無数の：有限数を見つける

古代ギリシア人-厳密な論理的意味を持つ概念の支持者-は、あらゆる方法で無限の概念を避けました。 実際、書き留めることも想像することもできない場合、無限の数の列について何を気にしますか。

中世では、数学的結果のために論理的厳密さが破棄され、無限の計算で動作する非常に効率的なアルゴリズム手法が開発されました。

20世紀。 別の問題がはっきりと現れ始めました。 単一の文字（∞）で無限大を処理できますが、無限大ではなく、想像を絶するほど巨大な数字はどうでしょうか？

私たちは数字に近づき、「オウロボロス」にやや劣りましたが、それでも理論的および実用的な意味を持っています。 おそらくラムハムの理論の特定の問題を解くための上限であるグラハムの数を聞いたことがあるでしょう。 ラムジーの定理の出現の88年後、数学者は古い方法を捨ててさらに先へ進む準備ができています。

底のないウサギの穴へようこそ。

過去を思い出すためのイントロ

XVII世紀。 数学者で哲学者のブレーズ・パスカルは、無限の恐怖について、宇宙の広大な広がりについての彼自身の取るに足りないことについて書いた。 パスカルは、地球から最も遠い星までの数字の塔から成り、各数字には独自の数字の塔があります。 数字の塔からなる数字の塔の数字の各曲がりには、他の数字の塔が含まれていますが、この定式化でも、グラハムの発見に近づきませんでした。

グラハム数の起源は、1928年に探求されるべきです。若い数学者フランクラムゼイは、論理に関する記事を執筆中に、驚くべきことに気づきました。完全な無秩序は不可能です。 十分に大きな数、ポイント、またはオブジェクトの各セットには、必ず高度に順序付けられた構造が含まれます。

論理に関する研究のほんの一部にすぎない推測は、ラムゼイ理論と呼ばれるまったく新しい数学の分野の基礎を築いた。 多くの場合、パーティーの例で説明されています。お互いを知っている人と見知らぬ人との間の完璧なバランスを見つけたいとします。 すべての友達の関係のマップを作成します。友達の場合は2人、青い線、お互いになじみのない場合は赤い線を接続します。 次に、同様の図を取得できます。



ラムジーの理論の美しさは、この分野のタスクを常に非常に簡単に定式化できることです。 パーティーの例を考えると、何人の人がグループを形成するのに十分であるかを理解することは非常に興味深いです。

上図に示されている17個のポイントのグループでは、それらを接続するエッジのネットワークが完全に赤または青になる4つのポイントを見つけることはできません。 したがって、17人以上が必要であるため、その中にはお互いに馴染みのある、または馴染みのない4人が必要です。 実際、18人のグループには、常に4人の知人または4人の互いに馴染みのない人がいます。

任意の星団を取る。 その中に、直線、長方形、バケツなど、特定の構成を非常に高い精度で形成するグループを常に見つけることができます。

数学者は、特定の望ましい下部構造の存在を保証するために、星、数字、またはオブジェクトのセットの大きさを計算しようとします。 このような問題の決定には、しばしば数十年かかります。

ラムジーの理論はまた、実用的な重要性が非常に高い-良いパーティーを組織することから、より高度な通信ネットワークと情報転送および検索システムを構築することまで 実際、ラムジー理論の問題を解決するために開発された多くの方法が何の目的に役立つか想像することは非常に困難です-これは数学の最も進んだ分野です。

グラハムが彼の数に達した方法と理由

アメリカの数学者ロナルドルイスグラハム（1935年生まれ）は、離散数学に大きな貢献をしました。 グラハムは多才な性格です。 かつて、彼は国際ジャグラー協会の会長でさえありましたが、ラムゼイ理論の特定の問題の上限として機能する大きな正の整数のためだけに有名になりました。


N次元キューブには、常に2n個の頂点が含まれます。 次元にもかかわらず、n次元の立方体は頂点がエッジで接続されている単なるグラフです

すべての頂点を接続するだけで、n次元の立方体を完全なグラフに変換できます。 このように形成された残りのエッジは、面の内側または面上にあります。 これらのエッジには赤と青の2色があると想像してください。 したがって、グラハムは古典的なラムゼイ理論の平面にある興味深い質問を定式化しました.2色のk次元キューブの最小値Nでは、そのような色には必ず同じ平面にある4つの頂点を持つ単色フルサブグラフが含まれますか？


2色のエッジの色を使用した3次元キューブ上の完全なグラフ

1971年に、ロナルドグラハムとブルースリーロスチャイルドは 、この問題に解決策があることを証明しました。これは、6より大きく（下限）、Nより小さい数値です。その後、下限は13に引き上げられ、上限は小さいグラハム数の名前。 少数のグラハムは、ギネスブックに記録された数よりも少ないが、それでも想像を絶するほど大きな数である。

一般に、グラハムのタスクは超自然的なもののようには聞こえません。5年生でも理解できます。 しかし、単純な質問では、答えを得るのが非常に難しい場合があります。 解が私たちが知っているグラハム数よりも小さい場合、答えは何ですか？ グラハム数は、他のいくつかの大きな数と同様に、原則的に問題に解決策があることを示しており、この解決策を見つけることができます。 問題の解決策を最適化することにより、Graham数を1に近づけ、実際の解決策が見つかるまでそれを動かすことができます。

数字がどのように伝説になったか

それで、ロナルド・グラハムはラムジー理論に関する専門的な数学的研究を書き、ジャーナリストのマーティン・ガードナーの注目を集めました。 ギネス記録にグラハム番号を含めることに貢献したのはガードナーであり、その後、この番号は一般の人々の注目を集めました。

グラハムが解決しようとしていた問題は、実際にはラムジー理論の適用の具体例の1つ​​にすぎませんでした。 この理論のさらなる研究により、数学者にはグラハム数よりも大きな数が与えられました。 これらの数値は問題の正確な解決策ではありませんが、上限です。

おそらく、ラムジーの理論の最高の定理は、上限を大幅に削減することができます。これにより、膨大な数の非常に大きな数が消滅します。 たとえば、これはSkuse 番号で発生しました。1987年には8.185・10 ³⁷⁰として定義され、30年後には10 19〜1.3971672・10 ^316の間にあることが判明しました。

どのグラハムが人々を魅了しましたか？ 美しさと可視性。

膨大な数を扱うために、Grahamは急成長している関数を使用しました。 これらの関数の多くは、加算、乗算、べき乗など、誰もがよく知っています。 数学者は、はるかに高速にスケーリングする新しい関数を作成しました。

数値を記録するために、Grahamは累乗の拡張であるKnutの矢印表記を使用しました。 累乗が繰り返される乗算であり、上向きの1つの矢印で示されるのと同じ方法で、2つの上向き矢印は反復累乗を示し、3つの矢印-反復反復累乗などを示します。



または：

3↑↑5 = 3↑3↑3↑3↑3 = 3から3まで7 625 597 484 987

数学者は、大きな数を扱うときは、新しい演算子を使用する必要があるたびに、以前の演算子よりも強力でなければならないことに気付きました。 ↑↑は↑​​の次の演算子です。↑が乗算の次の演算子であるように、乗算と同様に加算も1つの演算子です。 したがって、連続する矢印の数を増やすと、大きな数で作業する能力が向上します。

別の矢印を追加すると、新しい数値の形成速度が大幅に向上します。
3↑↑↑3は、高さ7兆のトリプルのタワーを与えます。

4つの矢印は数字を示しますが、書き留めるのは非常に困難です。 素晴らしい記事「 Graham 's Number on Fingers 」の例を見てみましょう。



そして、ここに、ガードナーがグラハムの数を説明するために使ったオリジナルのイラストがあります：



最高レベルは3↑↑↑↑3.上記で見た式です。 その下には、矢印の数が3↑↑↑↑3のレイヤーがあります。次は、矢印の数が前のレイヤーの矢印の数と等しいレイヤーです。 64層目まで続きます。

この表現の美しさは、グラハム数を超えて「スーパーラージ数=グラハム数+ 1」と書きたい場合、数学的なスケールで何も変わらないことです。 それはまるでエベレストの頂上に登ってそこにジャンプするようなものです。エベレストは最高峰であり、その上で登ることができます。

しかし、太陽系のどこかにオリンパスがありますよね？

バウアーズ記法：ウサギの穴の始まり

数学者ジョセフ・クラスカルとハーベイ・フリードマンのラムジー理論のさらなる研究は、数値TREE（3）に至りました。

少なくともGraham番号を書き留めることができる場合、TREE番号（3）をKnutの表記法の枠組みに配置することはできません。 自分で判断する：

TREE（3）= ...> A ^{A（187196）} （4）、ここでA ² （4）はユニバースの原子数よりも大きい。Aはアッカーマン関数であり、非負の整数mおよびnに対して次のように再帰的に決定されるため。



アッカーマン関数を使用すると、グラハム数≈A64（4）を非常に簡単に書くことができます。

数学者は、TREE（3）には、2002年にJonathan Bowersによって提案された大規模表記法を使用して記述できる理論上の境界があると計算しました。 大規模な表記法では、5つのルールがあります。

1. {a} = aおよび{a、b} = a ^b
2. {a、b、c、...、n、1} = {a、b、c、...、n}
3. {a、1、b、c、...、n} = a
4. {a、b、1、...、1、c、d ...、n} = {a、a、a、...、{a、b-1,1 ...、1、c、d ...、n}、c- 1、d ...、n}
5. ルール1〜4が適用されない場合、{a、b、c、d ...、n} = {a、{a、{b、1、c、d ...、n}、c-1、d ...、n}

最も単純なケースでは、2つの要素の配列を持つ大規模な表記は次のようになります：{10,100} = 10 ¹⁰⁰または10↑100。

機能は驚くほど速く増加します。 Knutの矢印表記の3つの要素{10,100,2}の配列は、10↑ ² 100の形式になります。

Bowersトリプルアレイは、Conwayの指定のトリプルチェーンと完全に同一です（別の記述方法は、水平矢印（チェーン）で接続された数字がKnuthの表記よりも速く成長することです）。

{3,3,3} = 3→3→3 = 3 ^（3 ^（3 ^（3 ^（3 ^ ... 7 625 597 484 987回... ^ 3）^ 3）^ 3）

4つの要素の配列（{10,100,1,2}など）は、グラハム数自体よりもすでに大きくなっています。Bowersによって考案されたトリックのおかげです。4番目の要素では、乗算とべき乗を最適化するときに数式を「最適化」します。括弧：

{3,3,1,2} = 3 {{1}} 3 = 3 {3 {3} 3} 3 = {3、3、{3、3、3}}。

この操作の詳細については、記事「 バードの線形配列表記 」を参照してください。



さらに、「深刻な数学的証明で使用される最大数」は{3,65,1,2}から{3,66,1,2}の間に制限されています。 私たちは現在、線形配列についてのみ話しているのですが、実際、それらは超次元になる可能性があります。 原則として、4つの要素のBowers配列はConway表記法全体に対応でき、超次元配列（上の図では）はすでに数学的なハイパーゲームになっています。

数学の美しさは、想像すらできないデータを扱うことができることです。 困難なタスクは、信じられないほど単純な値に促進することができます。 おそらく、私たちはいくつかの質問に対する答えを見つけることは決してないでしょうが、それらを解決するために使用される方法は知識の他の分野で役立つかもしれません。 機能の成長率によって階層を構築するためのこれらの方法の精緻化は、数学の多くのセクションを改善します。

Bowersは、技術の階層を使用して正式なシステムの機能を拡張する方法の質問に答えようとしました。 実際、数そのものをwe意的な方法で書き留めているわけではありませんが、理論上であっても、いつかはこの数に達します。

Bowers表記は、TREE関数を理解するのに最適な方法です。 もちろん、TREE（3）の値を決定することはできませんが、英国の数学者クリスバードによって実行された表記法の反復「改善」を使用して、TREE（3）> {3,6,3 [1 [1¬1,2 ] 2] 2}。

ツリー（3）

TREEは、数学者Harvey Friedmanによって開発されたグラフ理論で急速に成長している関数です。

次のプロパティを持つk番号のツリーT1、T2、...のシーケンスがあるとします。

• 各ツリーT _iは最大でi個の頂点を持ちます。
• ツリーは、それに続くツリーに同相的に埋め込み可能ではありません。

T _i <T _j 。つまり、T _iは T _jに埋め込むこと_{ができません。}

このようなシーケンスを無限にすることはできません。 ジョセフ・クラスカルは、1960年にこの理論を提唱した最初の人物でした。ハーベイ・フリードマンは、次の質問をして理論を拡張しました。

この最大長は、TREE（k）と呼ばれるkの関数です。

TREE（1）=1。最初のツリーは、1のラベルが付いた1つの頂点を持つ一意のツリーです。このツリーは明らかに他のツリーに埋め込むことができるため、1になりました。



TREE（2）=3。最初のツリーは、1または2のラベルが付けられた単一の頂点ツリーのみです。1（赤）を示します。 他のツリーはラベル1を使用できません。すべての頂点に2（青）のラベルを付ける必要があります。 2番目のツリーは、単一の頂点頂点ツリーまたは一意の頂点頂点ツリーのいずれかです。



最も興味深いのは、TREE（3）= ...です。これは、理解できないほど多数です。 おそらく、その範囲を決定する方法は、人間の能力よりも桁違いに大きいため、発明されることはありません。 数字の始まりがどのように見えるか見てみましょう：



TREE（3）はこの方法で始まり、非常に長く続きます。

アビス：SCG（n）

数学者はTREE（3）で停止できず、さらに進んでいきました。 いいえ、TREE（4）ではありません。 TREE（n）関数は、 Buchholz hydraおよびSubcubic Graph Numbersよりも弱いです。 Subcubic Graph Function-SCG（n）-最大の結果が得られます。

ここで少し脱線する必要があります。1983年から2004年にかけて、数学者のニール・ロバートソンとポール・D・シーモアは500ページの研究で、グラフの継承された特性は有限の禁止サブグラフによって特徴付けられるという理論を開発しました。 ロバートソン-シーモアの定理は、これらの結果を未成年者によって閉じられたグラフの任意のファミリーに拡張します。 定理は、 トロイダルグラフのセットには有限の妨害セットがあるが、そのようなセットを与えないことを示します。 トロイダルグラフの禁止された未成年者の完全なセットは不明のままで、少なくとも16,000のグラフが含まれています。

単純なサブキュービックグラフは、各頂点の次数が3以下の有限の単純なグラフです。 単純なサブキュービックグラフG1、G2、...のシーケンスがあり、すべてのグラフG _iが最大でi + k個の頂点（整数kの場合）を持ち、G _jに同相的に埋め込まれているとします。

ロバートソン-シーモアの定理は、準立方グラフ（単純かどうかにかかわらず）が同相埋め込み可能性によって完全に正当化されることを証明し、そのようなシーケンスは無限ではないことを意味します。 したがって、kの各値には、最大長のシーケンスがあります。 SSCG（k）関数は、単純なサブキュービックグラフのこの長さを示します。 関数SCG（k）は、（一般的な）サブキュービックグラフのこの長さを示します。

SSCGシーケンスは、SSCG（0）= 2、SSCG（1）= 5で始まりますが、その後急速に成長します。 SSCG（2）= 3×23×295-8≈103.5775×1028。

SSCG（3）はTREE（3）よりも大きいだけでなく、TREE（TREE（... TREE（3）...））よりもはるかに大きく、式のネストの深さの合計はTREE関数のTREE（3）レベルです。 SSCGとSCGの漸近的成長率の間に定性的な違いはありません。 SCG（n）≥SSCG（n）であることは明らかですが、SSCG（4n + 3）≥SCG（n）と言うこともできます。

無限に、そしてそれを超えて：大きな足と他の数字

数学者は現在、「非常に」数を作成するために使用できる理論を開発しています。 デジタルシリーズの「王様」は頻繁に変わりますが、今日のレビューは素晴らしいBIG FOOTで終えたいと思います。 TREE（3）とSSCG（3）を合わせたものよりも大きくしますが、BIGGESTとは見なされなくなりました。 ただし、その作成のメカニズムは関連性を失わず、新しい最大数を研究するために使用されます。

伝説のビッグフットに移る前に、Rayoの数論について理解しましょう。 Rayo番号は、2007年に「Big Number Duel」で優勝した数学者Agustin Rayoにちなんで次の定義で命名された大きな数字です。「1次言語式で定義できる任意の有限数より大きい最小数googol（ ^10,100 ）未満の文字を使用して理論を設定します。

BIG FOOTはRayo数の類似物です-その定義はほとんど同じです。 BIG FOOTは、oodleverseと呼ばれる独自の談話領域、first-orderoodletheory（FOOT）と呼ばれる言語を使用し、n次集合論を任意の大きなnに一般化して、1次集合論を拡張します。

FOOT（n）は、FOOT言語でn文字以下で一意に決定される最大の正の整数を示します。 BIG FOOTはF​​OOT ¹⁰ （10 ¹⁰⁰ ）として定義されます。FOOTa（n）はFOOT（n）（再帰）です。

したがって、大きな足は等しい

FOOT（FOOT（FOOT（FOOT（FOOT（FOOT（FOOT（FOOT（FOOT（FOOT（FOOT（10 ¹⁰⁰ ）））））））））））））））

有限数の検索は続きます。 見つかるでしょうか？

ブレーズ・パスカルは、世界の無限の考えに彼を魅了する実存的な恐怖について説明しました：「この無限の空間の永遠の沈黙は私を怖がらせます。」 数字は、ウロボロスの恐怖を制御するために、理解の枠組みと許可されるものの境界を確立する機会を与えてくれます。 それらは私たちの残された放射線であり、世界の比phor的な端に近づく機会です。 しかし、宇宙のように、「宇宙の終わり」のサインが掛かるような場所に飛ぶことは不可能なので、数学では最後のフロンティアに到達することは不可能です。 ただし、これについてはまだ検証していません。

PS著者はプロの数学者ではなく、彼が記事に重大な誤りを犯さないことを望んでいます。 不正確に気づいたら、報告してください。 提示された資料を拡張するコメントも歓迎します。

ソース：

• ツリー（3）はどのようにして大きく成長しますか？ 素人の説明が必要です。
• TREEシーケンス
• SbiisSaibianの多数のサイト
• サブキュービックグラフ番号/再表示