤った概念とソフトウェアからの不当な期待に基づいている場合、これは高価な障害と貴重なリソースの浪費につながる可能性があります。

フロムヘルツ山塊は、この種の痛みを伴う失敗になりました。 何百万ものドイツマルクのためにシーメンスと協力して設計されたこのセンサーは、当時の最大の生体電極アレイであり、7.8×7.8ミクロンの場所に16,384個のセンサーがあります。 スペースを節約するなどの理由で、開発者はアンチエイリアスフィルターの使用をやめました。 オーバーレイおよびその他のアーティファクトは、最終的に250μVのノイズレベルをもたらし、興味深い実験には適さないため、この革新的なデバイスは実際には使用されませんでした。 しかし、そのような結果は簡単な計算で予測できます。

重複の結果を予測することが合理的であれば、有用な妥協が可能です。 たとえば、シリコンピンを使用して新しく作成されたデバイスには、マルチプレクサのアンチエイリアシングフィルターもありません 。 ただし、サブサンプリングの係数は8：1であり、その結果、過剰なノイズは臨界値を超えません 。 適切な信号回復と組み合わせると、このような回路は非常に有効です。

誰がこの作品をチェックしましたか？

いつものように、疑問が生じます：ツァイらによるこれらの劇的な声明はレビューされましたか？ カウント定理の明らかな矛盾に誰も驚かなかったでしょうか？ これらの資料をレビューしたのは誰ですか？ さて、私はそれらをレビューしました。 記事が最終的に拒否された別の雑誌の場合。 その前に、著者との長いやりとりがありました。それには、シミュレートされたレコードからオーバーレイのノイズを除去するタスクを与えました（以下のタスク、金銭的報酬なし）。 著者は、チャレンジをアルゴリズムの妥当なテストと見なしましたが、テストは完全に失敗しました。 どういうわけか、これは彼らの自信を揺さぶることはありませんでした-そして、彼らはまったく同じ科学論文を他の2つのジャーナルに提出しました。 これらの雑誌は、いわゆるピアレビューの後に明らかに、印刷することに喜んで同意しました。

1000ドルを獲得する方法

もちろん、Tsaiのアルゴリズムを誤解した可能性があります。または、すべてにもかかわらず、サンプリング後に重畳されたホワイトノイズを回復するための別のスキームがあります。 この分野での創造的な仕事を奨励するために、私はタスクを提案します：あなたがツァイと彼の同僚が言うことをできるなら、私はあなたに1000ドルを与えます。 仕組みは次のとおりです。

最初に、「郵便料金」に10ドルを送ってください（Paypal meister4@mac.com、ありがとう）。 その見返りとして、信号とノイズを10 kS / sでサンプリングした結果を含むデータファイルを送信します。信号はナイキスト周波数5 kHz未満の帯域に制限され、ノイズは帯域1 MHzのホワイトガウスノイズです。 Tsaiアルゴリズムまたは任意の他のスキームを使用して、重畳ノイズを可能な限り削除し、最適な信号推定値を含むファイルを送信します。 SNRを2回以上改善できる場合は、1,000ドルを支払います。 正しいアンチエイリアシングフィルターはSNRを200倍増加させることに注意してください（図2）。Tsaiは4倍以上増加すると主張しているので、ここで少し質問します。 詳細な技術情報については、Jupyterノートブックのコードとコメントを参照してください。

さらにいくつかのルール：オファーは発行日から30日間有効です[2018年3月20日-注。 トランス。]。 最初の予選記録のみが勝ちです。 作業を再現できるように、使用するアルゴリズムを明らかにする必要があります。 サンプリング定理との戦いの後、たとえば、データファイルを作成するために使用したランダムシードに対する暗号攻撃など、他のタスクに興味を持つかもしれません。このような代替ソリューションについて知りたいと思いますが、これに$ 1000を支払うことはありませんが、あなたの$ 10を返すだけです。

最後に、初心者からお金を取りたくありません。10ドルを送信する前に、Jupyterノートブックのコードを使用してアルゴリズムを慎重にテストしてください。アルゴリズムを評価するために使用します。

まとめ

これまでのところ、誰も1,000ドルを受け取っていません。結論は次のとおりです。

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