本「数学的カオス。 初等数学から崇高な抽象化へ”

宇宙よりも大きな何かを想像できますが、同時に静かに頭の中に置かれますか？ これは何？ 無限大！ ユージニア・チェンは、最も神秘的な数学的抽象化を理解するための驚くべき数学的旅に私たちを送ります。 一部の数字を数えられないのはなぜですか？ 無限+ 1が1 +無限と同じではないのはなぜですか？ グランドホテルのパラドックスについて学び、チェス盤を使用して70億人に食事を提供し、小さな（最終的な）生地から無限の数のクッキーを取得することもできます。 これにより、このような奇妙で神秘的な抽象的な数学を理解し、愛することができます。 広大で無限の宇宙についての信じられないほどの本は、1つの小さな数学的記号がいかに巨大なアイデアを含んでいるかを示す魅力的で興味深いものです。

抜粋 無限に小さい

目の前に見える数少ないものの1つは、数学的分析とは関係ありません。これが私の机です。 このテーブルは、数学的分析が登場するずっと前から存在していましたが、この特定のテーブルは、生産に数学的な分析を絶対に正確に使用しているイケア工場で作成されました。 無限大の研究は、文字通り、比fig的に（私の友人の1人が冗談を言うのを好むように）抽象的で世界の外にあるように思えるかもしれませんが、最終的には数学的分析にもつながります。私たちの生活の不可欠な部分です。

これらすべての出発点は、「互いに限りなく近い」オブジェクトの反射です。 コンピューターに円を描くか、Oを入力すると、滑らかで均一に見えます。 しかし、画像を詳しく見ると、ピクセル化されています。 これは、コンピューター画面上の大規模な文字Oです。


有限な数の小さな正方形が円を装っています。 私のコンピューターは慎重に円を作り、灰色の点をいくつか追加しました。 コンピュータは、有限量および固定サイズの個々のポイントのみを認識および処理できるため、他の方法では実行できません。

私たちの脳はどうですか？ 数学的分析の意味は、原則として、私たちの脳はより多くの能力を備えているということです。無限に小さいオブジェクトであっても、無限に多数のオブジェクトを認識して処理することができます。 これが私たちが今研究するトピックです。

私はかつて、パークストリートのケンブリッジ小学校で数学を手伝っていました。 6歳の子供2人に対称性を説明しなければなりませんでした。 最初に、いくつかの三角形、次に正方形、次に五角形、次に六角形に対称線を描くように依頼しました。 最も面白いのは、子供の一人が「八面体には八面があるということを知っています。「八面体」という言葉はタコのように見えるからです」 最後に、私は彼らに円を与えました。 そのうちの1人が円にこのような線を引きました。


さらに、それはさらに楽しくなりました。 最初の子は「数百あります！」と叫び、2番目の子は「100万あります！」と言いました。彼らと一緒に円全体に描かれた鉛筆、と言った：「見て！ 終わった！」

私は混乱しましたが、両方とも正しいと認めざるを得ませんでした。 無限の数の円があるので、あなたは一生を円に対称線を描いて終わらせることはできません。 実際、無数にあります。 これを確認できます。 対称線の位置を決定し、水平線と形成する角度を設定したと想像してください。



0〜180°またはラジアン単位の0〜πの任意の角度を使用できます。 角度が大きい場合、線はすでに描画されているもののいずれかを繰り返します。



0から180までの実数を取ります。整数または有理数である必要はありません。 0から180までの実数が無数にあることはすでにわかっています。

円上には無数の対称線が得られますが、円全体にペイントすると、実際にはそれらすべてにペイントされます。 実際の対称線は円の中心で何度も無限に交差するはずであり、私たちの中心には鉛筆の無限の層があるので、おそらくあなたはそれが詐欺のようだと思ったでしょう。 しかし、中心に注意を払わず、対称線が接触する円のエッジに沿った点をマークしようとする場合、円のエッジに沿って鉛筆を描くだけで十分です。 このようにして無限に多くのポイントを描画しますか？ この行には無限に多くのポイントがありますか？

もしそうなら、それらはどれくらい離れて位置していますか？ そして、それらの有限数がある場合、それはいくつですか？

無限大による除算

ラインをより多くのセグメントに分割すると、セグメントはますます小さくなります。 このように、線を無限に多数のセグメントに分割できますか？ 無限に分割することで無限に小さなものを作れるかどうかを言いたい。

すべての実数が落ちる可能性のある宝くじを想像してください。 宝くじドラムには無限の数のボールがありますが、それぞれが特定の有限数を示します。 この場合、勝つ確率はかなり奇妙になります。 通常、英国の宝くじでは、59個のボールのうち6個が脱落します。 約4500万の組み合わせがあり、これらの組み合わせはすべて同様に可能性があります。 勝つチャンスは1：45百万です。 これは非常に小さな数（約0.00000002）ですが、0ではありません。 0に非常に近いため、実際には0と見なすことができるように思えますが、可能な組み合わせの合計数（4500万）を再度乗算すると、1が得られます。これは、購入する場合に勝つ可能性があるためです。すべての宝くじ。

無限の宝くじには無限の組み合わせがありますので、勝つチャンスは「1対無限」になります。 分数を使用して表現する方法は？ 答えが0を超えることはできません。0を超えていた場合、可能な結果の総数（無限大）を再度乗算すると、1を超える数が得られます。これは、勝つ確率が0であることを意味しますか？ しかし、誰かが毎回本当に勝つことができます。 あなたは実際にそのような宝くじは不可能であることに注意することができますが、あなたのこの議論はこのパラドックスをキャンセルしません。 すべてがヒルベルトホテルとまったく同じです。そのようなホテルが存在できないという事実は、パラドックスをキャンセルしません。

私たちは再び、無限を見つける最初の試みの1つに戻り、


両側に0を掛けようとすると、そのような方程式は矛盾を引き起こすことがわかっています。しかし、無限大による除算は0または


今、私たちはすでに無限についてより多くを知っており、すぐにこの方程式に何か問題があることがわかります。 ここでの問題は、無限を見つけようとした方法、つまり、オブジェクトの無限のセットを使用する方法が、無限による除算を意味していなかったことです。 この場合の数学的な正解は次のようになります。「じゃあ、やってみよう！ まだ行っていない場合、これは不可能という意味ではありません。」

減算で行ったのとまったく同じことを試してみましょう。 周りのすべてが多数のオブジェクトであるという考えに戻りましょう。 まるで数えている棒に頼っているようなものです。数える棒を半分に壊すことはできません（多くの子供たちはがっかりします）。 自然数を多く取ると、部分的に減らすことはできません。

無限を介して減算を表現しようとしたとき、6-3は「6に戻るために3からどれだけ数える必要があるか」という子供の推論を思い出してください。 つまり、次の方程式を解きました：3 + x = 6。

6：3を見てみましょう。6：3は2つの異なる方法で見ることができます。

• 3が6に収まる回数は？ つまり、6を取得するために自分に3を追加する必要があるのは何回ですか？ この方程式を解くことと同じです：3×x = 6。
• 6に正確に3回適合する数値は何ですか？ つまり、6を取得するために3回自分に何を追加できますか？ これは、この方程式x x 3 = 6を解くことと同じです。

どちらの場合も、答えは2になります。これらの定式化は、有限数について話している場合には意味がないためです。 しかし、無限であっても、すべてがそれほど単純ではないことはすでにわかっています。 たとえば、3を無限に加算することは、3を無限に加算することと同じではありません。 つまり、3×ω≠ω×3です。

「ωを得るために自分に3を何回追加する必要がありますか？」という質問を自問してみましょう。答え：ω。 あなたが再びティアオフチケットをキューで配布する人に変わったと想像してください。 人々は3人のグループになります。 あなたの無限のチケットの束を終わらせるために3人のグループがいくつ来るべきですか？ 答え：ω。 各グループに3つのチケットを発行し続けるだけです。

一方、「ωを得るために3回自分に何を追加できますか？」を見ると、この場合、可能な答えはありません。 3つの有限数を加算すると、答えは常に有限になります。 3つの無限数を加算すると、それぞれが少なくともωと等しくなり（ωは最小の無限大であるため）、さらに大きくなると、「無限大ともう1日」のようになります。 ティアオフチケットの例でこれを再び検討することができます。 無限に満員のバスが1台到着すると、その乗客には（少なくとも）ティアオフチケットのすべての無限のバンドルが費やされます。 この後、無限に満杯の別のバスが到着すると、異なる色のチケットの入ったパックを取る必要があります。

これらの質問は両方とも、「無限大を3つに分割する」試みでしたが、異なる答えを与えました。 これは、小さな有限数による除算であっても、無限大になると、除算は乗算と同様に最適なソリューションではないことを証明しています。 代わりに、何かを無限に分割しようとすると、すべてがさらに悪化します。 次のことをしたいとします： 。 次に、2つのオプションがあります。 最初に：1を得るために自分自身にωを何回追加する必要がありますか？ ωが大きすぎるため、これは明らかに不可能です。 2番目のオプション：1を取得する回数ωを自分に追加できる数は？ そして再び、それは絶対に不可能になります。

上記のすべてにもかかわらず、1を無限大で割った値は0に等しいはずです。このステートメントは、上記の質問に対する合理的な答えになるでしょうか。 ωを0回追加しても何も得られないので、このアクションには意味がありません。 無限に満杯のバスが0個あるようなものになります。これらのバスでは、ティアオフチケットはまったく必要ありません。 2番目の質問については、「1を得るために0を自分にω回追加できますか？」、その後、すべてが無限に並んでいる0人の場合のようになります。 また、それらのティアオフチケットは必要ありません。

ここで、あきらめて言うことができます。 「これはゼロではありません。」 または、数学者として行動して、「これは本当に理にかなっているように思えますが、推論が無限集合に基づいていない場合、他の数学的な意味を与えることができますか？」と言ってみてください。直感的には本当のようで、正確な論理的説明を与えてください。 そんなに簡単にgiveめてはいけません！

無限の裏側

おそらく今、あなたは私たちが無限に小さく、同時に0に等しくない何かを思い付くことができない理由を自分自身に問いかけているのです。 数学者はすでにこの方法を使用しようとしましたが、それは無意味に見えますが（無限の概念のように、集中的に勉強を始めるまでは無意味に見えます）。 それは無限の裏返しのようなものです。 無限大は任意の数よりも大きく、無限小の値は任意の数よりも小さくなります。 無限大を自分に追加すると、無限大を受け取り、無限大の値を自分に追加すると、再び無限に小さな値を受け取ります。 そして、無限に無限量を掛けると、宝くじに当たる確率の例のように、1が得られます。

このようなアプローチは、以前の「発明された」無限大と同じ問題を引き起こします。 ここでは、「無限」の概念の明確な定義を定式化したいときに、以前と同様に、特別な精度で、またはむしろ技術的スキルで行動する必要がありますが、問題が頻繁に発生するため、それらを回避しようとする方がエレガントになります。 散歩中に大きな汚れた水たまりを見つけたら、靴が濡れないことを期待して足を踏み入れるか、それを回避しようとします。 （もちろん、一部の人々、特に子供は、水たまりの真ん中に足を踏み入れるのが大好きです。数学では、これも起こります。）

無限による除算の問題を慎重に回避する方法を次に示します。 チョコレートケーキを数人に分ける必要があると想像してください。 それを2つに分割すると、誰もが多くを獲得します。 3で割ると、誰もが多くを獲得できますが、最初の場合よりも少なくなります。 これらが4人の場合、彼らはさらに少なくなります。 人が多ければ多いほど、それぞれのケーキが少なくなります。 人々の数が本当に膨大になったら、不幸なケーキをみんなで共有しようとするのは愚かなことです。 ケーキを100人に分割しようとしたことがありますか？ （結婚式のケーキは通常、本質的に別々のケーキであるいくつかの層で構成されています。）千人はどうですか？ そして百万？ ある時点で、人が多すぎると、誰もが実際に取るに足らない量、つまりほとんど何もならないほど小さなピースを手に入れることになります。

100万人の人がいて、ケーキが1つしかない場合、技術的には誰もが自分の作品を手に入れます。おそらく、これらは数十億から数十億のケーキ分子になるでしょう。 しかし、外側では、ケーキの量はほぼ0になり、人数が増えると、ますます0になる傾向があります。したがって、無限大で除算すると0になるという考えに数学的な意味を与えました。常識がないこと）。 何かが無限になりがちな場合、第11章で説明した例に戻りましょう。 無限に向かうもので割ろうとしたが、答えも0になる傾向があることがわかった。おそらく、いくつかの賢明さは今や顕微鏡をもたらし、皿の上にいくらかのケーキを見ると言うだろう。 しかし、私たちはいつでもそれをも​​う少し共有することができ、ケーキは二度と見えなくなります。 これは、1を無限大で割った値が0であることを意味しませんが、これらの引数は直感的な推測に数学的な説明を与え、これが現代の数学分析全体の始まりでした。

ゼノのパラドックス

数学的分析の起源は古代にあります。 ギリシャの哲学者ゼノンは、2.5千年以上前に、無数の無限に小さなパーツで何かを構成する方法について質問しました。 数千年後のヒルベルトと同じように、ゼノは、無限の数のオブジェクトを非常に慎重に処理する必要があることを証明するパラドックスを研究しました。

Zenoのパラドックスの1つは、子供がチョコレートケーキについて考えていることと似ています。残っているものの半分を食べたら、残っているものの半分を食べると、残ったものの半分だけを食べることになります。ケーキが無限になりますか？

Zenoは、このパラドックスを次のように定式化します。ポイントAからポイントBに到達するには、まず距離の半分を克服する必要があります。 その後、残りの半分の距離を移動する必要があります。 その後、残りの半分の距離を移動する必要があります。 あなたは常に残りの半分の距離だけを行きます。


各ステージの後には、常に半分の距離があり、常に残りの半分しか移動できません。 これは、あなたがその場所に決して到達しないという意味ですか？
数学者は、すでに研究されている古い概念から新しい概念を作成するのが非常に好きです。 また、すでに渡された自然数の無限大に戻りましょう。 距離全体の半分、次に4分の1、8分の1、16分の1のように「無限に」克服する必要があると言いました。 すでに知っているように、自然数は永遠に続きます。 1マイル歩く必要があるとします。 次に、パスの次の段階を区別できます。


無限の数のnがあります。これは、パスに無限の数のステージがあることを意味します。 各ステージの長さを指定することはできませんが、一般的な形式で記述することができます。このため、変数nを使用して式を適用しました。 しかし、各段階の長さを記録できない場合、それぞれを終了できますか？ 答えは次のとおりです。はい、パスを完成させることは私たち一人一人にとって非常に普通だからです。 通常、最短の経路であっても、経路を完成させ、毎日それを行います。 （毎日家を出るわけではありませんが、1時間に何回か冷蔵庫に行くことがあります。）

同様にゼノによって定式化されたパラドックスで、ポイントAからポイントBまでレースをしているアキレスとカメについて話します。カメは最初に、たとえばポイントA1で動き始めますが、カメなので非常にゆっくり動きます。 そして、アキレスは最初に亀のスタート地点まで走らなければなりません。 この間、カメは少し先に進み、たとえばポイントA2に移動します。 今、アキレスはこの点に到達しなければなりません。 彼がこれをしている間、カメはもう少し、たとえばポイントA3を通過します。 これで、アキレスはすでにA3に到達しているはずです。この間、亀はA4の地点までcraい回ります。 アキレスが最後にレースの状態を確認した時点でカメがいた場所に到達するたびに、カメは少し先に進みます。 これは、カメがレースに勝つということですか？

これらのパラドックスは両方とも、不合理な結論に至る完全に論理的な証拠に基づいています。 通常、私たちは目的地に到着することができます。 そして、ウサイン・ボルトが亀でレースを走った場合、彼がレースに勝つことは明らかです。 これらのパラドックスの意味は、現実のエラーを検出することではなく、議論の論理のエラーを検出することです。

このパラドックスは、ヒルベルトホテルのパラドックスとは異なります。ヒルベルトホテルのパラドックスは、満たされている可能性がありますが、それでも新しい到着に対応することができます。 その中で、無限のホテルに関する私たちの直感的なアイデアは完全に正しいわけではないため、結論はばかげているように聞こえます。

ヒルベルトホテルパラドックスなどのパラドックスは、真のパラドックスと呼ばれます。 それらの強い議論は矛盾しているように見える結論につながりますが、実際にはそうではありません。 ゼノンのパラドックスのようなパラドックスは、偽のパラドックスと呼ばれます。このパラドックスでは、真実と思われるが現実にはそうではない議論から矛盾した結論が引き出されます。

どちらの場合でも、パラドックスの本質は、無限について考え始めるときに生じる奇妙さを示すことです：ヒルベルトホテルのパラドックスでは、無限に大きなオブジェクトを、ゼノのパラドックスでは、無限に小さなオブジェクトを扱います。 ヒルベルトホテルに関するパラドックスでは、靴、靴下、はぎ取り式のチケット、ホテルの部屋など、オブジェクトの無限の発生という問題に直面しています。 そして、Zenoのパラドックスでは、オブジェクトが無限に小さくなることを同時に認めると、オブジェクトは無限に発生するように見えます。 これが本当に何を意味するのかわからないので、それらを無限に小さくすることはできません。 しかし、それらは無限に小さくなる可能性があります。 毎日、私たちは無限のオブジェクトのセットに遭遇します。時には、それについて知らずに、そしてそれについて知る必要もありません。

無限に多数の無限小オブジェクト

ポイントAからポイントBへのパスの逆説では、目的地にたどり着きました。つまり、パスの無限の数のセグメントを克服することができました。 ただし、これが可能なのは、これらのセグメントがどんどん小さくなり、各セグメントに費やした時間もどんどん短くなったためです。 さらに、これは現実の世界で起こったものであり、ヒルベルトの幻想的な世界ではなく、無限の数のホテルの部屋を埋めたり、無限のティアオフチケットを発行したりするのに十分な時間があります。 現実の生活では、毎日無数のことを行うことができますが、それぞれに費やす時間が無限に短い場合のみです。

たとえば、駅まで1マイル歩く必要があるとします。 時速4マイルの一定速度で移動するとします。 そのため、15分かかります。 しかし、ゼノのパラドックスは何について話しているのでしょうか？

• 最初に、マイルの前半を歩かなければなりません。これには7.5分かかります。
• その後、次の4分の1マイル進む必要があり、3.75分かかります。
• 次に、8分の1マイル歩く必要があり、1,875分かかります。
• その後、16分の1マイル行く必要があり、0.9375分かかります。
• ...

これらの無限に減少するパスのすべてを通過する必要がありますが、無限に減少する時間がかかります。 そのような小さなセクションをいくつ駅まで行きますか？ 回答：無限に多くあります。 旅の終わりごとに立ち寄れば、常にもっと多くのことがあります。

明らかに、これは駅に着くまでにかかる時間を計算するための絶対にばかげた方法です。特に、ある時点でまだ行かなければならない小さな距離が1フィート未満になるためです。 しかし、私たちにとってこれは次のことを実証する重要な思考実験です。無限に多数のオブジェクトを追加し、これらのオブジェクトがますます小さくなれば最終結果を得ることができるように思われます。 現実の世界では、すべてのティアオフチケットは同じサイズであるため、無限のティアオフチケットを発行することはできません。 しかし、それらがますます小さくなったとしても、各チケットを発行するには一定の別個の時間が必要なので、実際にこれを行うことはできません。 口までの距離が常に同じであるため、「かみ傷」がわずかになったとしても、1つのチョコレートケーキを無制限に噛むことはできません。 （同時に、口までの距離を短くすることもできますが、最終的にはケーキのある皿の上のあごですべてが終わります。）

ここには2つのパズルがあります。 どのような場合、無限に多数の小さなオブジェクトをスタックするのが理にかなっていますか？ そして、そのような場合、どうすれば答えを計算できますか？ 数千年にわたって数学者を苦しめたこの問題は、19世紀に数学的分析の出現によりようやく解決されました。 次の章でそれに戻ります。

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